Pedro: Página creada con «==Enunciado== rightUna masa m está atada a un hilo flexible ideal de longitud l cuyo otro extremo se encuentra amarrado a un punto fijo O. Inicialmente la masa se encuentra sobre la horizontal del punto de anclaje y a una distancia b de éste (b < l). Se suelta la masa de forma que inicialmente cae verticalmente hasta que el hilo se tensa. A partir de ahí describe un movimiento pendular. # ¿Cuál es la velocidad justo antes…»

2023-11-27T14:59:15Z

Página creada con «==Enunciado== 334px|rightUna masa m está atada a un hilo flexible ideal de longitud l cuyo otro extremo se encuentra amarrado a un punto fijo O. Inicialmente la masa se encuentra sobre la horizontal del punto de anclaje y a una distancia b de éste (b < l). Se suelta la masa de forma que inicialmente cae verticalmente hasta que el hilo se tensa. A partir de ahí describe un movimiento pendular. # ¿Cuál es la velocidad justo antes…»

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==Enunciado==
[[Archivo:Pendulo-que-tensa.png|334px|right]]Una masa m está atada a un hilo flexible ideal de longitud l cuyo otro extremo se encuentra amarrado a un punto fijo O. Inicialmente la masa se encuentra sobre la horizontal del punto de anclaje y a una distancia b de éste (b < l). Se suelta la masa de forma que inicialmente cae verticalmente hasta que el hilo se tensa. A partir de ahí describe un movimiento pendular.

# ¿Cuál es la velocidad justo antes de que el hilo se tense?
# ¿Cuál es la velocidad justo después de la tensión del hilo?
# ¿Cuánto vale la percusión que ejerce el hilo en el momento de tensarse?
# ¿Hasta que altura vuelve a subir la masa?

==Velocidad previa a la percusión==
Durante su descenso, la masa cae como una partícula no vinculada, sometida exclusivamente a la acción del peso. Puede aplicarse la ley de conservación de la energía mecánica, de manera que
<center><math>\frac{1}{2}m\left|\vec{v}^{\,-}\right|^2 = mgh \qquad\Rightarrow\qquad \left|\vec{v}^{\,-}\right|=\sqrt{2gh}</math></center>
siendo

<center><math>h=\sqrt{l^2-b^2}</math></center>

la altura que cae hasta que se tensa el hilo.

Si tomamos como eje OX el vertical hacia abajo y como eje OY el horizontal, el vector velocidad previa es

<center><math>\vec{v}^{\,-}=\sqrt{2gh}\vec{\imath}</math></center>
==Velocidad posterior a la percusión==
Cuando se tensa el hilo ya el movimiento pasa a ser circular. En el momento de la imposición de la ligadura aparece una tensión impulsiva, a lo largo del hilo. También puede aparecer una reacción vincular en el punto O donde está atado el péndulo.

Si tomamos el momento cinético en O la reacción en este punto no produce momento por estar aplicada en el propio punto y la tensión tampoco por ser radial. Por tanto

<center><math>\Delta \vec{L}_O=\vec{0}</math></center>

El valor previo es

<center><math>\vec{L}^{\,-}_O=m(h\vec{\imath}+b\vec{\jmath})\times(v^-\vec{\imath})=-mbv^{-}\vec{k}=-mb\sqrt{2gh}\vec{k}</math></center>

y el valor final, empleando coordenadas cilíndricas

<center><math>\vec{L}^{\,+}_O=m(l\vec{u}_\rho)\times(v^-\vec{u}_\theta)=mlv^{+}\vec{k}</math></center>

Igualamos ambas cantidades y queda

<center><math>v^{+}=\frac{b}{l}v^{-}=-\frac{b}{l}\sqrt{2gh}</math></center>

Geométricamente, esto quiere decir que se pierde por completo la velocidad radial y queda solo la acimutal.

==Percusión del hilo==
La percusión del hilo la obtenemos a partir del cambio en la cantidad de movimiento de la partícula

<center><math>\vec{P}_T=m\left(\vec{v}^{\,+}-\vec{v}^{\,-}\right) =m\sqrt{2gh}\left(-\frac{b}{l}\vec{u}_\theta-\vec{\imath}\right)</math></center>

Pasamos a la misma base para hacer la suma vectorial

<center><math>\vec{\imath}=\cos(\theta)\vec{u}_\rho-\mathrm{sen}(\theta)\vec{u}_\theta = \frac{h}{l}\vec{u}_\rho-\frac{b}{l}\vec{u}_\theta</math></center>

y nos queda

<center><math>\vec{P}_T=m\left(\vec{v}^{\,+}-\vec{v}^{\,-}\right) =-m\sqrt{2gh}\frac{h}{l}\vec{u}_\rho</math></center>

==Altura máxima==
En la percusión se ha producido una reducción en la rapidez y por tanto en la energía cinética. Esto hace que la masa no vuelva a alcanzar la altura inicial en sus oscilaciones, sino que llega hasta una altura menor. Aplicando de nuevo la ley de conservación de la energía mecánica

<center><math>h'=\frac{\left|\vec{v}^{\,+}\right|^2}{2g}=\frac{b^2h}{l}^2</math></center>

Esta sería la distancia vertical medida desde el nivel original.

==Valores numéricos==
Supongamos una masa de 1kg atada a un hilo de 50cm, estando el punto de inicial a 30cm del otro extremo.

En ese caso, por el teorema de Pitágoras, desciende 40cm y la velocidad en el momento que se tensa vale

<center><math>v^-=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9.8\times0.4}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=2.8\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

Tras la percusión, la rapidez se reduce a

<center><math>v^{-}=\frac{b}{l}\sqrt{2gh} = 1.68\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

El valor de la percusión es de

<center><math>P_T=1\times 2.8\times 0.8 \mathrm{N}\cdot\mathrm{s}=2.24\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s} </math></center>

y la altura a la que llega es

<center><math>h = 0.144\,\mathrm{m}=14.4\,\mathrm{cm}</math></center>
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Péndulo que se tensa (CMR) - Historial de revisiones