Drake: /* Solución */

2024-01-08T18:02:14Z

Solución

← Revisión anterior		Revisión del 20:02 8 ene 2024
Línea 15:		Línea 15:
	Las coordenadas de un punto en un sistema de ejes cartesianos son las componentes de su vector de posición en la base ortonormal asociada, es decir:		Las coordenadas de un punto en un sistema de ejes cartesianos son las componentes de su vector de posición en la base ortonormal asociada, es decir:
	<center><math>		<center><math>
	A(2,4,0)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OA}=2\,\vec{\imath}\,+\,4\,\vec{\jmath}\,;\,\,\,\,		A(2,4,0)\,\,\longrightarrow\,\,\overrightarrow{OA}=2\,\vec{\imath}\,+\,4\,\vec{\jmath}\,;\,\,\,\,
	B(0,2,2)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OB}=2\,\vec{\jmath}\,+\,2\,\vec{k}\,;\,\,\,\,		B(0,2,2)\,\,\longrightarrow\,\,\overrightarrow{OB}=2\,\vec{\jmath}\,+\,2\,\vec{k}\,;\,\,\,\,
	C(-1,0,\mathrm{p})\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OC}=-\,\vec{\imath}\,+\,\mathrm{p}\,\vec{k}		C(-1,0,\mathrm{p})\,\,\longrightarrow\,\,\overrightarrow{OC}=-\,\vec{\imath}\,+\,\mathrm{p}\,\vec{k}
	</math></center>		</math></center>
	Y por otra parte:		Y por otra parte:

Drake: /* Solución */

2024-01-08T18:00:27Z

Solución

← Revisión anterior		Revisión del 20:00 8 ene 2024
Línea 15:		Línea 15:
	Las coordenadas de un punto en un sistema de ejes cartesianos son las componentes de su vector de posición en la base ortonormal asociada, es decir:		Las coordenadas de un punto en un sistema de ejes cartesianos son las componentes de su vector de posición en la base ortonormal asociada, es decir:
	<center><math>		<center><math>
	A(2,4,0)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OA}=2\,\vec{\imath}\,+\,4\,\vec{\jmath}\,;~~\,\,\,\,\,\,~~\,\,\,\,		A(2,4,0)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OA}=2\,\vec{\imath}\,+\,4\,\vec{\jmath}\,;\,\,\,\,
	B(0,2,2)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OB}=2\,\vec{\jmath}\,+\,2\,\vec{k}\,;~~\,\,\,\,\,\,~~\,\,\,\,		B(0,2,2)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OB}=2\,\vec{\jmath}\,+\,2\,\vec{k}\,;\,\,\,\,
	C(-1,0,\mathrm{p})\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OC}=-\,\vec{\imath}\,+\,\mathrm{p}\,\vec{k}		C(-1,0,\mathrm{p})\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OC}=-\,\vec{\imath}\,+\,\mathrm{p}\,\vec{k}
	</math></center>		</math></center>

Drake: Página creada con «==Enunciado== En un triedro cartesiano $OXYZ\,$ se consideran los siguientes puntos: $O(0,0,0)\,$ , $A(2,4,0)\,$ , $B(0,2,2)\,$ y $C(-1,0,p)\,$ . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? :(1) $\overrightarrow{OA}\,$ , $\overrightarrow{OB}\,$ y $\overrightarrow{OC}\,$ constituyen una base si $p\neq 2\,$ :(2) $\overrightarrow{OB}\,$ y $\overrightarro…»$

2024-01-08T17:57:09Z

Página creada con «==Enunciado== En un triedro cartesiano <math>OXYZ\,</math> se consideran los siguientes puntos: <math>O(0,0,0)\,</math>, <math>A(2,4,0)\,</math>, <math>B(0,2,2)\,</math> y <math>C(-1,0,p)\,</math>. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? :(1) <math>\overrightarrow{OA}\,</math>, <math>\overrightarrow{OB}\,</math> y <math>\overrightarrow{OC}\,</math> constituyen una base si <math>p\neq 2\,</math> :(2) <math>\overrightarrow{OB}\,</math> y <math>\overrightarro…»

Página nueva

==Enunciado==
En un triedro cartesiano <math>OXYZ\,</math> se consideran los siguientes puntos: <math>O(0,0,0)\,</math>, <math>A(2,4,0)\,</math>, <math>B(0,2,2)\,</math> y <math>C(-1,0,p)\,</math>.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

:(1) <math>\overrightarrow{OA}\,</math>, <math>\overrightarrow{OB}\,</math> y <math>\overrightarrow{OC}\,</math> constituyen una base si <math>p\neq 2\,</math>

:(2) <math>\overrightarrow{OB}\,</math> y <math>\overrightarrow{BC}\,</math> son ortogonales si <math>p= 4\,</math>

:(3) <math>\overrightarrow{OA}\,</math>, <math>\overrightarrow{AB}\,</math> y <math>\overrightarrow{BC}\,</math> son coplanarios si <math>p= 1\,</math>

:(4) <math>\overrightarrow{OA}\,</math> y <math>\overrightarrow{BC}\,</math> son paralelos si <math>p= 2\,</math>

==Solución==
Las coordenadas de un punto en un sistema de ejes cartesianos son las componentes de su vector de posición en la base ortonormal asociada, es decir:
<center><math>
A(2,4,0)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OA}=2\,\vec{\imath}\,+\,4\,\vec{\jmath}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
B(0,2,2)\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OB}=2\,\vec{\jmath}\,+\,2\,\vec{k}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
C(-1,0,\mathrm{p})\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\overrightarrow{OC}=-\,\vec{\imath}\,+\,\mathrm{p}\,\vec{k}
</math></center>
Y por otra parte:
<center><math>
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=-2\,\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=-\,\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+(\mathrm{p}-2)\,\vec{k}
</math></center>
Exigiendo la condición de ortogonalidad (producto escalar nulo) a los vectores <math>\overrightarrow{OB}\,</math> y <math>\overrightarrow{BC}\,</math>:
<center><math>
\overrightarrow{OB}\,\cdot\,\overrightarrow{BC}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,[\,2\,\vec{\jmath}\,+\,2\,\vec{k}\,]\cdot[\,-\,\vec{\imath}\,-\,2\,\vec{\jmath}\,+\,(\mathrm{p}-2)\,\vec{k}\,]=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,2\,\mathrm{p}\,-\,8=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{p}=4
</math></center>
Por tanto, la afirmación (2) es correcta.

Exigiendo la condición de paralelismo (producto vectorial nulo) a los vectores <math>\overrightarrow{OA}\,</math> y <math>\overrightarrow{BC}\,</math>:
<center><math>
\overrightarrow{OA}\,\times\,\overrightarrow{BC}=\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\left|\begin{array}{rrc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 4 & 0 \\ -1 & -2 & (\mathrm{p}-2) \end{array}\right|=\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,(4\,\mathrm{p}\,-\,8)\,\vec{\imath}\,+\,(-2\,\mathrm{p}\,+\,4)\,\vec{\jmath}=\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{p}=2
</math></center>
Por tanto, la afirmación (4) es correcta.

Exigiendo la condición de no coplanariedad (producto mixto no nulo) a los vectores <math>\overrightarrow{OA}\,</math>, <math>\overrightarrow{OB}\,</math> y <math>\overrightarrow{OC}\,</math>, se garantiza que dicha terna constituya una base:
<center><math>
\overrightarrow{OA}\,\cdot\,(\overrightarrow{OB}\,\times\,\overrightarrow{OC})\neq 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\left|\begin{array}{rrc} 2 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ -1 & 0 & \mathrm{p} \end{array}\right|\neq 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,4\,\mathrm{p}\,-\,8\neq 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{p}\neq 2
</math></center>
Por tanto, la afirmación (1) es correcta.

Por último, exigiendo la condición de coplanariedad (producto mixto nulo) a los vectores <math>\overrightarrow{OA}\,</math>, <math>\overrightarrow{AB}\,</math> y <math>\overrightarrow{BC}\,</math>:
<center><math>
\overrightarrow{OA}\,\cdot\,(\overrightarrow{AB}\,\times\,\overrightarrow{BC})= 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\left|\begin{array}{rrc} 2 & 4 & 0 \\ -2 & -2 & 2 \\ -1 & -2 & (\mathrm{p}\,-\,2) \end{array}\right|=4\,\mathrm{p}\,-\,8= 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{p}=2
</math></center>
Por tanto, la afirmación (3) es la que es FALSA.

[[Categoría:Problemas de Vectores Libres (GITI)]]

No Boletín - Afirmación falsa (Ex.Nov/16) - Historial de revisiones

Drake: /* Solución */

Drake: /* Solución */