Percusión sobre una barra vertical (Feb. 2020) - Historial de revisiones

Pedro: Página creada con «= Enunciado = 250px Una varilla delgada (sólido "2") de masa $m$ y longitud $2b$ está articulada en un pasador (punto $A$ ) que desliza sobre el eje fijo $OY_1$ . #Calcula la reducción cinemática en el punto $A$ del movimiento {21}. #Calcula la energía cinética de la varilla y su energía potencial. #Cuando la varilla se encuentra en reposo y con
2023-11-09T12:57:56Z

Página creada con «= Enunciado = right|250px Una varilla delgada (sólido "2") de masa <math>m</math> y longitud <math>2b</math> está articulada en un pasador (punto <math>A</math>) que desliza sobre el eje fijo <math>OY_1</math>. #Calcula la reducción cinemática en el punto <math>A</math> del movimiento {21}. #Calcula la energía cinética de la varilla y su energía potencial. #Cuando la varilla se encuentra en reposo y con <mat…»

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= Enunciado =
[[File:MRGIC-PercusionSobreVarilla-Enunciado.png|right|250px]]
Una varilla delgada (sólido "2") de masa <math>m</math> y longitud <math>2b</math> está articulada
en un pasador (punto <math>A</math>) que desliza sobre el eje fijo <math>OY_1</math>.

#Calcula la reducción cinemática en el punto <math>A</math> del movimiento {21}.
#Calcula la energía cinética de la varilla y su energía potencial.
#Cuando la varilla se encuentra en reposo y con <math>x=0</math> y <math>\theta=0</math>, se aplica en el punto <math>C</math> una percusión <math>\vec{\hat{F}} = \hat{F}_0\,(-\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1)</math>, con <math>\hat{F}_0>0</math>. Determina el movimiento de la varilla justo después de la percusión así como el valor de la percusión vincular en <math>A</math>.
#Discute el movimiento del punto <math>A</math> en función del valor de <math>s</math>. ¿Donde está el centro de percusión de <math>A</math>?

= Solución =

== Reducción cinemática ==
La reducción cinemática en el punto <math>A</math> es
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{k}_1,
\qquad
\vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{x}\,\vec{\jmath}_1
</math>
</center>
El sólido tiene dos grados de libertad: <math>\{x,\theta\}</math>.

== Energía cinética y potencial ==

Calculamos la energía cinética pasando por el centro de masas del sólido
<center>
<math>
T = T_{T} + T_{R}
</math>
</center>
La energía cinética de traslación es
<center>
<math>
T_{T} = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2
</math>
</center>
La velocidad del centro de masas es
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,G}_{21}& = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG}
= -b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + (\dot{x} + b\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1
\\
& \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{x}\,\vec{\jmath}_1\\
& \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG} = (\dot{\theta}\,\vec{k}_1)\times
(b\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1) =
-b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + b\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
\end{array}
</math>
</center>
Por tanto, la energía cinética de traslación es
<center>
<math>
T_T = \dfrac{1}{2}m\,(\dot{x}^2 + b^2\dot{\theta}^2 + 2b\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta)
</math>
</center>
La energía cinética de rotación es
<center>
<math>
T_R = \dfrac{1}{2} I_G |\vec{\omega}_{21}|^2 = \dfrac{1}{2}\, \dfrac{1}{12}m(2b)^2\,\dot{\theta}^2
</math>
</center>
La energía cinética total es
<center>
<math>
T = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2 + \dfrac{2}{3}mb^2\dot{\theta}^2 + mb\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta.
</math>
</center>

La única fuerza conservartiva en el problema es la gravedad. Tomando como referencia de energía potencial gravitatoria la altura del punto <math>O</math> tenemos
<center>
<math>
U = U_g = -mgb\cos\theta.
</math>
</center>

== Percusión ==

La velocidad del punto <math>C</math> es
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,C}_{21}& = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}
= -s\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta + (\dot{x} + s\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1
\\
& \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{x}\,\vec{\jmath}_1\\
& \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC} = (\dot{\theta}\,\vec{k}_1)\times
(s\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + s\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1) =
-s\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + s\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
\end{array}
</math>
</center>

La función de Lagrange es
<center>
<math>
L = T - U = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2 + \dfrac{2}{3}mb^2\dot{\theta}^2 + mb\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta + mgb\cos\theta
</math>
</center>
Como hay dos grados de libertad, tendremos dos ecuaciones de Lagrange percusivas
<center>
<math>
\Delta p_x = \hat{Q}^{NC}_x,
\qquad
\Delta p_{\theta} = \hat{Q}^{NC}_{\theta}.
</math>
</center>
Para la primera tenemos
<center>
<math>
p_x = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x} + mb\dot{\theta}\cos\theta
\Longrightarrow
\Delta p_x = \left.(m\Delta\dot{x} + mb\Delta\dot{\theta}\cos\theta)\right|_{x=0, \theta=0}
=
m\Delta\dot{x} + mb\Delta\dot{\theta}.
</math>
</center>
La percusión generalizada para la coordenada <math>x</math> es
<center>
<math>
\hat{Q}^{NC}_x = \vec{\hat{F}}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,C}_{21}}{\partial\dot{x}}
= \left.\hat{F}_0\,(-\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1)\cdot(\vec{\jmath}_1)\right|_{x=0, \theta=0}
=\hat{F}_0
</math>
</center>
Obtenemos así la ecuación
<center>
<math>
\Delta\dot{x} + b\Delta\dot{\theta} = \hat{F}_0/m\qquad (1)
</math>
</center>
Procedemos de manera similar para <math>\theta</math>
<center>
<math>
p_{\theta} = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \dfrac{4}{3}mb^2\dot{\theta} + mb\dot{x}\cos\theta
\Longrightarrow
\Delta p_{\theta} = \left.(\dfrac{4}{3}mb^2\Delta\dot{\theta} + mb\Delta\dot{x}\cos\theta)\right|_{x=0, \theta=0}
=
\dfrac{4}{3}mb^2\Delta\dot{\theta} + mb\Delta\dot{x}.
</math>
</center>
La percusión generalizada para la coordenada <math>\theta</math> es
<center>
<math>
\hat{Q}^{NC}_{\theta} = \vec{\hat{F}}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,C}_{21}}{\partial\dot{\theta}}
= \left.\hat{F}_0\,(-\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1)\cdot(-s\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + s\cos\theta\vec{\jmath}_1)\right|_{x=0, \theta=0}
=\hat{F}_0s
</math>
</center>
Obtenemos así la ecuación
<center>
<math>
3\Delta\dot{x} + 4b\Delta\dot{\theta} = \dfrac{3\hat{F}_0s}{mb} \qquad (2)
</math>
</center>
Resolviendo para <math>\Delta\dot{x}</math> y <math>\Delta\dot{\theta}</math> obtenemos
<center>
<math>
\Delta\dot{x} = \dfrac{\hat{F}_0}{mb}\,(4b-3s),
\qquad
\Delta\dot{\theta} = -\dfrac{3\hat{F}_0}{mb^2}\,(b-s)
</math>
</center>
Como la barra parte del reposo: <math>\dot{x}^- = \dot{\theta}^-=0</math>. Por tanto
<center>
<math>
\dot{x}^+ = \dfrac{\hat{F}_0}{mb}\,(4b-3s),
\qquad
\dot{\theta}^+ = -\dfrac{3\hat{F}_0}{mb^2}\,(b-s)
</math>
</center>
[[File:MRGIC-PercusionSobreVarilla-Percusiones.png|right]]
La figura de la derecha muestra las percusiones que actúan sobre la barra, a saber, la percusión libre <math>\vec{\hat{F}}</math> y la percusión vincular <math>\vec{\hat{A}}</math>. Aplicando el T.C.M Percusivo tenemos
<center>
<math>
\Delta\vec{C} = \vec{\hat{F}} + \vec{\hat{A}}
\Longrightarrow
\vec{\hat{A}} = \Delta\vec{C} - \vec{\hat{F}}
</math>
</center>
La variación de la cantidad de movimiento es
<center>
<math>
\Delta\vec{C} = m\Delta\vec{v}^{\,G}_{21} =
\left.(-b\Delta\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + (\Delta\dot{x} + b\Delta\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1)\right|_{x=0,\theta=0}
= (\Delta\dot{x} + b\Delta\dot{\theta})\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Utilizando la solución calculada antes tenemos
<center>
<math>
\vec{\hat{A}} = \hat{F}_0\,\vec{\imath}_1
</math>
</center>

== Movimiento de <math>A</math> en función de <math>s</math> ==
La velocidad de <math>A</math> justo después de la percusión es
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A+}_{21} = \dot{x}^+\,\vec{\jmath}_1 =
\dfrac{\hat{F}_0}{mb}\,(4b-3s)\,\vec{\jmath}_1
</math>
</center>
Vemos que si <math>s=s_p=4b/3</math> esta velocidad es nula. Ese valor de <math>s</math> indica la posición del centro de percusión de <math>A</math>. Si <math>s<s_p</math> (la parte de arriba de la barra) el punto <math>A</math> se mueve hacia la derecha. Si <math>s>s_p</math> (la parte de abajo de la barra) el punto <math>A</math> se mueve hacia la izquierda.

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