Pedro: Página creada con «== Enunciado == Una partícula de masa $m$ está sometida a una fuerza constante $\vec{F}=(A + Bt)\,\vec{\imath}$ . Si parte del reposo y desde el origen del sistema de referencia, encuentra la posición y la velocidad de la partícula en cualquier instante. == Solución == Para determinar el movimiento de la partícula usamos la Segunda ley de Newton, que dice que una partícula de masa $m$ sometida a una fuerza $\vec{F}$ a…»

2023-10-10T17:13:05Z

Página creada con «== Enunciado == Una partícula de masa <math>m</math> está sometida a una fuerza constante <math>\vec{F}=(A + Bt)\,\vec{\imath}</math>. Si parte del reposo y desde el origen del sistema de referencia, encuentra la posición y la velocidad de la partícula en cualquier instante. == Solución == Para determinar el movimiento de la partícula usamos la Segunda ley de Newton, que dice que una partícula de masa <math>m</math> sometida a una fuerza <math>\vec{F}</math> a…»

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== Enunciado ==
Una partícula de masa <math>m</math> está sometida a una fuerza constante <math>\vec{F}=(A + Bt)\,\vec{\imath}</math>. Si parte del reposo y desde el origen del sistema de referencia, encuentra la posición y la velocidad de la partícula en cualquier instante.

== Solución ==
Para determinar el movimiento de la partícula usamos la Segunda ley de Newton, que dice
que una partícula de masa <math>m</math> sometida a una fuerza <math>\vec{F}</math> adquiere una aceleración
<center><math>
\vec{a} = \frac{1}{m}\vec{F}
</math></center>

===Cálculo de la velocidad===

El enunciado nos dice que la fuerza es <math>\vec{F} = (A+Bt)\,\vec{\imath}</math>, con <math>A</math> y <math>B</math> constantes. Así
pues la aceleración de la partícula es
<center><math>
\vec{a} = \frac{1}{m}(A+B\,t)\,\vec{\imath}
</math></center>
La aceleración es la derivada respecto al tiempo de la velocidad. Integrando tenemos
<center><math>
\vec{a} = \frac{\mathrm{d}\vec{u}}{\mathrm{d}t}
\Longrightarrow
\mathrm{d}\vec{u} = \vec{a}\,\mathrm{d} t
\Longrightarrow
\vec{u}(t) = \int\vec{a}\,\mathrm{d} t + \vec{c}
</math></center>
El vector <math>\vec{c}</math> es una constante que viene determinada por las condiciones
iniciales. Introduciendo la expresión de la aceleración obtenemos
<center><math>
\vec{u}(t) = \vec{c} + \int (A+B\,t)\,\vec{\imath}\mathrm{d} t = \vec{c} + \frac{1}{m}\left(A\,t + \frac{1}{2}B\,t^2\right)\vec{\imath}
</math></center>
El enunciado dice que la partícula parte del reposo. Por tanto, en <math>t=0</math> la velocidad es nula. Obtenemos
<center><math>
\vec{u}(0) = \vec{c} = \vec{0}
</math></center>
Así pues la velocidad en cada instante es
<center><math>
\vec{u}(t) = \frac{1}{m}\left(A\,t + \frac{1}{2}B\,t^2\right)\,\vec{\imath}
</math></center>
La condición inicial puede incluirse de otra manera haciendo una integral definida y
teniéndola en cuenta en los límites de integración. La ecuación \reff{eq:3} se reescribiría
<center><math>
\mathrm{d}\vec{u}=\vec{a}\,\mathrm{d} t\Longrightarrow
\int\limits_{\vec{u}(0)}^{\vec{u}(t)}\mathrm{d}\vec{u} = \int\limits_0^t\vec{a}\,\mathrm{d} t
\Longrightarrow
\vec{u}(t) = \vec{u}(0) + \frac{1}{m}\left(A\,t + \frac{1}{2}B\,t^2\right)\,\vec{\imath}
</math></center>
Aplicando de nuevo la condición inicial <math>\vec{u}(0)=\vec{0}</math> reobtenemos el resultado
anterior.

===Cálculo de la posición===

La velocidad es la derivada del vector de posición en el tiempo. Procedemos igual que en
el cálculo anterior y tenemos
<center><math>
\vec{u} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}
\Longrightarrow
\mathrm{d}\vec{r} = \vec{u}\,\mathrm{d} t
</math></center>
Usamos la integral definida con las condiciones iniciales incluidas en los límites de
integración
<center><math>
\int\limits_{\vec{r}(0)}^{\vec{r}(t)} \mathrm{d}\vec{r} = \int\limits_0^t\vec{u}\,\mathrm{d} t
\Longrightarrow
\vec{r}(t) = \vec{r}(0) + \int_0^t\vec{u}\,\mathrm{d} t
</math></center>
El enunciado dice que la partícula parte desde el origen des sistema de referencia, por lo
que <math>\vec{r}(0)=\mathbf(0)</math>. Utilizando la expresión de la velocidad obtenemos
<center><math>
\vec{r}(t) = \frac{1}{m}\left(\frac{A}{2}t^2 + \frac{B}{6}t^3\right)\,\vec{\imath}
</math></center>

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