Antonio: Página creada con «==Enunciado== Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud $h$ situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante $\Omega$ respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular $-2\…»$

2023-09-25T16:44:46Z

Página creada con «==Enunciado== Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud <math>h</math> situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante <math>\Omega</math> respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular <math>-2\…»

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==Enunciado==
Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud <math>h</math> situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante <math>\Omega</math> respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular <math>-2\Omega</math>. En el instante <math>t=0</math> el sistema está completamente extendido a lo largo del eje OX.

# Escriba las ecuaciones horarias de la posición del punto P para todo instante.
# Para el instante <math>t = 0</math> halle
## La velocidad y la rapidez.
## La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
## El radio y el centro de curvatura.
# Para el instante <math>t = \pi/(2\Omega)</math> calcule
## La velocidad y la rapidez.
## La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).

<center>[[Archivo:barras-articuladas-rotatorias-2.png]]</center>

==Ecuaciones horarias==
Podemos hallar la posición instantánea mediante una suma vectorial

<center><math>\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}</math></center>

siendo

<center><math>\overrightarrow{OA}=h\cos(\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

y

<center><math>\overrightarrow{AP}=h\cos(-2\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(-2\Omega t)\vec{\jmath}=h\cos(2\Omega t)\vec{\imath}-h\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

lo que da

<center><math>\vec{r}=\overrightarrow{OP}=h\left(\cos(\Omega t)+\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

Una vez que tenemos el vector de posición, calculamos la velocidad instantánea derivando una vez respecto al tiempo

<center><math>\vec{v}=-h\Omega\left(\mathrm{sen}(\Omega t)+2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega\left(\cos(\Omega t)-2\cos(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

y la aceleración derivando una segunda vez

<center><math>\vec{a}=-h\Omega^2\left(\mathrm{cos}(\Omega t)+4\,\mathrm{cos}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}-h\Omega^2\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-4\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center>

<center>[[Archivo:varillas-articuladas-01.gif]]  [[Archivo:varillas-articuladas-02.gif]]</center>

==Magnitudes en t=0 ==
Si particularizamos los resultados generales para el instante <math>t=0</math> nos queda

<center><math>\vec{r}_0=2h\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>

sin más que aplicar que <math>\mathrm{sen}(0)=0</math> y <math>\cos(0)=1</math>.

===Velocidad y rapidez===
La velocidad ya la tenemos

<center><math>\vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}</math></center>

y la rapidez o celeridad es el módulo de esta

<center><math>|\vec{v}_0|=h\Omega</math></center>

De camino, obtenemos el vector tangente en este instante

<center><math>\vec{T}_0=\frac{\vec{v}_0}{|\vec{v}_0|}=-\vec{\jmath}</math></center>

===Aceleración===
El vector aceleración ya lo tenemos

<center><math>\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}</math></center>

Esta aceleración es ortogonal a la velocidad instantánea, por tanto se anula la aceleración tangencial en este instante.

<center><math>\vec{a}_{t0}=\vec{0}\qquad\qquad a_{t0}=0</math></center>

y la aceleración normal coincide con la aceleración al completo

<center><math>\vec{a}_{n0}=\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}\qquad\qquad a_n = |\vec{a}_n|=5h\Omega^2</math></center>

El vector normal en este instante es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

<center><math>\vec{N}_0=\frac{\vec{a}_{n0}}{|\vec{a}_{n0}|}=-\vec{\imath}</math></center>

===Radio y centro de curvatura===
El radio de curvatura lo hallamos a partir de la rapidez y la aceleración normal

<center><math>R_0=\frac{|\vec{v}_0|^2}{a_{n0}}=\frac{h^2\Omega^2}{5h\Omega^2}=\frac{h}{5}</math></center>

y el centro de curvatura en este instante se encuentra en el punto

<center><math>\vec{r}_{c0}=\vec{r}_0+R_0\vec{N}_0=2h\vec{\imath}-\frac{h}{5}\vec{\imath}=\frac{9}{5}h\vec{\imath}</math></center>

Vemos que el radio de curvatura no coincide con la longitud de la barra, ni el centro de curvatura con el punto de articulación.
<center>[[Archivo:varillas-articuladas-03.png]]</center>

== Magnitudes en t = π/(2Ω)==
De la misma manera operamos para el otro instante, sin más que sustituir. Resultan la posición, velocidad y aceleración siguientes:

<center><math>\vec{r}_1=h\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad
\vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center>

===Velocidad y rapidez===
Ya tenemos la velocidad

<center><math>\vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)</math></center>

y nos queda la rapidez

<center><math>\left|\vec{v}_1\right|=h\Omega\sqrt{5}</math></center>

siendo el vector tangente en este instante

<center><math>\vec{T}_1=-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{\imath}+\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{\jmath}</math></center>

===Aceleración===
La aceleración al completo ya la conocemos

<center><math>\vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center>

y obtenemos la aceleración tangencial proyectando sobre el vector tangente

<center><math>a_{t1}=\vec{a}_1\cdot\vec{T}_1=-\frac{6}{\sqrt{5}}h\Omega^2</math></center>

y en forma vectorial

<center><math>\vec{a}_{t1}=a_{t1}\vec{T}_1=\frac{6}{5}h\Omega^2\left(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}\right)</math></center>

La aceleración normal es la diferencia entre la completa y la tangencial

<center><math>\vec{a}_{n1}=\vec{a}_1-\vec{a}_{t1}=\frac{7}{5}h\Omega^2\left(2\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)</math></center>

siendo la aceleración normal escalar

<center><math>a_{n1}=|\vec{a}_{n1}|= \frac{7}{\sqrt{5}}h\Omega^2</math></center>

Al igual que en la sección anterior, podríamos hallar el radio y el centro de curvatura.

<center>[[Archivo:varillas-articuladas-04.png]]</center>

[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIOI)]]

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