Pedro: Página creada con «= Enunciado = Una partícula se desplaza sobre el eje $OX$ de modo que su aceleración cumple en cada instante $a(x) = -A^2x$ , siendo $A$ una constante. En la posición inicial la velocidad de la partícula es $v_0$ . Determina la función $v(x)$ . = Solución = La aceleración es $a(x) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$ Introducimos la regla de la cadena multiplicando y dividiendo…»

2023-09-26T08:25:53Z

Página creada con «= Enunciado = Una partícula se desplaza sobre el eje <math>OX</math> de modo que su aceleración cumple en cada instante <math>a(x) = -A^2x</math>, siendo <math>A</math> una constante. En la posición inicial la velocidad de la partícula es <math>v_0</math>. Determina la función <math>v(x)</math>. = Solución = La aceleración es <center> <math> a(x) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} </math> </center> Introducimos la regla de la cadena multiplicando y dividiendo…»

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= Enunciado =
Una partícula se desplaza sobre el eje <math>OX</math> de modo que su aceleración cumple en cada instante <math>a(x) = -A^2x</math>, siendo <math>A</math> una constante. En la posición inicial la velocidad de la partícula es <math>v_0</math>. Determina la función <math>v(x)</math>.

= Solución =
La aceleración es
<center>
<math>
a(x) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}
</math>
</center>
Introducimos la regla de la cadena multiplicando y dividiendo por <math>\mathrm{d}x</math>
<center>
<math>
a(x) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}
</math>
</center>
Como una derivada se puede entender como un cociente intercambiamos los dos números que aparecen en el denominador.
<center>
<math>
a(x) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}
= \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,v
</math>
</center>
Hemos usado que <math>v=\mathrm{d}x/\mathrm{d}t</math>. Con esto nos ha quedado una ecuación diferencial en variables separables que se pueden integrar.
<center>
<math>
v\,\mathrm{d}v = a(x)\,\mathrm{d}x
\Longrightarrow
\int v\,\mathrm{d}v = \int -A^2x\,\mathrm{d}x
\Longrightarrow
\dfrac{1}{2}v^2 = -\dfrac{1}{2}A^2x^2 + C
</math>
</center>
Imponiendo la condición inicial
<center>
<math>
C = \dfrac{v_0^2}{2}
</math>
</center>
y por tanto
<center>
<math>
v(x) = \sqrt{v_0^2 - A^2x^2}
</math>
</center>
Ahora podemos plantear la ecuación diferencial para <math>x(t)</math>
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v(x)
\Longrightarrow
\dfrac{\mathrm{d}x}{v(x)} = \mathrm{d}t
\Longrightarrow
\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{v_0^2-A^2x^2}} = \mathrm{d}t
</math>
</center>
Para integrar hacemos el cambio
<center>
<math>
x =\dfrac{v_0}{A}\,\mathrm{sen}\,u
\Longrightarrow
\mathrm{d}x =\dfrac{v_0}{A}\cos u\,\mathrm{d}u
\Longrightarrow
\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{v_0^2-A^2x^2}}
=
\dfrac{\mathrm{d}u}{A}
</math>
</center>
Integrando queda
<center>
<math>
\int\dfrac{\mathrm{d}u}{A} = \int \mathrm{d}t
\Longrightarrow
u = At + D
</math>
</center>
Y entonces
<center>
<math>
x = \dfrac{v_0}{A}\,\mathrm{sen}\,(At + D)
</math>
</center>
Si en <math>t=0</math> tenemos <math>x=x_0</math> nos queda
<center>
<math>
D = \,\mathrm{arcsen}\,\left(\dfrac{x_0A}{v_0}\right)
</math>
</center>

[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]]

Partícula con aceleración dependiente de x - Historial de revisiones