Pedro: Página creada con «== Enunciado == Una pesa de 1.50 kg está suspendida de un muelle con una constante elástica $k=200\,\mathrm{N/m}$ . Una fuerza sinusoidal con una magnitud de 50.0 N excita el sistema. El factor de rozamiento es $b=\sqrt{2k m}$ ¿Que frecuencia debe tener la fuerza externa para que el objeto vibre con una amplitud de 0.122 m? == Solución == Cuando un muelle está sometido a una fuerza externa periódica de frecuencia $\omega_e$ , des…»

2023-11-27T15:58:41Z

Página creada con «== Enunciado == Una pesa de 1.50 kg está suspendida de un muelle con una constante elástica <math>k=200\,\mathrm{N/m}</math>. Una fuerza sinusoidal con una magnitud de 50.0 N excita el sistema. El factor de rozamiento es <math>b=\sqrt{2k m}</math> ¿Que frecuencia debe tener la fuerza externa para que el objeto vibre con una amplitud de 0.122 m? == Solución == Cuando un muelle está sometido a una fuerza externa periódica de frecuencia <math>\omega_e </math>, des…»

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== Enunciado ==
Una pesa de 1.50 kg está suspendida de un muelle con una constante elástica <math>k=200\,\mathrm{N/m}</math>. Una fuerza sinusoidal con una magnitud de 50.0 N excita el sistema. El factor de rozamiento es <math>b=\sqrt{2k m}</math> ¿Que frecuencia debe tener la fuerza externa para que el objeto vibre con una amplitud de 0.122 m?

== Solución ==
Cuando un muelle está sometido a una fuerza externa periódica de frecuencia <math>\omega_e </math>, después de un período transitorio, oscila con una frecuencia igual a la de la fuerza externa
<center>
<math>
x(t) = A\cos(\omega_et+\Phi)
</math>
</center>
La amplitud de la oscilación es
<center>
<math>
A = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_e^2)^2 + (2\gamma\omega_e)^2}}\qquad\qquad (1)
</math>
</center>
Aquí, <math>F_0 </math> es la amplitud de la fuerza externa, <math>\omega_0=\sqrt{k/m} </math> es la frecuencia propia del muelle y <math>\gamma =b/2m</math> es el parámetro de rozamiento.
Vamos a introducir un cambio de variable y escribir la frecuencia de excitación que buscamos, <math>\omega_e</math>, de la forma
<center><math>
\omega_e = \lambda \omega_0. \qquad\qquad (2)
</math></center>
Vamos a buscar una ecuación para el número <math>\lambda</math>.

La frecuencia propia del oscilador es
<center>
<math>
\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = 11.5\,\mathrm{rad/s}. \qquad\qquad(3)
</math>
</center>
El parámetro de rozamiento es
<center>
<math>
\gamma = \dfrac{b}{2m} = \dfrac{\sqrt{2km}}{2m} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\dfrac{\omega_0}{\sqrt{2}}. \qquad\qquad (4)
</math>
</center>

Introduciendo el cambio de variable (2) en la expresión (1) tenemos
<center>
<math>
A = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{\omega_0^4(1-\lambda^2)^2 + 4\gamma^2\lambda^2\omega_0^2}}
</math>
</center>
Ahora usamos la expresión (4)
<center>
<math>
A = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{\omega_0^4(1-\lambda^2)^2 + 2\lambda^2\omega_0^4}}
=
\dfrac{F_0}{m\omega_0^2} \dfrac{1}{\sqrt{(1-\lambda^2)^2+2\lambda^2}}
=
\dfrac{F_0}{m\omega_0^2} \dfrac{1}{\sqrt{1+\lambda^4}}. \qquad\qquad (5)
</math>
</center>
Ahora podemos despejar <math>\lambda</math>
<center>
<math>
1+\lambda^4 = \left(\dfrac{F_0}{m\omega_0^2A}\right)^2
\Longrightarrow
\lambda = \left[ \left(\dfrac{F_0}{m\omega_0^2A}\right)^2 -1\right]^{1/4}. \qquad\qquad (6)
</math>
</center>
Sustituyendo los valores numéricos tenemos
<center><math>
\lambda=1.34.
</math></center>
Y la frecuencia pedida es
<center><math>
\omega_e = \lambda \omega_0 = 15.4\,\mathrm{rad/s}.
</math></center>

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