Drake: /* Aceleración {21} del punto O */

2024-01-15T12:47:15Z

Aceleración {21} del punto O

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	<math>		<math>
	\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\Omega_0\,\vec{\jmath}_0\,\times\,\frac{\sqrt{3}}{2}\Omega_0 L\,\vec{k}_0=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\Omega_0^2\, L\,\vec{\imath}_0		\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\Omega_0\,\vec{\jmath}_0\,\times\,\frac{\sqrt{3}}{2}\Omega_0 L\,\vec{k}_0=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\Omega_0^2\, L\,\vec{\imath}_0
	</math>		</math>

Drake: /* Aceleración {21} del punto O */

2024-01-15T12:46:49Z

Aceleración {21} del punto O

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	</math></center>		</math></center>
	Determinamos, primero, la aceleración <math>\vec{a}^{\, O}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones <math>\{20\}\,</math>):		Determinamos, primero, la aceleración <math>\vec{a}^{\, O}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones <math>\{20\}\,</math>):
	~~<center>~~<math>
	\vec{a}^{\, O}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, D}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{DO}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\,(\omega_{20}\,\times\,\overrightarrow{DO})=\Omega_0\,\vec{\jmath}_0\,\times\,\left[\,\Omega_0\,\vec{\jmath}_0\,\times\,\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}L\,\,\vec{\imath}_0\right)\right]=\Omega_0\,\vec{\jmath}_0\,\times\,\frac{\sqrt{3}}{2}\Omega_0 L\,\vec{k}_0=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\Omega_0^2\, L\,\vec{\imath}_0		<math>
	</math>~~</center>~~		\,\,\,\,\,\vec{a}^{\, O}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, D}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{DO}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\,(\omega_{20}\,\times\,\overrightarrow{DO})=\Omega_0\,\vec{\jmath}_0\,\times\,\left[\,\Omega_0\,\vec{\jmath}_0\,\times\,\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}L\,\,\vec{\imath}_0\right)\right]=</math>

			<math>
			\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\Omega_0\,\vec{\jmath}_0\,\times\,\frac{\sqrt{3}}{2}\Omega_0 L\,\vec{k}_0=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\Omega_0^2\, L\,\vec{\imath}_0
			</math>

	y, a continuación, el término de Coriolis:		y, a continuación, el término de Coriolis:
	<center><math>		<center><math>

Drake: Página creada con «==Enunciado== right Una placa triangular $\,ABC\,$ (sólido "2"), equilátera de lado $\,L\,$ , rota con velocidad angular constante $\,\Omega_0\,$ (en el sentido indicado en la figura) alrededor del lado $\,AB\,$ de un armazón triangular hueco $\,ABO\,$ (sólido "0") que tiene exactamente las mismas dimensiones que la placa. A su vez, el armazón $\,ABO\,$ se mant…»

2024-01-12T19:37:10Z

Página creada con «==Enunciado== right Una placa triangular <math>\,ABC\,</math> (sólido "2"), equilátera de lado <math>\,L\,</math>, rota con velocidad angular constante <math>\,\Omega_0\,</math> (en el sentido indicado en la figura) alrededor del lado <math>\,AB\,</math> de un armazón triangular hueco <math>\,ABO\,</math> (sólido "0") que tiene exactamente las mismas dimensiones que la placa. A su vez, el armazón <math>\,ABO\,</math> se mant…»

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==Enunciado==
[[Archivo:triangulo-rotante-mio.png|right]]

Una placa triangular <math>\,ABC\,</math> (sólido "2"), equilátera de lado <math>\,L\,</math>, rota con velocidad angular constante <math>\,\Omega_0\,</math> (en el sentido indicado en la figura) alrededor del lado <math>\,AB\,</math> de un armazón triangular hueco <math>\,ABO\,</math> (sólido "0") que tiene exactamente las mismas dimensiones que la placa. A su vez, el armazón <math>\,ABO\,</math> se mantiene en todo instante en un plano horizontal paralelo al plano <math>\,O_1X_1Y_1\,</math> del triedro fijo <math>\,O_1X_1Y_1Z_1\,</math> (sólido "1"), y rota con velocidad angular constante <math>\,\omega_0\,</math> (en el sentido indicado en la figura) alrededor del eje vertical fijo que pasa por su vértice <math>\,O\,</math> (eje <math>\,O_1Z_1\,</math>). Sea <math>\,\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,
\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>\,OX_0Y_0Z_0\,</math> (sólido "0") definido en la figura, el cual se mueve solidariamente con el armazón triangular <math>\,ABO.\,</math>

Determine las siguientes magnitudes:

# Velocidad <math>\,\vec{v}^{\, D}_{21}\,</math> (ver <math>\,D\,</math> en la figura)
# Aceleración angular <math>\,\vec{\alpha}_{21}\,</math>
# Aceleración <math>\,\vec{a}^{\, O}_{21}\,</math>

==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
Los datos del enunciado nos permiten expresar en la base vectorial <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> las reducciones cinemáticas del movimiento <math>\{01\}\,</math> (en el punto <math>O\,</math>) y del movimiento <math>\{20\}\,</math> (en el punto <math>D\!\,</math>), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega_0\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, O}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\Omega_0\,\vec{\jmath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, D}_{20}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \overrightarrow{OD}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}L\,\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \overrightarrow{DO}=-\,\overrightarrow{OD}=-\,\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}L\,\,\vec{\imath}_0 \end{array}\right.
</math></center>
habiéndose tenido en cuenta que el punto <math>O\,</math> es un punto fijo en el movimiento <math>\{01\}\,</math> porque pertenece a su eje permanente de rotación (eje <math>O_1Z_1\,</math>), y que el punto <math>D\,</math> es un punto fijo en el movimiento <math>\{20\}\,</math> porque pertenece a su eje permanente de rotación (recta que pasa por los puntos <math>\,A\,</math> y <math>\,B\,</math>).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos <math>\{01\}\,</math> y <math>\{20\}\,</math> las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:
<center><math>
\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega_0\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega_0\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, O}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1\! =\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\Omega_0\,\vec{\jmath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, D}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, D}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_0\! =\vec{0} \end{array}\right.
</math></center>

==Velocidad {21} del punto D==
Para determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\, D}_{21}\,</math>, calculamos primero la velocidad <math>\vec{v}^{\, D}_{01}\,</math> utilizando la ecuación del campo de velocidades <math>\,\{01\}\,</math>:
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, D}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OD}=\omega_0\,\vec{k}_0\times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}L\,\,\vec{\imath}_0=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\omega_0 L\,\vec{\jmath}_0
\end{array}
</math></center>
y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto <math>D\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\, D}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{v}^{\, D}_{01}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\omega_0 L\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

==Aceleración angular {21}==
Determinamos la aceleración angular <math>\vec{\alpha}_{21}\,</math> aplicando la ley de composición de aceleraciones angulares:
<center><math>
\vec{\alpha}_{21}=\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=\omega_0\,\vec{k}_0\times \Omega_0\,\vec{\jmath}_0=\,-\,\omega_0\,\Omega_0\,\vec{\imath}_0
</math></center>

==Aceleración {21} del punto O==
La ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis) nos permite calcular la aceleración <math>\vec{a}^{\, O}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}^{\, O}_{21}=\vec{a}^{\, O}_{20}+\vec{a}^{\, O}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,\, O}_{20}
</math></center>
Determinamos, primero, la aceleración <math>\vec{a}^{\, O}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones <math>\{20\}\,</math>):
<center><math>
\vec{a}^{\, O}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, D}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}\times\,\overrightarrow{DO}\,+\,\,\vec{\omega}_{20}\,\times\,(\omega_{20}\,\times\,\overrightarrow{DO})=\Omega_0\,\vec{\jmath}_0\,\times\,\left[\,\Omega_0\,\vec{\jmath}_0\,\times\,\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}L\,\,\vec{\imath}_0\right)\right]=\Omega_0\,\vec{\jmath}_0\,\times\,\frac{\sqrt{3}}{2}\Omega_0 L\,\vec{k}_0=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\Omega_0^2\, L\,\vec{\imath}_0
</math></center>
y, a continuación, el término de Coriolis:
<center><math>
2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, O}_{20}=2\,\vec{\omega}_{01}\times(\underbrace{\vec{v}^{\, D}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{DO})=2\,\omega_0\,\vec{k}_0\times\frac{\sqrt{3}}{2}\Omega_0 L\,\vec{k}_0=\vec{0}
</math></center>
Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración <math>\vec{a}^{\, O}_{21}\,</math>:
<center><math>
\vec{a}^{\, O}_{21}=\vec{a}^{\, O}_{20}+\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}+\underbrace{2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, O}_{20}}_{\displaystyle\vec{0}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\Omega_0^2 L\,\vec{\imath}_0
</math></center>

[[Categoría:Problemas de Movimiento Relativo (GITI)]]

No Boletín - Placa triangular (Ex.Ene/16) - Historial de revisiones

Drake: /* Aceleración {21} del punto O */

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