Pedro: /* Caso 5 */

2023-09-27T10:52:12Z

Caso 5

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Línea 282:		Línea 282:
	<math>OZ</math> avanza paralelamente a él. La curva así descrita recibe el		<math>OZ</math> avanza paralelamente a él. La curva así descrita recibe el
	nombre de hélice.		nombre de hélice.

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Pedro: Página creada con «= Enunciado = == Movimientos en 2D y 3D == Calcula la velocidad, rapidez, aceleración, desplazamiento elemental y las curvas que definen las trayectorias en los movimientos descritos por las leyes horarias siguientes # $\vec{r}(t) = R\cos(\omega t)\,\vec{\imath} + A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}$ , con $R$ y $\omega$ constantes. # $\vec{r}(t) = A\cos\alpha\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,…»$

2023-09-27T10:48:09Z

Página creada con «= Enunciado = == Movimientos en 2D y 3D == Calcula la velocidad, rapidez, aceleración, desplazamiento elemental y las curvas que definen las trayectorias en los movimientos descritos por las leyes horarias siguientes #<math>\vec{r}(t) = R\cos(\omega t)\,\vec{\imath} + A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath} </math>, con <math>R</math> y <math>\omega</math> constantes. #<math>\vec{r}(t) = A\cos\alpha\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,…»

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= Enunciado =
== [[ Movimientos en 2D y 3D (G.I.C.) | Movimientos en 2D y 3D]] ==
Calcula la velocidad, rapidez, aceleración, desplazamiento elemental y las
curvas que definen las trayectorias en los movimientos descritos por las leyes
horarias siguientes
#<math>\vec{r}(t) = R\cos(\omega t)\,\vec{\imath} + A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath} </math>, con <math>R</math> y <math>\omega</math> constantes.
#<math>\vec{r}(t) = A\cos\alpha\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} + A\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath} </math>, con <math>A</math>, <math>\omega</math> y <math>\alpha</math> constantes.
#<math>\vec{r}(t) = At\,\vec{\imath} + Bt^2\,\vec{\jmath} </math>, con <math>A</math> y <math>B</math> constantes.
#<math>\vec{r}(t) = \dfrac{A(T^2-t^2)}{T^2+t^2}\,\vec{\imath} + \dfrac{2ATt}{T^2+t^2}\,\vec{\jmath} </math>, con <math>A</math> y <math>T</math> constantes.
#<math>\vec{r}(t) = T\cos(\omega t)\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,(\omega
t)\,\vec{\jmath} + h\omega t\,\vec{k} </math> con <math>R</math>, <math>h</math>
y <math>\omega</math> constantes.

= Solución =

== Caso 1 ==
[[File:GIERM_P01_cir.png|right|300px]]
La velocidad es
<center>
<math>
\vec{v} = \dot{\vec{r}} = -R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} +
R\omega\cos(\omega t)\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
La rapidez es
<center>
<math>
|\vec{v}| = R\omega
</math>
</center>
El desplazamiento elemental
<center>
<math>
\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}\mathrm{d}t =
(-R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} +
R\omega\cos(\omega t)\,\vec{\jmath})\,\mathrm{d}t
</math>
</center>
La aceleración es
<center>
<math>
\vec{a} = \dot{\vec{v}} = -R\omega^2\cos(\omega t)\,\vec{\imath} -
R\omega^2\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}

</math>
</center>
Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos
<center>
<math>
\vec{r} = \left\{
\begin{array}{l}
x = R\cos(\omega t) \\
y = R\,\mathrm{sen}\,(\omega t)
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Vemos que
<center>
<math>
x^2 + y^2 = R^2
</math>
</center>
Es una circunferencia de radio <math>R</math> centrada en el origen.

== Caso 2 ==
[[File:GIERM_P01_1.png|right]]
El vector de posición puede escribirse así
<center>
<math>
\vec{r} = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,(\cos\alpha\,\vec{\imath}+\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath})
</math>
</center>
Sólo el primer factor depende del tiempo.
La velocidad es
<center>
<math>
\vec{v} = \dot{\vec{r}} = A\omega\cos(\omega t)\,(\cos\alpha\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath})
</math>
</center>
La rapidez es
<center>
<math>
|\vec{v}| = A |\omega\cos(\omega t)|
</math>
</center>
El desplazamiento elemental
<center>
<math>
\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}\mathrm{d}t =
A\omega\cos(\omega t)\,(\cos\alpha\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}) \,\mathrm{d}t
</math>
</center>
La aceleración es
<center>
<math>
\vec{a} = \dot{\vec{v}} = -A\omega^2\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,(\cos\alpha\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath})
</math>
</center>
Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos
<center>
<math>
\vec{r} = \left\{
\begin{array}{l}
x = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\cos\alpha\\
y = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,\alpha
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Vemos que
<center>
<math>
\dfrac{y}{x} = \tan\alpha \Longrightarrow y = x\,\tan\alpha
</math>
</center>
Es una línea recta que pasa por el origen y tiene pendiente <math>\tan\alpha</math>. Esto ya puede verse al escribir el vector de posición como una función escalar del tiempo por un vector constante

== Caso 3 ==
[[File:GIERM_P01_2.png|right]]
La velocidad es
<center>
<math>
\vec{v} = \dot{\vec{r}} = A\,\vec{\imath} + 2Bt\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
La rapidez es
<center>
<math>
|\vec{v}| = \sqrt{A^2 + 4B^2t^2}
</math>
</center>
El desplazamiento elemental
<center>
<math>
\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}\mathrm{d}t =
( A\,\vec{\imath} + 2Bt\,\vec{\jmath})\,\mathrm{d}t
</math>
</center>
La aceleración es
<center>
<math>
\vec{a} = \dot{\vec{v}} = 2B\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos
<center>
<math>
\vec{r} = \left\{
\begin{array}{l}
x = At\\
y = B t^2
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Despejando <math>t</math> en la primera y sustituyendo en la segunda vemos que
<center>
<math>
y = \dfrac{B}{A^2}x^2 = Cx^2
</math>
</center>
Es una parábola con la concavidad hacia arriba

== Caso 4 ==
[[File:GIERM_P01_4.png|right|300px]]
La velocidad es
<center>
<math>
\vec{v} = \dot{\vec{r}} =
\dfrac{2AT}{T^2+t^2}\,(-2Tt\,\vec{\imath} + (T^2-t^2)\,\vec{\jmath})
</math>
</center>
La rapidez es
<center>
<math>
|\vec{v}| = \dfrac{2AT}{T^2+t^2}
</math>
</center>
El desplazamiento elemental
<center>
<math>
\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}\mathrm{d}t =
\dfrac{2AT}{T^2+t^2}\,(-2Tt\,\vec{\imath} + (T^2-t^2)\,\vec{\jmath})\,\mathrm{d}t
</math>
</center>
La aceleración es
<center>
<math>
\vec{a} =
\dfrac{4AT}{(T^2+t^2)^3}\,(T(3t^2-T^2)\,\vec{\imath} +
t(t^2-3T^2)\,\vec{\jmath})
</math>
</center>
Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos
<center>
<math>
\vec{r} = \left\{
\begin{array}{l}
x = \dfrac{A(T^2-t^2)}{T^2+t^2}\\ \\
y = \dfrac{2ATt}{T^2+t^2}
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Tomando el cuadrado de los dos vemos que
<center>
<math>
\begin{array}{l}
x^2 = A^2\dfrac{(T^4+t^4-2T^2t^2)}{(T^2+t^2)^2}\\ \\
y^2 = A^2\dfrac{4T^2t^2}{(T^2+t^2)^2}
\end{array}
</math>
</center>
Sumando los dos
<center>
<math>
x^2 + y^2 = A^2\dfrac{T^4+t^4+2T^2t^2}{(T^2+t^2)^2}=
A^2\dfrac{(T^2+t^2)^2}{(T^2+t^2)^2}=A^2
</math>
</center>

Es una circunferencia de radio <math>A</math> centrada en el origen. Pero
<math>y</math> sólo puede ser positiva
<center>
<math>
x^2+y^2=R^2\qquad y\geq0
</math>
</center>

== Caso 5 ==
[[File:GIERM_P01_5.png|right|300px]]
La velocidad es
<center>
<math>
\vec{v} = \dot{\vec{r}} =
-R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} + R\omega\cos(\omega t)\,\vec{\jmath} + h\omega\,\vec{k}
</math>
</center>
La rapidez es
<center>
<math>
|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} = \omega\sqrt{R^2+h^2}
</math>
</center>
El desplazamiento elemental
<center>
<math>
\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}\mathrm{d}t =
(-R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath} + R\omega\cos(\omega
t)\,\vec{\jmath} + h\omega\,\vec{k})
\,\mathrm{d}t
</math>
</center>
La aceleración es
<center>
<math>
\vec{a} = \dot{\vec{v}} = -R\omega^2\cos(\omega t)\,\vec{\imath} -
R\omega^2\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}

</math>
</center>
Esta es una curva tridimensional y no es fácil expresarla en forma implícita.
Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos
<center>
<math>
\vec{r} = \left\{
\begin{array}{l}
x = R\cos(\omega t) \\
y = R\,\mathrm{sen}\,(\omega t) \\
x = h\omega t
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Las componentes <math>x</math> y <math>y</math> se comportan igual que las del
apartado 1. Entonces, la proyección de la trayectoria sobre el plano
<math>OXY</math> es una circunferencia de radio <math>R</math> centrada en el
origen. Por otro lado, la componente <math>z</math> crece linealmente con el
tiempo. Es decir, a la vez que la partícula da vueltas alrededor del eje
<math>OZ</math> avanza paralelamente a él. La curva así descrita recibe el
nombre de hélice.

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