No Boletín - Dos varillas (Ex.Feb/14) - Historial de revisiones

Drake: /* Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20} */

2024-01-15T12:08:03Z

Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

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	==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==		==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
	El movimiento de arrastre {01} (par cilíndrico) es un movimiento helicoidal alrededor de un eje fijo (<math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>), y podemos caracterizarlo mediante su reducción cinemática en el punto <math>A\,</math> (las direcciones, los módulos y los sentidos de <math>\vec{\omega}_{01}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, A}_{01}\,</math> se deducen del enunciado):		El movimiento de arrastre {01} (par cilíndrico) es un movimiento helicoidal alrededor de un eje fijo <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>, y podemos caracterizarlo mediante su reducción cinemática en el punto <math>A\,</math> (las direcciones, los módulos y los sentidos de <math>\vec{\omega}_{01}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, A}_{01}\,</math> se deducen del enunciado):
	<center><math>		<center><math>
	\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\Omega\,\vec{k}_0=\Omega\,\vec{k}_1 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=-v_0\,\vec{k}_0=-v_0\,\vec{k}_1 \end{array}\right.		\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\Omega\,\vec{k}_0=\Omega\,\vec{k}_1 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=-v_0\,\vec{k}_0=-v_0\,\vec{k}_1 \end{array}\right.
	</math></center>		</math></center>

	Por otra parte, el movimiento relativo {20} (par de revolución) es una rotación pura alrededor de un eje fijo (<math>AX_0\,</math>), y podemos caracterizarlo mediante su reducción cinemática en el punto <math>C\,</math> (<math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> es nula por pertenecer <math>C\,</math> al eje permanente de rotación {20}; y la dirección, el módulo y el sentido de <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> se deducen del enunciado):		Por otra parte, el movimiento relativo {20} (par de revolución) es una rotación pura alrededor de un eje fijo <math>AX_0\,</math>, y podemos caracterizarlo mediante su reducción cinemática en el punto <math>C\,</math> (<math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> es nula por pertenecer <math>C\,</math> al eje permanente de rotación {20}; y la dirección, el módulo y el sentido de <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> se deducen del enunciado):
	<center><math>		<center><math>
	\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\Omega\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=\vec{0} \end{array}\right.		\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\Omega\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=\vec{0} \end{array}\right.

Drake: /* Enunciado */

2024-01-15T12:05:55Z

Enunciado

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	==Enunciado==		==Enunciado==
	[[Archivo:e4ene10red.png\|right]]		[[Archivo:e4ene10red.png\|right]]
	La varilla rígida <math>AB\,</math> (sólido "0"), de longitud <math>2L\,</math>, está vinculada mediante un par cilíndrico al eje vertical <math>OZ_{1}\,</math> del triedro fijo <math>OX_1Y_1Z_1\,</math> (sólido "1"), de tal forma que dicha varilla se mantiene en todo instante perpendicular al eje <math>OZ_{1}\,</math>. La varilla "0" rota alrededor del eje <math>OZ_{1}\,</math> con velocidad angular constante <math>\Omega\,</math> (en el sentido mostrado en la figura) y, simultáneamente, su extremo <math>A\,</math> recorre el citado eje <math>OZ_{1}\,</math> con celeridad constante <math>v_0\,</math> (en el sentido indicado en la figura). Por otra parte, una segunda varilla rígida <math>CD\,</math> (sólido "2"), de longitud <math>L\,</math>, se encuentra articulada mediante un par de revolución al centro <math>C\,</math> de la primera, de tal forma que la varilla "2" se mantiene siempre contenida en el plano perpendicular a la varilla "0" que pasa por <math>C\,</math>. El movimiento {20} viene dado por la rotación de la varilla "2" alrededor del eje de la varilla "0" (eje <math>AX_{0}\,</math>) con velocidad angular constante <math>\Omega\,</math> (en el sentido mostrado en la figura). Sea <math>\{\vec{\imath}_0, \vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>AX_0Y_0Z_0\,</math> (sólido "0") que se define en la figura.		La varilla rígida <math>AB\,</math> (sólido "0"), de longitud <math>2L\,</math>, está vinculada mediante un par cilíndrico al eje vertical <math>OZ_{1}\,</math> del triedro fijo <math>OX_1Y_1Z_1\,</math> (sólido "1"), de tal forma que dicha varilla se mantiene en todo instante perpendicular al eje <math>OZ_{1}</math>. La varilla "0" rota alrededor del eje <math>OZ_{1}\,</math> con velocidad angular constante <math>\Omega\,</math> (en el sentido mostrado en la figura) y, simultáneamente, su extremo <math>A\,</math> recorre el citado eje <math>OZ_{1}\,</math> con celeridad constante <math>v_0\,</math> (en el sentido indicado en la figura). Por otra parte, una segunda varilla rígida <math>CD\,</math> (sólido "2"), de longitud <math>L\,</math>, se encuentra articulada mediante un par de revolución al centro <math>C\,</math> de la primera, de tal forma que la varilla "2" se mantiene siempre contenida en el plano perpendicular a la varilla "0" que pasa por <math>C\,</math>. El movimiento {20} viene dado por la rotación de la varilla "2" alrededor del eje de la varilla "0" (eje <math>AX_{0}\,</math>) con velocidad angular constante <math>\Omega\,</math> (en el sentido mostrado en la figura). Sea <math>\{\vec{\imath}_0, \vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>AX_0Y_0Z_0\,</math> (sólido "0") que se define en la figura.

	Determine las siguientes magnitudes:		Determine las siguientes magnitudes:

Drake: Página creada con «==Enunciado== right La varilla rígida $AB\,$ (sólido "0"), de longitud $2L\,$ , está vinculada mediante un par cilíndrico al eje vertical $OZ_{1}\,$ del triedro fijo $OX_1Y_1Z_1\,$ (sólido "1"), de tal forma que dicha varilla se mantiene en todo instante perpendicular al eje $OZ_{1}\,$ . La varilla "0" rota alrededor del eje $OZ_{1}\,$ con velocidad angular constante $…»$

2024-01-12T19:34:51Z

Página creada con «==Enunciado== right La varilla rígida <math>AB\,</math> (sólido "0"), de longitud <math>2L\,</math>, está vinculada mediante un par cilíndrico al eje vertical <math>OZ_{1}\,</math> del triedro fijo <math>OX_1Y_1Z_1\,</math> (sólido "1"), de tal forma que dicha varilla se mantiene en todo instante perpendicular al eje <math>OZ_{1}\,</math>. La varilla "0" rota alrededor del eje <math>OZ_{1}\,</math> con velocidad angular constante <math>…»

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==Enunciado==
[[Archivo:e4ene10red.png|right]]
La varilla rígida <math>AB\,</math> (sólido "0"), de longitud <math>2L\,</math>, está vinculada mediante un par cilíndrico al eje vertical <math>OZ_{1}\,</math> del triedro fijo <math>OX_1Y_1Z_1\,</math> (sólido "1"), de tal forma que dicha varilla se mantiene en todo instante perpendicular al eje <math>OZ_{1}\,</math>. La varilla "0" rota alrededor del eje <math>OZ_{1}\,</math> con velocidad angular constante <math>\Omega\,</math> (en el sentido mostrado en la figura) y, simultáneamente, su extremo <math>A\,</math> recorre el citado eje <math>OZ_{1}\,</math> con celeridad constante <math>v_0\,</math> (en el sentido indicado en la figura). Por otra parte, una segunda varilla rígida <math>CD\,</math> (sólido "2"), de longitud <math>L\,</math>, se encuentra articulada mediante un par de revolución al centro <math>C\,</math> de la primera, de tal forma que la varilla "2" se mantiene siempre contenida en el plano perpendicular a la varilla "0" que pasa por <math>C\,</math>. El movimiento {20} viene dado por la rotación de la varilla "2" alrededor del eje de la varilla "0" (eje <math>AX_{0}\,</math>) con velocidad angular constante <math>\Omega\,</math> (en el sentido mostrado en la figura). Sea <math>\{\vec{\imath}_0, \vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>AX_0Y_0Z_0\,</math> (sólido "0") que se define en la figura.

Determine las siguientes magnitudes:

# Velocidad <math>\vec{v}^{\, C}_{01}\,</math>
# Aceleración angular <math>\vec{\alpha}_{21}\,</math>
# Aceleración <math>\vec{a}^{\, C}_{21}\,</math>

==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
El movimiento de arrastre {01} (par cilíndrico) es un movimiento helicoidal alrededor de un eje fijo (<math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>), y podemos caracterizarlo mediante su reducción cinemática en el punto <math>A\,</math> (las direcciones, los módulos y los sentidos de <math>\vec{\omega}_{01}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, A}_{01}\,</math> se deducen del enunciado):
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\Omega\,\vec{k}_0=\Omega\,\vec{k}_1 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=-v_0\,\vec{k}_0=-v_0\,\vec{k}_1 \end{array}\right.
</math></center>

Por otra parte, el movimiento relativo {20} (par de revolución) es una rotación pura alrededor de un eje fijo (<math>AX_0\,</math>), y podemos caracterizarlo mediante su reducción cinemática en el punto <math>C\,</math> (<math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> es nula por pertenecer <math>C\,</math> al eje permanente de rotación {20}; y la dirección, el módulo y el sentido de <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> se deducen del enunciado):
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\Omega\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=\vec{0} \end{array}\right.
</math></center>

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también las aceleraciones angulares y las aceleraciones de los puntos <math>A\,</math> y <math>C\,</math>, respectivamente, en los movimientos de arrastre y relativo:
<center><math>
\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\,\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\Omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}\,\,; \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-v_0\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}\,\,; \end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\Omega\,\vec{\imath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \end{array}
</math></center>

==Velocidad {01} del punto C==
La velocidad de arrastre <math>\vec{v}^{\, C}_{01}\,</math> se determina utilizando la ecuación del campo de velocidades {01}:
<center><math>
\vec{v}^{\, C}_{01}=\displaystyle\vec{v}^{\, A}_{01}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AC}=-v_0\,\vec{k}_0+\Omega\,\vec{k}_0\times L\,\vec{\imath}_0=\Omega L\,\vec{\jmath}_0-v_0\,\vec{k}_0
</math></center>

==Aceleración angular {21}==
Determinamos <math>\vec{\alpha}_{21}\,</math> aplicando la ley de composición de aceleraciones angulares:
<center><math>
\vec{\alpha}_{21}=\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{=\,\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=\Omega\,\vec{k}_0\times \Omega\,\vec{\imath}_0=\Omega^2\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

==Aceleración {21} del punto C==
Calculamos primero la aceleración de arrastre <math>\vec{a}^{\, C}_{01}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):
<center><math>
\vec{a}^{\, C}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{=\,\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{=\,\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AC}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AC})=\Omega\,\vec{k}_0\times(\Omega\,\vec{k}_0\times L\,\vec{\imath}_0)=-\,\Omega^2 L\,\vec{\imath}_0
</math></center>
y después la sustituimos en la ley de composición de aceleraciones para obtener la aceleración absoluta <math>\vec{a}^{\, C}_{21}\,</math> (en este ejercicio se anulan los correspondientes términos de aceleración relativa y de aceleración de Coriolis):
<center><math>
\vec{a}^{\, C}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{=\,\vec{0}}+\,\,\vec{a}^{\, C}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\underbrace{\vec{v}^{\, C}_{20}}_{=\,\vec{0}}=-\,\Omega^2 L\,\vec{\imath}_0
</math></center>

[[Categoría:Problemas de Movimiento Relativo (GITI)]]