Movimiento de un aro en un pasador - Historial de revisiones

Drake: /* Aceleración de C */

2024-01-16T10:32:43Z

Aceleración de C

← Revisión anterior		Revisión del 12:32 16 ene 2024
Línea 102:		Línea 102:
	Vemos que el punto C describe un movimiento circular con velocidad angular constante. Por tanto, su aceleración es:		Vemos que el punto C describe un movimiento circular con velocidad angular constante. Por tanto, su aceleración es:

	<center><math>\vec{a}^C_{21}=-\Omega^2\overrightarrow{OC}=-\Omega^2R\left(\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1+\cos(\Omega t)\vec{\jmath}\right)</math></center>		<center><math>\vec{a}^C_{21}=-\Omega^2\overrightarrow{OC}=-\Omega^2R\left(\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1+\cos(\Omega t)\vec{\jmath}_1\right)</math></center>

	A este resultado se puede llegar también de otras formas alternativas. Por ejemplo, si no se conoce la posición instantánea de C pero sí la de A, puede emplearse la expresión del campo de aceleraciones:		A este resultado se puede llegar también de otras formas alternativas. Por ejemplo, si no se conoce la posición instantánea de C pero sí la de A, puede emplearse la expresión del campo de aceleraciones:

Drake: /* Aceleración de C */

2024-01-16T10:31:07Z

Aceleración de C

← Revisión anterior		Revisión del 12:31 16 ene 2024
Línea 114:		Línea 114:
	las magnitudes angulares		las magnitudes angulares

	<center><math>\omega_{21}=\dot{\theta}=\Omega\qquad \alpha_{21}=\ddot{\theta}=0</math></center>		<center><math>\omega_{21}=\dot{\theta}=\Omega\,\,;\qquad\qquad\qquad \alpha_{21}=\ddot{\theta}=0</math></center>

	y		y
Línea 126:		Línea 126:
	Este resultado es insatisfactorio ya que mezcla los vectores de dos bases diferentes. Lo expresamos en la base “1” empleando la relación entre las bases:		Este resultado es insatisfactorio ya que mezcla los vectores de dos bases diferentes. Lo expresamos en la base “1” empleando la relación entre las bases:

	<center><math>\vec{\imath}_2=\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\jmath}_2=-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1</math></center>		<center><math>\vec{\imath}_2=\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\jmath}_2=-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1</math></center>

	lo que nos da:		lo que nos da:

Drake: /* Aceleración de C */

2024-01-16T10:29:56Z

Aceleración de C

← Revisión anterior		Revisión del 12:29 16 ene 2024
Línea 126:		Línea 126:
	Este resultado es insatisfactorio ya que mezcla los vectores de dos bases diferentes. Lo expresamos en la base “1” empleando la relación entre las bases:		Este resultado es insatisfactorio ya que mezcla los vectores de dos bases diferentes. Lo expresamos en la base “1” empleando la relación entre las bases:

	<center><math>\vec{\imath}_2=\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\jmath}_2=-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1</math></center>		<center><math>\vec{\imath}_2=\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\,\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\jmath}_2=-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1</math></center>

	lo que nos da:		lo que nos da:

Drake: /* Aceleración de C */

2024-01-16T10:28:40Z

Aceleración de C

← Revisión anterior		Revisión del 12:28 16 ene 2024
Línea 108:		Línea 108:
	<center><math>\vec{a}^C_{21}=\vec{a}^A_{21}+\alpha_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{AC}-\omega_{21}^2\overrightarrow{AC}</math></center>		<center><math>\vec{a}^C_{21}=\vec{a}^A_{21}+\alpha_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{AC}-\omega_{21}^2\overrightarrow{AC}</math></center>

	siendo la aceleración de A:		siendo la aceleración de A

	<center><math>\vec{a}^A_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^A_{21}}{\mathrm{d}t}\right\|_1 = -2R \Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1</math></center>		<center><math>\vec{a}^A_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^A_{21}}{\mathrm{d}t}\right\|_1 = -2R \Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1</math></center>

	las magnitudes angulares:		las magnitudes angulares

	<center><math>\omega_{21}=\dot{\theta}=\Omega\qquad \alpha_{21}=\ddot{\theta}=0</math></center>		<center><math>\omega_{21}=\dot{\theta}=\Omega\qquad \alpha_{21}=\ddot{\theta}=0</math></center>

Drake: /* Aceleración de C */

2024-01-16T10:26:16Z

Aceleración de C

Drake: /* Determinación analítica del CIR */

2024-01-16T10:22:28Z

Determinación analítica del CIR

← Revisión anterior		Revisión del 12:22 16 ene 2024
Línea 81:		Línea 81:

	====Determinación analítica del CIR====		====Determinación analítica del CIR====
	Para hallar analíticamente la posición del CIR aplicamos la fórmula		Para hallar analíticamente la posición del CIR aplicamos la fórmula:

	<center><math>\overrightarrow{AI}_{21}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^A_{21}}{\omega_{21}}</math></center>		<center><math>\overrightarrow{AI}_{21}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^A_{21}}{\omega_{21}}</math></center>

	donde la velocidad de A la acabamos de calcular. De aquí		donde la velocidad de A la acabamos de calcular. De aquí:

	<center><math>\overrightarrow{AI}_{21}=\frac{\vec{k}\times(2R\Omega\cos(\Omega t)\vec{\imath}_1)}{\Omega}=2R\cos(\Omega t)\vec{\jmath}_1</math></center>		<center><math>\overrightarrow{AI}_{21}=\frac{\vec{k}\times(2R\Omega\cos(\Omega t)\vec{\imath}_1)}{\Omega}=2R\cos(\Omega t)\vec{\jmath}_1</math></center>

	Vemos que efectivamente resulta un punto en la misma vertical (paralela al eje <math>OY_1</math>) que A. Para hallar la posición relativa al origen sumamos los vectores de posición relativos		Vemos que efectivamente resulta un punto en la misma vertical (paralela al eje <math>OY_1</math>) que A. Para hallar la posición relativa al origen, sumamos los vectores de posición relativos:

	<center><math>\overrightarrow{OI}_{21}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}_{21}=2R\left(\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1+\cos(\Omega t)\vec{\jmath}_1\right)</math></center>		<center><math>\overrightarrow{OI}_{21}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}_{21}=2R\left(\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1+\cos(\Omega t)\vec{\jmath}_1\right)</math></center>

Drake: /* Determinación analítica del CIR */

2024-01-16T10:21:38Z

Determinación analítica del CIR

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Línea 87:		Línea 87:
	donde la velocidad de A la acabamos de calcular. De aquí		donde la velocidad de A la acabamos de calcular. De aquí

	<center><math>\overrightarrow{AI}=\frac{\vec{k}\times(2R\Omega\cos(\Omega t)\vec{\imath}_1)}{\Omega}=2R\cos(\Omega t)\vec{\jmath}_1</math></center>		<center><math>\overrightarrow{AI}_{21}=\frac{\vec{k}\times(2R\Omega\cos(\Omega t)\vec{\imath}_1)}{\Omega}=2R\cos(\Omega t)\vec{\jmath}_1</math></center>

	Vemos que efectivamente resulta un punto en la misma vertical (paralela al eje <math>OY_1</math>) que A. Para hallar la posición relativa al origen sumamos los vectores de posición relativos		Vemos que efectivamente resulta un punto en la misma vertical (paralela al eje <math>OY_1</math>) que A. Para hallar la posición relativa al origen sumamos los vectores de posición relativos

Drake: /* Velocidad de A */

2024-01-16T10:19:35Z

Velocidad de A

← Revisión anterior		Revisión del 12:19 16 ene 2024
Línea 72:		Línea 72:
	[[Archivo:aro-pasador-07.png\|right]]		[[Archivo:aro-pasador-07.png\|right]]

	Tenemos que si <math>\theta</math> es el ángulo que forma <math>AX_2</math> con <math>AX_1</math>, el eje <math>AY_2</math> forma con <math>OX_1</math> un ángulo <math>\varphi=\pi/2-\theta</math> (ver figura). Por ello, el vector de posición del punto A es		Tenemos que si <math>\theta</math> es el ángulo que forma <math>AX_2</math> con <math>AX_1</math>, el eje <math>AY_2</math> forma con <math>OX_1</math> un ángulo <math>\varphi=\pi/2-\theta</math> (ver figura). Por ello, el vector de posición del punto A es:

	<center><math>\vec{r}^A_{21}=\overrightarrow{OA}=2R\cos(\varphi)\vec{\imath}_1=2R\,\mathrm{sen}\,(\theta)\vec{\imath}_1 = 2R\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1</math></center>		<center><math>\vec{r}^A_{21}=\overrightarrow{OA}=2R\cos(\varphi)\vec{\imath}_1=2R\,\mathrm{sen}\,(\theta)\vec{\imath}_1 = 2R\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1</math></center>

Drake: /* Velocidad de A */

2024-01-16T10:16:09Z

Velocidad de A

← Revisión anterior		Revisión del 12:16 16 ene 2024
Línea 78:		Línea 78:
	Derivando respecto al tiempo:		Derivando respecto al tiempo:

	<center><math>\vec{v}^A_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t~~}\vec{r}^A_{21~~}\right\|_1=2R\Omega\cos(\Omega t)\vec{\imath}_1</math></center>		<center><math>\vec{v}^A_{21}=\left.\frac{\mathrm{d} \vec{r}^A_{21}}{\mathrm{d}t}\right\|_1=2R\Omega\cos(\Omega t)\vec{\imath}_1</math></center>

	====Determinación analítica del CIR====		====Determinación analítica del CIR====

Drake: /* Velocidad de A */

2024-01-16T10:15:10Z

Velocidad de A

← Revisión anterior		Revisión del 12:15 16 ene 2024
Línea 72:		Línea 72:
	[[Archivo:aro-pasador-07.png\|right]]		[[Archivo:aro-pasador-07.png\|right]]

	Tenemos que si <math>\theta</math> el ángulo que ~~va de~~ <math>~~OX_1~~</math> a <math>~~OX_2~~</math>, el eje <math>~~OY_2~~</math> forma con <math>OX_1</math> un ángulo <math>\varphi=\pi/2-\theta</math>. Por ello el vector de posición del punto A es		Tenemos que si <math>\theta</math> es el ángulo que forma <math>AX_2</math> con <math>AX_1</math>, el eje <math>AY_2</math> forma con <math>OX_1</math> un ángulo <math>\varphi=\pi/2-\theta</math> (ver figura). Por ello, el vector de posición del punto A es

	<center><math>\overrightarrow{OA}=2R\cos(\varphi)\vec{\imath}_1=2R\,\mathrm{sen}\,(\theta)\vec{\imath}_1 = 2R\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1</math></center>		<center><math>\vec{r}^A_{21}=\overrightarrow{OA}=2R\cos(\varphi)\vec{\imath}_1=2R\,\mathrm{sen}\,(\theta)\vec{\imath}_1 = 2R\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1</math></center>

	Derivando ~~en esta expresión~~ respecto al tiempo		Derivando respecto al tiempo:

	<center><math>\vec{v}^A_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\~~overrightarrow~~{OA}\right\|_1=2R\Omega\cos(\Omega t)\vec{\imath}_1</math></center>		<center><math>\vec{v}^A_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\vec{r}^A_{21}\right\|_1=2R\Omega\cos(\Omega t)\vec{\imath}_1</math></center>

	====Determinación analítica del CIR====		====Determinación analítica del CIR====

← Revisión anterior		Revisión del 12:26 16 ene 2024
Línea 96:		Línea 96:

	===Aceleración de C===		===Aceleración de C===
	La posición de C en cada instante también es fácil de determinar. El ángulo que forma <math>\overrightarrow{OC}</math> con el eje <math>OX_1</math> es también <math>\pi/2-\theta</math>, con lo que el vector de posición relativo vale		La posición de C en cada instante también es fácil de determinar. El ángulo que forma <math>\overrightarrow{OC}</math> con el eje <math>OX_1</math> es también <math>\pi/2-\theta</math>, con lo que el vector de posición relativo vale:

	<center><math>\overrightarrow{OC}=R\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\vec{\jmath}_1\right)=R\left(\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1+\cos(\Omega t)\vec{\jmath}_1\right)</math></center>		<center><math>\overrightarrow{OC}=R\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\vec{\jmath}_1\right)=R\left(\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1+\cos(\Omega t)\vec{\jmath}_1\right)</math></center>

	Vemos que el punto C describe un movimiento circular con velocidad angular constante. Por tanto, su aceleración es		Vemos que el punto C describe un movimiento circular con velocidad angular constante. Por tanto, su aceleración es:

	<center><math>\vec{a}^C_{21}=-\Omega^2\overrightarrow{OC}=-\Omega^2R\left(\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1+\cos(\Omega t)\vec{\jmath}\right)</math></center>		<center><math>\vec{a}^C_{21}=-\Omega^2\overrightarrow{OC}=-\Omega^2R\left(\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1+\cos(\Omega t)\vec{\jmath}\right)</math></center>

	A este resultado se puede llegar también de otras formas alternativas. Por ejemplo, si no se conoce la posición instantánea de C pero sí la de A, puede emplearse la expresión del campo de aceleraciones		A este resultado se puede llegar también de otras formas alternativas. Por ejemplo, si no se conoce la posición instantánea de C pero sí la de A, puede emplearse la expresión del campo de aceleraciones:

	<center><math>\vec{a}^C_{21}=\vec{a}^A_{21}+\alpha_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{AC}-\omega_{12}^2\overrightarrow{AC}</math></center>		<center><math>\vec{a}^C_{21}=\vec{a}^A_{21}+\alpha_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{AC}-\omega_{21}^2\overrightarrow{AC}</math></center>

	siendo la aceleración de A		siendo la aceleración de A:

	<center><math>\vec{a}^A_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^A_{21}}{\mathrm{d}t}\right\|_1 = -2R \Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1</math></center>		<center><math>\vec{a}^A_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^A_{21}}{\mathrm{d}t}\right\|_1 = -2R \Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1</math></center>

	las magnitudes angulares		las magnitudes angulares:

	<center><math>\omega_{21}=\dot{\theta}=\Omega\qquad \alpha_{21}=\ddot{\theta}=0</math></center>		<center><math>\omega_{21}=\dot{\theta}=\Omega\qquad \alpha_{21}=\ddot{\theta}=0</math></center>
Línea 120:		Línea 120:
	<center><math>\overrightarrow{AC}= R\vec{\jmath}_2</math></center>		<center><math>\overrightarrow{AC}= R\vec{\jmath}_2</math></center>

	lo que nos da la aceleración		lo que nos da la aceleración:

	<center><math>\vec{a}^C_{21}=-2R \Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1 - R\Omega^2\vec{\jmath}_2</math></center>		<center><math>\vec{a}^C_{21}=-2R \Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1 - R\Omega^2\vec{\jmath}_2</math></center>

	Este resultado es insatisfactorio ya que mezcla los vectores de dos bases diferentes. Lo expresamos en la base “1” empleando la relación entre las bases		Este resultado es insatisfactorio ya que mezcla los vectores de dos bases diferentes. Lo expresamos en la base “1” empleando la relación entre las bases:

	<center><math>\vec{\imath}_2=\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\jmath}_2=-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1</math></center>		<center><math>\vec{\imath}_2=\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\jmath}_2=-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1</math></center>

	lo que nos da		lo que nos da:

	<center><math>\vec{a}^C_{21}=-2R \Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1 - R\Omega^2\left(-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\right)</math></center>		<center><math>\vec{a}^C_{21}=-2R \Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1 - R\Omega^2\left(-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\right)</math></center>

	y, agrupando términos, llegamos al resultado ya conocido		y, agrupando términos, llegamos al resultado ya conocido:

	<center><math>\vec{a}^C_{21}=-\Omega^2R\left(\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1+\cos(\Omega t)\vec{\jmath}_1\right)</math></center>		<center><math>\vec{a}^C_{21}=-\Omega^2R\left(\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_1+\cos(\Omega t)\vec{\jmath}_1\right)</math></center>