Antonio: Página creada con «==Enunciado== Para el sistema del problema “Péndulo compuesto” analice el problema general mediante las técnicas de mecánica analítica. Se tiene una barra homogénea de longitud b y masa m, articulada mediante una rótula en un extremo O y sometida a la acción de la gravedad. La barra puede tanto variar su ángulo θ con la vertical como el ángulo ϕ alrededor de OZ. Para este sistema # Calcule la lagrangiana de…»

2023-11-23T22:14:02Z

Página creada con «==Enunciado== Para el sistema del problema “Péndulo compuesto” analice el problema general mediante las técnicas de mecánica analítica. Se tiene una barra homogénea de longitud b y masa m, articulada mediante una rótula en un extremo O y sometida a la acción de la gravedad. La barra puede tanto variar su ángulo θ con la vertical como el ángulo ϕ alrededor de OZ. Para este sistema # Calcule la lagrangiana de…»

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==Enunciado==
Para el sistema del problema “[[Péndulo compuesto (CMR)|Péndulo compuesto]]” analice el problema general mediante las técnicas de mecánica analítica. Se tiene una barra homogénea de longitud b y masa m, articulada mediante una rótula en un extremo O y sometida a la acción de la gravedad. La barra puede tanto variar su ángulo θ con la vertical como el ángulo ϕ alrededor de OZ.

Para este sistema
# Calcule la lagrangiana del sistema.
# Halle las ecuaciones de movimiento para los dos ángulos de giro, θ y ϕ
# Obtenga dos constantes de movimiento no triviales.
# Con ayuda de las constantes de movimiento, halle una ecuación que incluya solamente a θ
# Calcule el valor que debe tener la velocidad angular <math>\dot{\phi}</math> si se desea que la barra mantenga una inclinación constante respecto a la vertical.

==Lagrangiana del sistema==
En este sistema no hay fuerzas no conservativas y los vínculos son geométricos (ya que el único vínculo es que el extremo O es un punto fijo). Por ello, las ecuaciones de movimiento pueden obtenerse a partir de las ecuaciones de Lagrange

<center><math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_k}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_k}=0</math></center>

siendo

<center><math>\mathcal{L}=T-U</math></center>

la lagrangiana del sistema. Aquí <math>T=K</math> es la energía cinética y U la potencial.

La energía cinética de un sólido con un punto fijo O se puede calcular como

<center><math>T=\frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\vec{L}_O=\frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\bar{\bar{I}}\cdot\vec{\omega}</math></center>

Tal como se ve en el problema citado, la expresión más simple de la energía cinética se obtiene en un sistema de referencia ligado en el que el eje <math>OZ_2</math> va en la dirección de la barra y los otros dos son ortogonales a éste por O. En este sistema la energía cinética tiene la expresión

<center><math>T=\frac{mb^2}{2}(\omega_X^2+\omega_Y^2)</math></center>

A su vez, como se ve en el mismo problema, las componentes de la velocidad angular en el sistema ligado se relacionan con las derivadas de los ángulos por

<center><math>\omega_X=\dot{\theta}\qquad\qquad\Omega_Y=\dot{\phi}\,\mathrm{sen}(\theta)=\dot{\phi}S</math></center>

lo que nos da la expresión para la energía cinética

<center><math>T=\frac{mb^2}{6}(\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2\mathrm{sen}^2(\theta))</math></center>

Por su parte, la energía potencial sale de la altura del CM

<center><math>U=mgh_G=-mg\frac{b}{2}\cos(\theta)</math></center>

Por tanto la lagrangiana del sistema es

<center><math>\mathcal{L}=\frac{mb^2}{6}(\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2\mathrm{sen}^2(\theta))+mg\frac{b}{2}\cos(\theta)</math></center>
==Ecuaciones de movimiento==
===Para el ángulo ϕ===
La ecuación de Lagrange para este ángulo es

<center><math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi}=0</math></center>

Calculamos en primer lugar el momento conjugado

<center><math>p_\phi=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}=\frac{mb^2}{3}\dot{\phi}\,\mathrm{sen}^2(\theta)=\frac{mb^2}{3}\dot{\phi}\,S^2</math></center>

siendo su derivada temporal

<center><math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\right)=\frac{mb^2}{3}(\ddot{\phi}\,\mathrm{sen}^2(\theta)+2\dot{\phi}\dot{\theta}\cos(\theta)\mathrm{sen}(\theta))=\frac{mb^2}{3}(\ddot{\phi}\,S^2+2\dot{\phi}\dot{\theta}SC)</math></center>

Por otro lado, la lagrangiana no depende explícitamente del ángulo ϕ

<center><math>\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi}=0</math></center>

por lo que la ecuación de movimiento buscada es

<center><math>\frac{mb^2}{3}(\ddot{\phi}S^2+2\dot{\phi}\dot{\theta}SC)=0</math></center>

Podemos sacar factores comunes y reducirla a

<center><math>\ddot{\phi}S+2\dot{\phi}\dot{\theta}C=0</math></center>

===Para el ángulo θ===
De manera análoga operamos con el otro ángulo. Su momento conjugado vale

<center><math>p_\theta=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}=\frac{mb^2}{3}\dot{\theta}</math></center>

cuya derivada respecto al tiempo es simplemente

<center><math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\right)=\frac{mb^2}{3}\ddot{\theta}</math></center>

En cuanto a la derivada respecto al ángulo tenemos términos en la energía cinética y en la potencial

<center><math>\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \theta}=\frac{mb^2}{3}\dot{\phi}^2\cos(\theta)\mathrm{sen}(\theta)-\frac{mgb}{2}\mathrm{sen}(\theta)=\frac{mb^2}{3}\dot{\phi}^2CS-\frac{mgb}{2}S </math></center>

lo que nos da la ecuación de movimiento

<center><math>\frac{mb^2}{3}\ddot{\theta}-\frac{mb^2}{3}\dot{\phi}^2SC+\frac{mgb}{2}S=0</math></center>

Sacando factores comunes y abreviando la expresión nos queda

<center><math>\ddot{\theta}-\dot{\phi}^2 SC+\frac{3g}{2b}S=0</math></center>

Esta ecuación y la anterior coinciden con las obtenidas en el problema del análisis vectorial de este sistema.
==Constantes de movimiento==
En este problema tenemos dos constantes de movimiento no triviales.
===Coordenada cíclica===
Según hemos indicado, la coordenada ϕ no aparece explícitamente en la lagrangiana

<center><math>\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi}=0</math></center>

Se dice en este caso que ϕ es ''cíclica''. en este caso, es inmediato que su momento conjugado es una constante de movimiento

<center><math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\right)=0\qquad\Rightarrow\qquad p_\phi=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}=\mathrm{cte.}</math></center>

siendo su expresión en este caso

<center><math>p_\phi=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}=\frac{mb^2}{3}\dot{\phi}S^2=\mathrm{cte.}</math></center>

Este término coincide con la componente z del momento cinético. Su constancia está asociada a que el sistema es invariante ante una rotación en torno al eje OZ.

===Independencia del tiempo===
La lagrangiana de este sistema no depende del tiempo. Esto implica que la cantidad

<center><math>H=\dot{\theta}p_\theta+\dot{\phi}p_\phi-\mathcal{L}</math></center>

es una constante de movimiento. En este caso, tras sustituir los momentos y operar llegamos a que H coincide con la energía mecánica

<center><math>H=E=T+U=\frac{mb^2}{6}(\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2S^2)-mg\frac{b}{2}C</math></center>

==Ecuación para θ==
Despejando la derivada respecto al tiempo en la primera constante

<center><math>\dot{\phi}=\frac{3p_\phi}{mb^2S^2}</math></center>

y sustituyendo en la ecuación de movimiento para θ obtenemos una para esta variable exclusivamente

<center><math>\ddot{\theta}-\frac{9p_\phi^2}{m^2b^4 S^3}C+\frac{3g}{2b}S=0</math></center>

Una manera más formal de llegar a ella es empleando la función de Routh. Aplicando que ϕ es cíclica, definimos la función

<center><math>\mathcal{R}=\mathcal{L}-\dot{\phi}p_\phi</math></center>

que en este caso vale

<center><math>\mathcal{L}=\left(\frac{mb^2}{6}\left(\dot{\theta}^2+\frac{9\phi^2}{m^2 b^4 S^2}\right)+mg\frac{b}{2}C\right)-\frac{3p_\phi^2}{mb^2S^2}=\frac{mb^2}{6}\dot{\theta}^2-\frac{3p_\phi^2}{2mb^2S^2}+mg\frac{b}{2}C</math></center>

Una vez definida esta función, la ecuación para θ se halla como

<center><math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{R}}{\partial\dot{\theta}}\right)-\frac{\partial\mathcal{R}}{\partial \theta}=0</math></center>

El resultado es el mismo que ya hemos visto.
==Movimiento con inclinación constante==
Si se desea que la barra mantenga constante su inclinación, debe anularse la derivada <math>\dot{\theta}</math>, lo que nos da la condición

<center><math> -\dot{\phi}^2SC = -\dfrac{3g}{2b}S</math></center>

y por tanto

<center><math>\dot{\phi}=\sqrt{\dfrac{3g}{2bC}}</math></center>

Como el coseno vale como máximo 1, existe una velocidad angular mínima para poder conseguir una inclinación constante.
[[Categoría:Problemas de mecánica analítica (CMR)]]

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