Drake: Página creada con «==Enunciado== Una partícula, que se mueve a lo largo del eje $OX\,$ , tiene en el instante inicial $(t=0)\,$ una velocidad $\vec{v}(0)=v_0\,\vec{\imath}\,$ (donde $v_0>0\,$ ) y sufre una desaceleración creciente en el tiempo, dada por la función $\vec{a}(t)=-Ct\,\vec{\imath}\,$ (donde $C=\mbox{cte}>0\,$ ), hasta que finalmente se detiene. ¿Cuál es la celeridad media de la partícula en el intervalo d…»

2024-01-09T18:46:12Z

Página creada con «==Enunciado== Una partícula, que se mueve a lo largo del eje <math>OX\,</math>, tiene en el instante inicial <math>(t=0)\,</math> una velocidad <math>\vec{v}(0)=v_0\,\vec{\imath}\,</math> (donde <math>v_0>0\,</math>) y sufre una desaceleración creciente en el tiempo, dada por la función <math>\vec{a}(t)=-Ct\,\vec{\imath}\,</math> (donde <math>C=\mbox{cte}>0\,</math>), hasta que finalmente se detiene. ¿Cuál es la celeridad media de la partícula en el intervalo d…»

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==Enunciado==
Una partícula, que se mueve a lo largo del eje <math>OX\,</math>, tiene en el instante inicial <math>(t=0)\,</math> una velocidad <math>\vec{v}(0)=v_0\,\vec{\imath}\,</math> (donde <math>v_0>0\,</math>) y sufre una desaceleración creciente en el tiempo, dada por la función <math>\vec{a}(t)=-Ct\,\vec{\imath}\,</math> (donde
<math>C=\mbox{cte}>0\,</math>), hasta que finalmente se detiene.

¿Cuál es la celeridad media de la partícula en el intervalo de tiempo transcurrido entre el instante inicial y el instante en el que se detiene?

==Posición y velocidad en función del tiempo==
Conforme a las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea, podemos escribir:
<center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{d}\vec{r}=\vec{v}\,\mathrm{d}t \,\, ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-C t\,\vec{\imath}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{d}\vec{v}=-C t\,\mathrm{d}t\,\vec{\imath}</math></center>

Conocemos la velocidad inicial de la partícula, y podemos suponer sin pérdida de generalidad que su posición inicial coincide con el origen de coordenadas:
<center><math>\vec{r}(0)=\vec{0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}(0)=v_0\,\vec{\imath}</math></center>

Por tanto, determinar la velocidad y la posición de la partícula en función del tiempo se reduce a integrar su aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y el instante genérico <math>t\,</math>:
<center><math>
\begin{array}{lll} \displaystyle\int_{\vec{v}(0)}^{\vec{v}(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}=-C\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t\,\mathrm{d}t\right)\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}(t)=\vec{v}(0)-\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\,\vec{\imath}=\left(v_0-\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\right)\,\vec{\imath} \\ \\
\displaystyle\int_{\vec{r}(0)}^{\vec{r}(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}=\left[\displaystyle\int_{0}^{t}\left(v_0-\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\right)\,\mathrm{d}t\right]\vec{\imath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{r}(t)=\left[\,v_0\,t-\displaystyle\frac{Ct^3}{6}\,\right]\,\vec{\imath}\end{array}
</math></center>

==Instante en el que la partícula se detiene==
Igualando a cero la velocidad de la partícula, determinamos el instante (<math>\,\,t=t^{*}\,</math>) en el que se detiene:
<center><math>
\vec{v}(t^{*})=\vec{0} \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \left(v_0-\displaystyle\frac{C(t^{*})^2}{2}\right)\,\vec{\imath}=\vec{0}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_0-\displaystyle\frac{C(t^{*})^2}{2}=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,t^{*}=\displaystyle\sqrt{\frac{2v_0}{C}}
</math></center>

==Celeridad media en el intervalo de tiempo propuesto==
Nótese que <math>v_x(t)=v_0-\displaystyle\frac{Ct^2}{2}\,</math> es positiva en el intervalo de tiempo <math>0< t<t^{*}\,</math>, lo cual implica que la partícula se mueve siempre en el sentido positivo del eje <math>\,OX\,</math> durante dicho intervalo. Por tanto, la distancia <math>L\,</math> recorrida por la partícula durante el intervalo propuesto coincide con el incremento de su coordenada <math>\Delta\, x\,</math>. Teniendo en cuenta que <math>x(t)=v_0\,t-\displaystyle\frac{Ct^3}{6}\,</math>, se obtiene:
<center><math>
L=\Delta\, x=x(t^{*})-x(0)=v_0\,t^{*}-\displaystyle\frac{C(t^{*})^3}{6}=v_0\displaystyle\sqrt{\frac{2v_0}{C}}-\displaystyle\frac{C}{6}\displaystyle\frac{2v_0}{C}\displaystyle\sqrt{\frac{2v_0}{C}}=\frac{2v_0}{3}\sqrt{\frac{2v_0}{C}}
</math></center>

Finalmente, la celeridad media de la partícula en el intervalo de tiempo propuesto viene dada por el siguiente cociente:
<center><math>
\left\langle v\right\rangle = \frac{L}{\Delta\, t}=\frac{L}{t^{*}}=\displaystyle\frac{2v_0}{3}
</math></center>

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