Pedro: Página creada con «= Enunciado = Una partícula de masa $m$ y velocidad $\vec{v}_0$ colisiona con otra partícula de masa $m$ que está en reposo. Después del choque las dos partículas se mueven en la dirección de $\vec{v}_0$ . El coeficiente de restitución del choque es $C_R$ . #Determina la velocidad de las dos partículas después del choque. #Calcula la pérdida de energía cinética en función del valor del coeficiente de re…»

2023-11-27T15:48:35Z

Página creada con «= Enunciado = Una partícula de masa <math>m</math> y velocidad <math>\vec{v}_0</math> colisiona con otra partícula de masa <math>m</math> que está en reposo. Después del choque las dos partículas se mueven en la dirección de <math>\vec{v}_0</math>. El coeficiente de restitución del choque es <math>C_R</math>. #Determina la velocidad de las dos partículas después del choque. #Calcula la pérdida de energía cinética en función del valor del coeficiente de re…»

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= Enunciado =
Una partícula de masa <math>m</math> y velocidad <math>\vec{v}_0</math> colisiona con otra partícula de masa <math>m</math> que está en reposo. Después del choque las dos partículas se mueven en la dirección de <math>\vec{v}_0</math>. El coeficiente de restitución del choque es <math>C_R</math>.
#Determina la velocidad de las dos partículas después del choque.
#Calcula la pérdida de energía cinética en función del valor del coeficiente de restitución. ¿Cómo es la variación de energía cinética en los valores límites del coeficiente de restitución?

= Solución =
Escogemos el eje <math>X</math> en la dirección que coincide con la velocidad de la partícula que se mueve antes de la colisión. Antes de la colisión tenemos
<center>
<math>
\vec{v}_{1i} = v_0\,\vec{\imath}, \qquad \vec{v}_{2i}=\vec{0}.
</math>
</center>
Después de la colisión las velocidades de las partículas son
<center>
<math>
\vec{v}_{1f} = v_{1f}\,\vec{\imath}, \qquad \vec{v}_{2f}=v_{2f}\,\vec{\imath}.
</math>
</center>
En toda colisión se conserva la cantidad de movimiento, pues las fuerzas externas no tienen tiempo de cambiarla debido a que ocurre muy rápido. Como las partículas tienen la misma masa <math>m</math> tenemos
<center>
<math>
\left.
\begin{array}{l}
\vec{P}_i = m\vec{v}_{1i} + m\vec{v}_{2i} = m v_0\,\vec{\imath},\\
\vec{P}_f = m\vec{v}_{1f} + m\vec{v}_{2f} = m (v_{1f} + v_{2f}),\vec{\imath}.\\
\end{array}
\right|
\Longrightarrow
\vec{P}_i = \vec{P}_f
\Longrightarrow
v_{1f} + v_{2f} = v_0. \qquad (1)
</math>
</center>
Necesitamos otra ecuación. Esta la proporciona el coeficiente de restitución. Su definición es
<center>
<math>
C_R = -\dfrac{v_{2f}-v_{1f}}{v_{2i}-v_{1i}}= \dfrac{v_{2f}-v_{1f}}{v_0}.
</math>
</center>
Hemos usado que en este problema <math>v_{1i}=v_0</math> y <math>v_{2i}=0</math>. Esto nos da la otra ecuación
<center>
<math>
v_{2f} - v_{1f} = C_Rv_0. \qquad (2)
</math>
</center>
Despejando obtenemos
<center>
<math>
v_{1f} = v_0\,\dfrac{1-C_R}{2}, \qquad v_{2f} = v_0\,\dfrac{1+C_R}{v_0}.
</math>
</center>
Podemos evaluar la pérdida de energía cinética que sufre el sistema de dos partículas
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\Delta T = & T_f - T_i = \dfrac{C_R^2-1}{2}T_i.\\
\\
& T_i = \dfrac{1}{2}mv_0^2,\\
\\
& T_f = \dfrac{1+C_R^2}{2}T_i.
\end{array}
</math>
</center>
Los casos extremos son

'''<math>C_R=1</math>'''

Esto corresponde a una colisión elástica. Tenemos
<center>
<math>
v_{1f} = 0, \qquad v_{2f} = v_0\,\qquad \Delta T_f = 0.
</math>
</center>

'''<math>C_R=0</math>'''

Esto corresponde a una colisión completamente inelástica (plástica). Tenemos
<center>
<math>
v_{1f} = v_{2f} = v_0/2\,\qquad \Delta T_f = -T_i/2.
</math>
</center>

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