Drake: /* Eje instantáneo de rotación */

2024-01-14T11:58:00Z

Eje instantáneo de rotación

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	==Eje instantáneo de rotación==		==Eje instantáneo de rotación==
	El ~~Eje Instantáneo~~ de ~~Rotación~~ es ~~uno~~ que pasa por un punto de velocidad nula y tiene la dirección de la velocidad angular. Vimos en el primer apartado que		El eje instantáneo de rotación es el que pasa por un punto de velocidad nula y tiene la dirección de la velocidad angular. Vimos en el primer apartado que

	<center><math>\vec{v}^O_{20}=\vec{0}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\omega}_{20}=\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})</math></center>		<center><math>\vec{v}^O_{20}=\vec{0}\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\omega}_{20}=\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})</math></center>

	por lo que el EIR es ~~uno~~ que pasa por el origen y tiene la dirección de la bisectriz entre los ejes OX y OY. Vectorialmente		por lo que el EIR es el que pasa por el origen y tiene la dirección de la bisectriz entre los ejes OX y OY. Vectorialmente

	<center><math>\overrightarrow{OI}=\lambda\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})</math></center>		<center><math>\overrightarrow{OI}=\lambda\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})</math></center>

Drake: /* Enunciado */

2024-01-14T11:08:09Z

Enunciado

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	==Enunciado==		==Enunciado==
			[[Archivo:ventiladores-enfrentados.png\|right]]
	Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos “0” y “2”) de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (A y B) equidistantes (distancia <math>L</math>) de la esquina (punto O). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante igual a <math>\omega</math>, si bien lo hacen con las orientaciones y sentidos respectivamente indicados en la figura. Definido el triedro fijo <math>OXYZ</math> (sólido “1”) del esquema, y considerando como movimiento-problema el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determine		Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos “0” y “2”) de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (A y B) equidistantes (distancia <math>L</math>) de la esquina (punto O). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante igual a <math>\omega</math>, si bien lo hacen con las orientaciones y sentidos respectivamente indicados en la figura. Definido el triedro fijo <math>OXYZ</math> (sólido “1”) del esquema, y considerando como movimiento-problema el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determine
	# <math>\vec{\omega}_{20}</math> y <math>\vec{\alpha}_{20}</math>		# <math>\vec{\omega}_{20}</math> y <math>\vec{\alpha}_{20}</math>
	# <math>\vec{v}^{O}_{20}</math> y <math>\vec{a}^{O}_{20}</math>;		# <math>\vec{v}^{O}_{20}</math> y <math>\vec{a}^{O}_{20}</math>;
	# El eje instantáneo de rotación (E.I.R.) del movimiento {20}.		# El eje instantáneo de rotación (E.I.R.) del movimiento {20}.

	~~<center>[[Archivo:ventiladores-enfrentados.png]]</center>~~

	'''Nota''': Se recomienda la utilización del triedro “1” para la descomposición del movimiento-problema, así como el uso de su base vectorial para resolver el ejercicio.		'''Nota''': Se recomienda la utilización del triedro “1” para la descomposición del movimiento-problema, así como el uso de su base vectorial para resolver el ejercicio.

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2024-01-12T19:10:14Z

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==Enunciado==
Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos “0” y “2”) de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (A y B) equidistantes (distancia <math>L</math>) de la esquina (punto O). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante igual a <math>\omega</math>, si bien lo hacen con las orientaciones y sentidos respectivamente indicados en la figura. Definido el triedro fijo <math>OXYZ</math> (sólido “1”) del esquema, y considerando como movimiento-problema el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determine
# <math>\vec{\omega}_{20}</math> y <math>\vec{\alpha}_{20}</math>
# <math>\vec{v}^{O}_{20}</math> y <math>\vec{a}^{O}_{20}</math>;
# El eje instantáneo de rotación (E.I.R.) del movimiento {20}.

<center>[[Archivo:ventiladores-enfrentados.png]]</center>

'''Nota''': Se recomienda la utilización del triedro “1” para la descomposición del movimiento-problema, así como el uso de su base vectorial para resolver el ejercicio.

==Velocidad y aceleración angular==
===Velocidad angular===
En este caso tenemos la descomposición

<center><math>{20} = {21}+ {10}</math></center>

La velocidad angular es la suma de las de los dos movimientos relativos

<center><math>\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}+\vec{\omega}_{10}</math></center>

La velocidad angular del movimiento {21} va en la dirección del eje OX

<center><math>\vec{\omega}_{21}=\omega\vec{\imath}</math></center>

La del movimiento {10} es igual en magnitud, y de sentido opuesto a la del movimiento {01}, que es el dato que se nos da

<center><math>\vec{\omega}_{10}=-\vec{\omega}_{01}=-(-\omega\vec{\jmath})=\omega\vec{\jmath}</math></center>

por lo que la velocidad angular absoluta vale

<center><math>\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21}+\vec{\omega}_{10}=\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})</math></center>

===Aceleración angular===
Para las aceleraciones angulares tenemos la ley de composición

<center><math>\vec{\alpha}_{20}=\vec{\alpha}_{21}+\vec{\alpha}_{10}+\vec{\omega}_{10}\times\vec{\omega}_{21}</math></center>

La aceleración angular del movimiento {21} es nula, por ser una rotación con velocidad angular constante

<center><math>\vec{\alpha}_{21}=\vec{0}</math></center>

Lo mismo ocurre con la del movimiento {10}, ya que en este movimiento, el ventilador 0 “ve” al sistema “1” rotar con velocidad angular constante alrededor de un eje fijo

<center><math>\vec{\alpha}_{10}=\vec{0}</math></center>

Las velocidades angulares que aparecen en el último término son vectores ya conocidos, por lo que

<center><math>\vec{\alpha}_{20}=\vec{\omega}_{10}\times\vec{\omega}_{21}=(\omega\vec{\jmath})\times(\omega\vec{\imath})=-\omega^2\vec{k}</math></center>

==Velocidad y aceleración==
===Velocidad===
La velocidad del punto O en el movimiento {20} se puede descomponer como

<center><math>\vec{v}^O_{20}=\vec{v}^O_{21}+\vec{v}^O_{10}</math></center>

La velocidad de O en el movimiento {21} es la de una rotación en torno a un eje que pasa por B

<center><math>\vec{v}^O_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BO}=(\omega\vec{\imath})\times(-L\vec{\jmath})=-L\omega\vec{k}</math></center>

La velocidad del mismo punto en el movimiento {10} es otra rotación, en este caso en torno a un eje que pasa por A

<center><math>\vec{v}^O_{10}=\vec{\omega}_{10}\times\overrightarrow{AO}=(\omega\vec{\jmath})\times(-L\vec{\imath})=L\omega\vec{k}</math></center>

Sumando las dos contribuciones

<center><math>\vec{v}^O_{20}=-L\omega\vec{k}+L\omega\vec{k}=\vec{0}</math></center>

El punto O se encuentra en reposo instantáneo en el movimiento {20}.
===Aceleración===
La fórmula correspondiente para la composición de aceleraciones la da el teorema de Coriolis

<center><math>\vec{a}^O_{20}=\vec{a}^O_{21}+\vec{a}^O_{10}+2\vec{\omega}_{10}\times\vec{v}^O_{21}</math></center>

La aceleración de O en el movimiento {21} es la correspondiente a una rotación a velocidad angular constante en torno a un eje que pasa por B

<center><math>\vec{a}^O_{21}=\overbrace{\vec{a}^B_{21}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{21}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{BO}+\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BO})</math></center>

Sustituyendo la velocidad angular y el vector de posición relativo

<center><math>\vec{a}^O_{21}=(\omega\vec{\imath})\times((\omega\vec{\imath})\times(-L\vec{\jmath})) = \omega^2L\vec{\jmath}</math></center>

Del mismo modo, la aceleración de O en el movimiento {10} es la de un movimiento de rotación a velocidad angular constante en torno a un eje que pasa por A

<center><math>\vec{a}^O_{10}=\overbrace{\vec{a}^A_{10}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{10}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{AO}+\vec{\omega}_{10}\times(\vec{\omega}_{10}\times\overrightarrow{AO})</math></center>

Sustituyendo la nueva velocidad angular y el correspondiente vector de posición relativo

<center><math>\vec{a}^O_{10}=(\omega\vec{\jmath})\times((\omega\vec{\jmath})\times(-L\vec{\imath})) = \omega^2L\vec{\imath}</math></center>

Por último, para el término de Coriolis tenemos

<center><math>2\vec{\omega}_{10}\times\vec{v}^O_{21}=2(\omega\vec{\jmath})\times(\omega L\vec{k}) = -2\omega^2L\vec{\imath}</math></center>

Sumando las tres contribuciones

<center><math>\vec{a}^O_{20}=\omega^2L\vec{\jmath}+\omega^2L\vec{\imath} -2\omega^2L\vec{\imath}=\omega^2L(-\vec{\imath}+\vec{\jmath})</math></center>

==Eje instantáneo de rotación==
El Eje Instantáneo de Rotación es uno que pasa por un punto de velocidad nula y tiene la dirección de la velocidad angular. Vimos en el primer apartado que

<center><math>\vec{v}^O_{20}=\vec{0}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\omega}_{20}=\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})</math></center>

por lo que el EIR es uno que pasa por el origen y tiene la dirección de la bisectriz entre los ejes OX y OY. Vectorialmente

<center><math>\overrightarrow{OI}=\lambda\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})</math></center>

Supongamos que no conociéramos por el apartado anterior que <math>\vec{v}^O_{20}=\vec{0}</math>. ¿Podríamos haber determinado de forma sencilla la posición del EIR {20}? Sí. Observemos que los ejes de rotación de los movimientos {21} y {10} se cortan en el punto C de posición

<center><math>\overrightarrow{OC}=L\vec{\imath}+L\vec{\jmath}</math></center>

Por el teorema de Varignon, la composición de dos rotaciones sobre ejes concurrentes es otra rotación cuyo eje pasa por el punto de corte. Por tanto el movimiento {20} es necesariamente una rotación cuyo EIR pasa por C, ya que la velocidad absoluta de C es nula, por serlo la relativa y la de arrastre:

<center><math>\vec{v}^C_{20}=\overbrace{\vec{v}^C_{21}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{v}^C_{10}}^{=\vec{0}} = \vec{0}</math></center>

La dirección del EIR la da la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}</math>, de forma que

<center><math>\overrightarrow{CI}= \lambda\vec{\omega}_{20}=\lambda\omega(\vec{\imath}+\vec{\jmath})</math></center>

La posición del eje respecto al origen del sólido 1 es

<center><math>\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CI}=(L+\lambda\omega)\vec{\imath}+(L+\lambda\omega)\vec{\jmath}=\mu\vec{\imath}+\mu\vec{\jmath}</math></center>

[[Categoría:Problemas de Movimiento Relativo (GITI)]]

Movimiento relativo de dos ventiladores - Historial de revisiones

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