Pedro: Página creada con «= Enunciado = right Las masas puntuales $m_1$ y $m_2$ se deslizan sin rozamiento sobre una superficie horizontal. Las masas están unidas por una cuerda ideal, inextensible y sin masa, de longitud $L$ . Una fuerza $\vec{F}=F\,\vec{\imath}$ actúa sobre la masa $m_1$ . Las masas se mueven de modo que la cuerda está siempre tensa. # Calcula la tensión de la cuerda durante el movimie…»

2023-11-03T09:00:08Z

Página creada con «= Enunciado = right Las masas puntuales <math>m_1</math> y <math>m_2</math> se deslizan sin rozamiento sobre una superficie horizontal. Las masas están unidas por una cuerda ideal, inextensible y sin masa, de longitud <math>L</math>. Una fuerza <math>\vec{F}=F\,\vec{\imath}</math> actúa sobre la masa <math>m_1</math>. Las masas se mueven de modo que la cuerda está siempre tensa. # Calcula la tensión de la cuerda durante el movimie…»

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= Enunciado =
[[File:F1GIC-masas-cuerda.png|right]]
Las masas puntuales <math>m_1</math> y <math>m_2</math> se deslizan sin rozamiento sobre una superficie horizontal.
Las masas están unidas por una cuerda ideal, inextensible y sin masa, de longitud <math>L</math>.
Una fuerza <math>\vec{F}=F\,\vec{\imath}</math> actúa sobre la masa <math>m_1</math>.
Las masas se mueven de modo que la cuerda está siempre tensa.

# Calcula la tensión de la cuerda durante el movimiento
#Supongamos ahora que las dos masas son iguales, <math>m_1=m_2=m_0</math>. En el instante inicial la masa <math>m_2</math> esta en el punto <math>O</math> y la cuerda está completamente estirada. Las dos masas están en reposo en este instante inicial. Ahora la fuerza depende del tiempo como <math>\vec{F}(t) = 12m_0At\,\vec{\imath}</math>, siendo <math>A</math> una constante.
##Cuáles son las unidades base de <math>A</math> en el S.I.
##¿Cuál es la posición de la masa <math>m_1</math> en función del tiempo?
##En el instante <math>t=t_p</math> la partícula 1 se para súbitamente. ¿Cuanto tiempo tarda en chocar con ella la partícula 2?

= Solución =

== Tensión en la cuerda ==
[[File:F1GIC-masas-cuerda-fuerzas.png|right]]
La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre cada masa.
Tenemos que aplicar la Segunda Ley de Newton a '''cada masa por separado'''
<center>
<math>
\begin{array}{l}
m_1\,\vec{a}_1 = \vec{F} + \vec{P}_1 + \vec{N}_1 + \vec{T}_1\\
\\
m_2\,\vec{a}_2 = \vec{P}_2 + \vec{N}_2 + \vec{T}_2
\end{array}
</math>
</center>
Expresamos los vectores que aparecen aquí en el sistema de ejes de la figura. Para la masa 1 tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{a}_1 = a\,\vec{\imath},\\
\vec{F} = F\,\vec{\imath},\\
\vec{P}_1 = -m_1g\,\vec{\jmath},\\
\vec{N}_1 = N_1\,\vec{\jmath},\\
\vec{T}_1 = -T\,\vec{\imath},\\
\end{array}
</math>
</center>
Para la masa 2 tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{a}_2 = a\,\vec{\imath},\\
\vec{P}_2 = -m_2g\,\vec{\jmath},\\
\vec{N}_2 = N_2\,\vec{\jmath},\\
\vec{T}_2 = T\,\vec{\imath},\\
\end{array}
</math>
</center>
Hemos usado que la aceleración de las dos masas debe ser la misma y que la tensión de la cuerda es la misma en todos sus puntos, pues no tiene masa. A partir de las expresiones vectoriales de la Segunda Ley de Newton obtenemos cuatro ecuaciones escalares
<center>
<math>
\begin{array}{lr}
m_1a = F - T, & (1)\\
0 = N_1-m_1g, & (2)\\
m_2a = T, & (3)\\
0 = N_2 - m_2g. & (4)
\end{array}
</math>
</center>
Sumando las ecuaciones (1) y (3) obtenemos la aceleración de la masa
<center>
<math>
a = \dfrac{F}{m_1+m_2}.
</math>
</center>
A partir de (3) obtenemos la tensión en la cuerda
<center>
<math>
T = \dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,F.
</math>
</center>
Las ecuaciones (2) y (4) nos dan las magnitudes de las fuerzas normales
<center>
<math>
N_1 = m_1g, \qquad N_2 = m_2g.
</math>
</center>

== Movimiento con <math>\mathbf{F = 12m_0At}</math> ==
Durante el movimiento la distancia entre las masas es constante. Entonces, las dos tienen la misma velocidad y aceleración.

Las unidades base de <math>A</math> deben ser tales que la definición de <math>F</math> sea compatible con las unidades de fuerza
<center>
<math>
[A] = \dfrac{[F]}{[m_0][t]} = \mathrm{\dfrac{N}{kg\cdot s} = \dfrac{kg\cdot m\cdot s^{-2}}{kg\cdot s} = \dfrac{m}{s^3}}.
</math>
</center>
Introducimos la definición de <math>F</math> en la expresión que nos da la aceleración d elas masas
<center>
<math>
a = \dfrac{12m_0At}{2m_0} = 6At.
</math>
</center>
Esta aceleración depende del tiempo. Para obtener la velocidad hay que resolver la ecuación diferencial
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = a
\Longrightarrow
\mathrm{d}v = a\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\mathrm{d}v = 6At\mathrm{d}t
</math>
</center>
Integrando obtenemos
<center>
<math>
\int\mathrm{d}v = \int 6At\mathrm{d}t
\Longrightarrow
v = 3At^2 + C
</math>
</center>
En el instante inicial las masas estaban en reposo. Por tanto
<center>
<math>
v(0) = 0 \Longrightarrow C = 0.
</math>
</center>
Es decir, la velocidad de las masas en función del tiempo es
<center>
<math>
v_1 = v_2 = 3At^2.
</math>
</center>
Para obtener la coordenada <math>x</math> de cada masa debemos resolver la ecuación
diferencial correspondiente. Para la masa <math>m_1</math> tenemos
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t} = v_1
\Longrightarrow
\mathrm{d}x_1 = v_1\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\mathrm{d}x_1 = 3At^2\mathrm{d}t
</math>
</center>
Integrando obtenemos
<center>
<math>
\int\mathrm{d}x_1 = \int 3At^2\mathrm{d}t
\Longrightarrow
x_1 = At^3 + C
</math>
</center>
En el instante inicial la cuerda estaba estirada. Por tanto
<center>
<math>
x_1(0) = L \Longrightarrow C = L.
</math>
</center>
Es decir
<center>
<math>
x_1 = L + At^3.
</math>
</center>
Procediendo de manera similar para la masa <math>m_2</math> obtenemos
<center>
<math>
x_2 = At^3.
</math>
</center>
=== Parada súbita de la masa 2 ===
En <math>t=t_p</math> la masa <math>m_1</math> se para. En ese instante, la cuerda deja de tirar de la masa <math>m_2</math>. Por tanto, la aceleración de <math>m_2</math> es cero a partir de ese instante y se mueve con velocidad constante e igual a la que tenía en <math>t_p</math>
<center>
<math>
v_2 = 3At_p^2.
</math>
</center>
En <math>t=t_p</math> la distancia entre las masas era <math>L</math>. Como la masa 2
se mueve con velocidad uniforme, el tiempo que tarda en chocar con la otra masa es
el que tarda en recorrer esa distancia
<center>
<math>
\Delta t = \dfrac{L}{3At_p^2}.
</math>
</center>

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[[Categoría:Problemas de examen]]
[[Categoría:Problemas de examen de F1 GIC]]

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