Pedro: Página creada con «= Enunciado = Un niño tiene dos piedras. Lanza la primera verticalmente hacia arriba, con una velocidad $v_0$ . Un tiempo $T$ después lanza la segunda, también verticalmente hacia arriba, con una velocidad $2v_0$ . Determina cuanto debe valer $T$ para que la segunda piedra alcance a la primera justo cuando su velocidad es nula. Desprecia el rozamiento del aire. = Solución = Si despreciamos la resistencia del aire las pie…»

2023-09-26T08:24:45Z

Página creada con «= Enunciado = Un niño tiene dos piedras. Lanza la primera verticalmente hacia arriba, con una velocidad <math>v_0</math>. Un tiempo <math>T</math> después lanza la segunda, también verticalmente hacia arriba, con una velocidad <math>2v_0</math>. Determina cuanto debe valer <math>T</math> para que la segunda piedra alcance a la primera justo cuando su velocidad es nula. Desprecia el rozamiento del aire. = Solución = Si despreciamos la resistencia del aire las pie…»

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= Enunciado =
Un niño tiene dos piedras. Lanza la primera verticalmente hacia arriba, con una velocidad <math>v_0</math>. Un tiempo <math>T</math> después lanza la segunda, también verticalmente hacia arriba, con una velocidad <math>2v_0</math>. Determina cuanto debe valer <math>T</math> para que la segunda piedra alcance a la primera justo cuando su velocidad es nula. Desprecia el rozamiento del aire.

= Solución =
Si despreciamos la resistencia del aire las piedras realizan un movimiento uniformemente acelerado. Si escogemos el eje <math>OX</math> de modo que sea vertical y apunte hacia arriba la aceleración de las piedras es
<center>
<math>
a = -g.
</math>
</center>
Escogemos el origen del eje a la altura del suelo. El niño lanza la primera piedra en el instante inicial con velocidad <math>v_0</math> apuntando hacia arriba. La posición y velocidad de la primera piedra en función del tiempo viene dada por
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
x_1(t) = v_0t - \dfrac{1}{2}gt^2 &\qquad& t\geq0,\\
&&\\
v_1(t) = v_0 - gt. &&
\end{array}
</math>
</center>
El niño lanza la segunda piedra un tiempo <math>T</math> después, con una velocidad inicial <math>2v_0</math> apuntando hacia arriba. Entonces, su posición viene dada por la expresión
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
x_2(t) = 2v_0(t-T) - \dfrac{1}{2}g(t-T)^2 &\qquad& t\geq T,\\
&&\\
v_2(t) = 2v_0 - g(t-T). &&
\end{array}
</math>
</center>
Calculamos el instante de tiempo para el que la primera piedra tiene velocidad nula
<center>
<math>
v_1(t_0) = 0
\Longrightarrow
t_0 = v_0/g.
</math>
</center>
En este instante la piedra está en el punto más alto de su trayectoria. Queremos que en ese mismo instante las posiciones de las dos piedras coincidan
<center>
<math>
x_1(t_0) = x_2(t_0)
\Longrightarrow
v_0t_0 - \dfrac{1}{2}gt_0^2 = 2v_0(t_0-T) - \dfrac{1}{2}g(t_0-T)^2
</math>
</center>
Esto es una ecuación cuadrática para <math>T</math>. Para hacer el cálculo mas simple hacemos el cambio <math>t_0-T = F</math> y sustituimos el valor de <math>t_0</math> en el lado izquierdo tenemos
<center>
<math>
\dfrac{v_0^2}{2g} = 2v_0\,F - \dfrac{1}{2}g\,F^2
\Longrightarrow
g\,F^2 - 4v_0\,F + \dfrac{v_0^2}{g}=0
\Longrightarrow
F = \dfrac{4v_0 \pm \sqrt{16v_0^2-4v_0^2}}{2g}
=
\dfrac{v_0}{g}\,(2\pm \sqrt{3}).
</math>
</center>
Con esto obtenemos para <math>T</math>
<center>
<math>
T = t_0-F = \dfrac{v_0}{g} - \dfrac{v_0}{g}\,(2\pm \sqrt{3})
=
(\pm\sqrt{3}-1)\,\dfrac{v_0}{g}.
</math>
</center>
La solución con + es positiva <math>(\sqrt{3}>1)</math> y la otra es negativa. Como <math>T>0</math> la solución final es
<center>
<math>
T = (\sqrt{3}-1)\,\dfrac{v_0}{g}.
</math>
</center>

[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]]

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