Drake: Página creada con «==Enunciado== Sea ABCD un cuadrilátero arbitrario. Demuestre, usando el álgebra vectorial, que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo. ==Solución== Sea O el origen de coordenadas. En ese caso los vectores de posición de los vértices son $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{OC}$ y $\overrightarrow{OD}$ . Las posiciones de los puntos medios E, F, G y…»

2024-01-08T16:58:58Z

Página creada con «==Enunciado== Sea ABCD un cuadrilátero arbitrario. Demuestre, usando el álgebra vectorial, que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo. ==Solución== Sea O el origen de coordenadas. En ese caso los vectores de posición de los vértices son <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{OC}</math> y <math>\overrightarrow{OD}</math>. Las posiciones de los puntos medios E, F, G y…»

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==Enunciado==
Sea ABCD un cuadrilátero arbitrario. Demuestre, usando el álgebra vectorial, que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo.

==Solución==

Sea O el origen de coordenadas. En ese caso los vectores de posición de los vértices son <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math>, <math>\overrightarrow{OC}</math> y <math>\overrightarrow{OD}</math>. Las posiciones de los puntos medios E, F, G y H se encuentran en

<center><math>\overrightarrow{OE}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{OF}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}}{2}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{OH}=\frac{\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}}{2}</math></center>

Para demostrar que estos cuatro puntos forman un paralelogramo, debemos probar que sus lados son paralelos dos a dos. El vector que une E y F es

<center><math>\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}=\frac{\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}}{2}</math></center>

El vector que une H y G se calcula de la misma forma

<center><math>\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH}=\frac{\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}}{2}=\overrightarrow{EF}</math></center>

Resulta un vector idéntico al anterior y por tanto el vector ligado <math>\overrightarrow{HG}</math> es paralelo al <math>\overrightarrow{EF}</math>.

Operando del mismo modo se demuestra que <math>\overrightarrow{FG}</math> y <math>\overrightarrow{EH}</math> son también paralelos e iguales.

Por tanto, el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo, esto es, una figura plana con lados paralelos dos a dos.

Nótese que no se hace ninguna restricción sobre el cuadrilátero ABCD. Ni siquiera se exige que sea una figura plana. Puede ser una estructura articulada tridimensional y aun así, los puntos medios yacen en el mismo plano y forman un paralelogramo.

<center>[[Archivo:paralelogramo-en-cuadrilatero.png]]</center>

[[Categoría:Problemas de Vectores Libres (GITI)]]

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