No Boletín - Dos varillas (Ex.Ene/16) - Historial de revisiones

Drake: /* Vector de posición del C.I.R. del movimiento {20} */

2024-01-16T18:47:58Z

Vector de posición del C.I.R. del movimiento {20}

← Revisión anterior		Revisión del 20:47 16 ene 2024
Línea 71:		Línea 71:
	La posición del centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,</math> respecto al origen de coordenadas <math>O\,</math> se puede determinar ANALÍTICAMENTE mediante la fórmula:		La posición del centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,</math> respecto al origen de coordenadas <math>O\,</math> se puede determinar ANALÍTICAMENTE mediante la fórmula:
	<center><math>		<center><math>
	\overrightarrow{OI_{20}}=\frac{\vec{\omega}_{20}\times\vec{v}^{\,\, O}_{20}}{\|\,\vec{\omega}_{20}\|^{2}}=2a\,\vec{\imath}		\overrightarrow{OI_{20}}=\frac{\vec{\omega}_{20}\times\vec{v}^{\, O}_{20}}{\|\,\vec{\omega}_{20}\|^{2}}=2a\,\vec{\imath}
	</math></center>		</math></center>
	El vector de posición <math>\overrightarrow{OI_{20}}\,</math> obtenido es constante (no depende del parámetro <math>\theta\,</math> descriptivo del movimiento del sistema). Por tanto, <math>I_{20}\,</math> es en realidad un centro permanente de rotación.		El vector de posición <math>\overrightarrow{OI_{20}}\,</math> obtenido es constante (no depende del parámetro <math>\theta\,</math> descriptivo del movimiento del sistema). Por tanto, <math>I_{20}\,</math> es en realidad un centro permanente de rotación.

Drake: /* Velocidad {20} del punto O */

2024-01-16T18:46:01Z

Velocidad {20} del punto O

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Línea 41:		Línea 41:
	Empezaremos calculando la velocidad <math>\vec{v}^{\, O}_{21}\,</math>, y para ello vamos a determinar previamente la reducción cinemática <math>\{21\}\,</math> en el punto <math>\,C\,</math>. Elegimos <math>\,C\,</math> como centro de reducción <math>\{21\}\,</math> porque la varilla "2" se halla articulada en dicho punto, y por tanto <math>\,C\,</math> es un punto fijo en el movimiento <math>\{21\}\,</math>:		Empezaremos calculando la velocidad <math>\vec{v}^{\, O}_{21}\,</math>, y para ello vamos a determinar previamente la reducción cinemática <math>\{21\}\,</math> en el punto <math>\,C\,</math>. Elegimos <math>\,C\,</math> como centro de reducción <math>\{21\}\,</math> porque la varilla "2" se halla articulada en dicho punto, y por tanto <math>\,C\,</math> es un punto fijo en el movimiento <math>\{21\}\,</math>:
	<center><math>		<center><math>
	\vec{v}^{\,\, C}_{21}=\vec{0}		\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{0}
	</math></center>		</math></center>
	Al ser <math>\,\theta\,</math> el ángulo que forma la varilla <math>\,AB\,</math> (sólido "2") con respecto al eje <math>\,OX\,</math> (sólido "1"), la velocidad angular <math>\,\vec{\omega}_{21}\,</math> puede expresarse así:		Al ser <math>\,\theta\,</math> el ángulo que forma la varilla <math>\,AB\,</math> (sólido "2") con respecto al eje <math>\,OX\,</math> (sólido "1"), la velocidad angular <math>\,\vec{\omega}_{21}\,</math> puede expresarse así:
Línea 52:		Línea 52:
	\mathrm{si}\,\,\,\dot{\theta}<0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{k}<0		\mathrm{si}\,\,\,\dot{\theta}<0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{k}<0
	</math></center>		</math></center>
	Conocida la reducción cinemática <math>\{\vec{\omega}_{21}\,; \vec{v}^{\,\, C}_{21}\}</math>, ya podemos calcular la velocidad <math>\vec{v}^{\,\, O}_{21}\,</math> mediante la ecuación del campo de velocidades <math>\{21\}\,</math>:		Conocida la reducción cinemática <math>\{\vec{\omega}_{21}\,; \vec{v}^{\, C}_{21}\}</math>, ya podemos calcular la velocidad <math>\vec{v}^{\, O}_{21}\,</math> mediante la ecuación del campo de velocidades <math>\{21\}\,</math>:
	<center><math>		<center><math>
	\vec{v}^{\,\, O}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\,\, C}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CO}=\dot{\theta}\,\vec{k}\times(-\,a\,\vec{\imath}\,\,)=-\,a\dot{\theta}\,\vec{\jmath}		\vec{v}^{\, O}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\, C}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CO}=\dot{\theta}\,\vec{k}\times(-\,a\,\vec{\imath}\,\,)=-\,a\dot{\theta}\,\vec{\jmath}
	</math></center>		</math></center>
	Por otra parte, el punto <math>\,O\,</math> es un punto fijo en el movimiento <math>\{01\}\,</math> porque la varilla "0" se halla articulada en él:		Por otra parte, el punto <math>\,O\,</math> es un punto fijo en el movimiento <math>\{01\}\,</math> porque la varilla "0" se halla articulada en él:
	<center><math>		<center><math>
	\vec{v}^{\,\, O}_{01}=\vec{0}		\vec{v}^{\, O}_{01}=\vec{0}
	</math></center>		</math></center>
	Conocidas las velocidades <math>\vec{v}^{\,\, O}_{21}\,</math> y <math>\vec{v}^{\,\, O}_{01}\,</math>, la ley de composición de velocidades nos permite determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\,\, O}_{20}\,</math>:		Conocidas las velocidades <math>\vec{v}^{\, O}_{21}\,</math> y <math>\vec{v}^{\, O}_{01}\,</math>, la ley de composición de velocidades nos permite determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\, O}_{20}\,</math>:
	<center><math>		<center><math>
	\vec{v}^{\,\, O}_{21}=\vec{v}^{\,\, O}_{20}+\,\vec{v}^{\,\, O}_{01}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,		\vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, O}_{20}+\,\vec{v}^{\, O}_{01}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,
	\vec{v}^{\,\, O}_{20}=\vec{v}^{\,\, O}_{21}\!-\underbrace{\vec{v}^{\,\, O}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}=-\,a\dot{\theta}\,\vec{\jmath}		\vec{v}^{\, O}_{20}=\vec{v}^{\, O}_{21}\!-\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}=-\,a\dot{\theta}\,\vec{\jmath}
	</math></center>		</math></center>

Drake: /* Velocidad {20} del punto O */

2024-01-16T18:42:16Z

Velocidad {20} del punto O

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Línea 39:		Línea 39:

	==Velocidad {20} del punto O==		==Velocidad {20} del punto O==
	Empezaremos calculando la velocidad <math>\vec{v}^{\,\, O}_{21}\,</math>, y para ello vamos a determinar previamente la reducción cinemática <math>\{21\}\,</math> en el punto <math>\,C\,</math>. Elegimos <math>\,C\,</math> como centro de reducción <math>\{21\}\,</math> porque la varilla "2" se halla articulada en dicho punto, y por tanto <math>\,C\,</math> es un punto fijo en el movimiento <math>\{21\}\,</math>:		Empezaremos calculando la velocidad <math>\vec{v}^{\, O}_{21}\,</math>, y para ello vamos a determinar previamente la reducción cinemática <math>\{21\}\,</math> en el punto <math>\,C\,</math>. Elegimos <math>\,C\,</math> como centro de reducción <math>\{21\}\,</math> porque la varilla "2" se halla articulada en dicho punto, y por tanto <math>\,C\,</math> es un punto fijo en el movimiento <math>\{21\}\,</math>:
	<center><math>		<center><math>
	\vec{v}^{\,\, C}_{21}=\vec{0}		\vec{v}^{\,\, C}_{21}=\vec{0}

Drake: /* Enunciado */

2024-01-16T18:39:31Z

Enunciado

← Revisión anterior		Revisión del 20:39 16 ene 2024
Línea 10:		Línea 10:

	# Velocidad angular <math>\,\vec{\omega}_{20}\,</math>		# Velocidad angular <math>\,\vec{\omega}_{20}\,</math>
	# Velocidad <math>\,\vec{v}^{\,\, O} _{20}\,</math>		# Velocidad <math>\,\vec{v}^{\, O} _{20}\,</math>
	# Vector de posición <math>\,\overrightarrow{OI_{20}}\,</math> del centro instantáneo de rotación del movimiento <math>\,\{20\}\,</math>		# Vector de posición <math>\,\overrightarrow{OI_{20}}</math> del centro instantáneo de rotación del movimiento <math>\{20\}</math>

	==Velocidad angular del movimiento {20}==		==Velocidad angular del movimiento {20}==

Drake: Página creada con «==Enunciado== right El sistema mecánico de la figura está constituido por dos varillas móviles, $\,AB\,$ (sólido "2") y $\,OD\,$ (sólido "0"), ambas de grosor despreciable e igual longitud $\,2a,\,$ y contenidas siempre en el plano fijo $\,OXY\,$ (sólido "1"). Cada varilla se encuentra articulada en un punto fijo: la primera en su centro $\,C(a,0)\,$ y la segunda en su extremo…»

2024-01-13T19:23:04Z

Página creada con «==Enunciado== right El sistema mecánico de la figura está constituido por dos varillas móviles, <math>\,AB\,</math> (sólido "2") y <math>\,OD\,</math> (sólido "0"), ambas de grosor despreciable e igual longitud <math>\,2a,\,</math> y contenidas siempre en el plano fijo <math>\,OXY\,</math> (sólido "1"). Cada varilla se encuentra articulada en un punto fijo: la primera en su centro <math>\,C(a,0)\,</math> y la segunda en su extremo…»

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==Enunciado==
[[Archivo:varilla-varilla.png|right]]
El sistema mecánico de la figura está constituido por dos varillas móviles, <math>\,AB\,</math> (sólido "2") y <math>\,OD\,</math> (sólido "0"), ambas de grosor despreciable e igual longitud <math>\,2a,\,</math> y contenidas siempre en el plano fijo <math>\,OXY\,</math> (sólido "1"). Cada varilla se encuentra articulada en un punto fijo: la primera en su centro <math>\,C(a,0)\,</math> y la segunda en su extremo <math>\,O(0,0).\,</math> Además, ambas varillas se mueven vinculadas entre sí porque la varilla <math>\,OD\,</math> posee una
acanaladura longitudinal por la cual desliza el extremo <math>\,A\,</math> de la varilla <math>\,AB.\,</math> Se utiliza el ángulo <math>\,\theta ,\,</math> formado por la varilla <math>\,AB\,</math> y el eje <math>\,OX,\,</math> como parámetro descriptivo del movimiento del
sistema.

'''Nota:''' Obsérvese que, con ayuda del triángulo isósceles <math>\,OAC\,</math> de la figura, se puede determinar (en función de <math>\,\theta\,</math>) el ángulo formado por la varilla <math>\,OD\,</math> y el eje <math>\,OX,\,</math> o también el ángulo formado por ambas varillas.

Determine las siguientes magnitudes:

# Velocidad angular <math>\,\vec{\omega}_{20}\,</math>
# Velocidad <math>\,\vec{v}^{\,\, O} _{20}\,</math>
# Vector de posición <math>\,\overrightarrow{OI_{20}}\,</math> del centro instantáneo de rotación del movimiento <math>\,\{20\}\,</math>

==Velocidad angular del movimiento {20}==
[[Archivo:varilla-varilla-sol.png|right]]

Exigiendo que la suma de todos los ángulos internos del triángulo isósceles <math>\,OAC\,</math> sea <math>\,\pi\,</math> radianes, determinamos el ángulo <math>\,\beta\,</math> (en color azul en la figura adjunta) que forman ambas varillas entre sí:
<center><math>
2\,\beta+\theta=\pi\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, \beta=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}
</math></center>

Al ser <math>\,\beta\,</math> el ángulo que forma la varilla <math>\,AB\,</math> (sólido "2") con respecto a la varilla <math>\,OD\,</math> (sólido "0"), la velocidad angular <math>\,\vec{\omega}_{20}\,</math> puede expresarse así:
<center><math>
\vec{\omega}_{20}=-\,\dot{\beta}\,\vec{k}
</math></center>
donde el signo negativo se justifica mediante el siguiente razonamiento: si el ángulo <math>\,\beta\,</math> que forma la varilla "2" respecto a la varilla "0" aumenta (<math>\dot{\beta}>0\,</math>), la rotación <math>\{20\}\,</math> es horaria (<math>\,\vec{\omega}_{20}\cdot\vec{k}<0</math>). Ampliando este razonamiento a la situación inversa, podemos resumir la justificación del signo negativo en la necesidad de garantizar las siguientes correspondencias:
<center><math>
\mathrm{si}\,\,\,\dot{\beta}>0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}\cdot\vec{k}<0 \,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\mathrm{si}\,\,\,\dot{\beta}<0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}\cdot\vec{k}>0
</math></center>

Sustituyendo la expresión de <math>\,\beta\,</math> obtenida al principio, determinamos <math>\,\vec{\omega}_{20}\,</math>:

{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}
<math>
\vec{\omega}_{20}=-\,\dot{\beta}\,\vec{k}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\dot{\theta}}{2}\,\vec{k}
</math>

==Velocidad {20} del punto O==
Empezaremos calculando la velocidad <math>\vec{v}^{\,\, O}_{21}\,</math>, y para ello vamos a determinar previamente la reducción cinemática <math>\{21\}\,</math> en el punto <math>\,C\,</math>. Elegimos <math>\,C\,</math> como centro de reducción <math>\{21\}\,</math> porque la varilla "2" se halla articulada en dicho punto, y por tanto <math>\,C\,</math> es un punto fijo en el movimiento <math>\{21\}\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\,\, C}_{21}=\vec{0}
</math></center>
Al ser <math>\,\theta\,</math> el ángulo que forma la varilla <math>\,AB\,</math> (sólido "2") con respecto al eje <math>\,OX\,</math> (sólido "1"), la velocidad angular <math>\,\vec{\omega}_{21}\,</math> puede expresarse así:
<center><math>
\vec{\omega}_{21}=\dot{\theta}\,\vec{k}
</math></center>
donde el signo positivo (que se omite) delante de <math>\,\dot{\theta}\,</math> se justifica mediante el siguiente razonamiento: si el ángulo <math>\,\theta\,</math> que forma la varilla "2" con respecto al eje <math>\,OX\,</math> del sólido "1" aumenta (<math>\dot{\theta}>0\,</math>), la rotación <math>\{21\}\,</math> es antihoraria (<math>\,\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{k}>0</math>). Ampliando este razonamiento a la situación inversa, cabe resumir la justificación del signo positivo en la necesidad de garantizar las siguientes correspondencias:
<center><math>
\mathrm{si}\,\,\,\dot{\theta}>0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{k}>0\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\mathrm{si}\,\,\,\dot{\theta}<0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{k}<0
</math></center>
Conocida la reducción cinemática <math>\{\vec{\omega}_{21}\,; \vec{v}^{\,\, C}_{21}\}</math>, ya podemos calcular la velocidad <math>\vec{v}^{\,\, O}_{21}\,</math> mediante la ecuación del campo de velocidades <math>\{21\}\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\,\, O}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\,\, C}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CO}=\dot{\theta}\,\vec{k}\times(-\,a\,\vec{\imath}\,\,)=-\,a\dot{\theta}\,\vec{\jmath}
</math></center>
Por otra parte, el punto <math>\,O\,</math> es un punto fijo en el movimiento <math>\{01\}\,</math> porque la varilla "0" se halla articulada en él:
<center><math>
\vec{v}^{\,\, O}_{01}=\vec{0}
</math></center>
Conocidas las velocidades <math>\vec{v}^{\,\, O}_{21}\,</math> y <math>\vec{v}^{\,\, O}_{01}\,</math>, la ley de composición de velocidades nos permite determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\,\, O}_{20}\,</math>:
<center><math>
\vec{v}^{\,\, O}_{21}=\vec{v}^{\,\, O}_{20}+\,\vec{v}^{\,\, O}_{01}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,
\vec{v}^{\,\, O}_{20}=\vec{v}^{\,\, O}_{21}\!-\underbrace{\vec{v}^{\,\, O}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}=-\,a\dot{\theta}\,\vec{\jmath}
</math></center>

==Vector de posición del C.I.R. del movimiento {20}==
[[Archivo:varilla-varilla-sol2.png|right]]

La posición del centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,</math> respecto al origen de coordenadas <math>O\,</math> se puede determinar ANALÍTICAMENTE mediante la fórmula:
<center><math>
\overrightarrow{OI_{20}}=\frac{\vec{\omega}_{20}\times\vec{v}^{\,\, O}_{20}}{|\,\vec{\omega}_{20}|^{2}}=2a\,\vec{\imath}
</math></center>
El vector de posición <math>\overrightarrow{OI_{20}}\,</math> obtenido es constante (no depende del parámetro <math>\theta\,</math> descriptivo del movimiento del sistema). Por tanto, <math>I_{20}\,</math> es en realidad un centro permanente de rotación.

También es posible determinar la posición de <math>I_{20}\,</math> GRÁFICAMENTE.

Para ello, localizamos primero los centros permanentes de rotación <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math>, que coinciden con los puntos de articulación de las varillas "2" y "0", respectivamente:
<center><math>
I_{21}\equiv C\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,I_{01}\equiv O
</math></center>

En cuanto al movimiento <math>\{20\}\!\!\,</math>, se nos indica que el extremo <math>A\,</math> de la varilla "2" está obligado a recorrer la acanaladura longitudinal de la varilla "0", lo cual nos permite saber que la velocidad <math>\vec{v}^{\, A}_{20}\,</math> es necesariamente colineal con la propia varilla "0". Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto <math>A\,</math> y trazando la recta que pasa por los puntos <math>\,I_{01}\,</math> e <math>\,I_{21}\,</math> (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto <math>\,I_{20}\,</math> en la intersección de ambas rectas:
<center><math>
\left.\begin{array}{r}
\vec{v}_{20}^{A}\perp\overrightarrow{I_{20}A} \\ \\ \{I_{01},\, I_{21},\, I_{20}\} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\Longrightarrow\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{A} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, A \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{01}I_{21}}
</math></center>
Por último, subrayemos la obligada coincidencia de resultados entre el procedimiento analítico y el procedimiento gráfico utilizados para determinar la posición de <math>\,I_{20}\,</math>. Nótese que el punto <math>\,A\,</math> recorre en su movimiento absoluto una circunferencia de radio <math>\,a\,</math> y centro en <math>\,C\,</math> (marcada con línea negra discontinua en la figura adjunta). El punto <math>I_{20}\,</math> se sitúa sobre dicha circunferencia y en la posición diametralmente opuesta a la posición del punto <math>\,O\,</math>, de tal modo que el diámetro fijo <math>\,OI_{20}\,</math> es "visto" siempre bajo un ángulo de 90º desde el punto <math>\,A\,</math> con independencia de la posición concreta de este último sobre la circunferencia (arco capaz de 90º).

[[Categoría:Problemas de Movimiento Plano (GITI)]]