Pedro: Página creada con «== Enunciado == right Una esfera de radio $R$ (sólido "2"), se desplaza sobre dos carriles circulares concéntricos fijos de radios $R$ y $2R$ (sólido "1"), situados en un plano horizontal (ver figura). El movimiento de la esfera es tal que: i) en todo instante, rueda sin deslizar sobre ambos carriles, y ii) su centro $C$ realiza un movimiento circular uniforme, siend…»

2023-09-25T14:05:04Z

Página creada con «== Enunciado == right Una esfera de radio <math>R</math> (sólido "2"), se desplaza sobre dos carriles circulares concéntricos fijos de radios <math>R</math> y <math>2R</math> (sólido "1"), situados en un plano horizontal (ver figura). El movimiento de la esfera es tal que: i) en todo instante, rueda sin deslizar sobre ambos carriles, y ii) su centro <math>C</math> realiza un movimiento circular uniforme, siend…»

Página nueva

== Enunciado ==
[[Imagen:F1_GIA_esfera_sobre_dos_railes_enunciado.png|right]]
Una esfera de radio <math>R</math> (sólido "2"), se desplaza sobre dos carriles circulares concéntricos fijos de radios <math>R</math> y <math>2R</math> (sólido "1"), situados en un plano horizontal (ver figura). El movimiento de la esfera es tal que: i) en todo instante, rueda sin deslizar sobre ambos carriles, y ii) su centro <math>C</math> realiza un movimiento circular uniforme, siendo <math>v_0</math> el módulo de su velocidad. Considerando cómo sólido móvil intermedio (sólido "0") al plano <math>O_1X_0Z_0</math> que contiene en todo instante al centro <math>C</math> de la esfera (ver figura), calcula:
# Los ejes instantáneos o permanentes de rotación de los movimientos {21}, {20} y {01}.
# Reducciones cinemáticas de dichos movimientos,
# Para el punto de la esfera en contacto con el carril de mayor diámetro (punto <math>B</math>), los vectores <math>\vec{v}_{20}^B</math> y <math>\vec{a}_{21}^B</math>

== Solución ==
Este problema es algo diferente de los anteriores. Los datos
cinemáticos que nos dan son las velocidades absolutas de los puntos
<math>A</math>, $B</math> y $C</math>. Por un lado la esfera (sólido "2") rueda sin
deslizar sobre los carriles (sólido "1"), por tanto
<math>\vec{v}_{21}^A=\vec{v}_{21}^B=\vec{0}</math>. Por otro lado, el centro de la
esfera realiza un movimiento circular uniforme, por lo que
<math>|\vec{v}_{21}^C|=v_0</math>. Usando la base vectorial del sólido "0" que gira
con el centro de la esfera, los datos cinemáticos son por tanto
<center><math>
\vec{v}_{21}^A=\vec{0},\qquad \vec{v}_{21}^B=\vec{0},\qquad
\vec{v}_{21}^C=v_0\,\vec{\jmath}_0
</math></center>
Además, podemos observar que el sólido "0", que sigue a la esfera en su
movimiento,
realiza una rotación permanente alrededor del eje <math>O_1Z_1</math>, de modo
que podemos escribir
<center><math>
\vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\,\vec{k}_1=\omega_{01}\,\vec{k}_0
</math></center>
Dado que tenemos la velocidad del movimiento {21} en tres puntos no
alineados, esto nos permite calcular <math>\vec{\omega}_{21}</math>. En este caso
analizaremos primero el movimiento {21} y a partir de él obtendremos
la descripción de los otros movimientos.

===Movimiento {21} ===

Como
<math>\vec{v}_{21}^A=\vec{v}_{21}^B=\vec{0}</math>, el eje instantáneo del movimiento
{21} pasa por esos dos puntos, es decir,
<math>\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{\imath}_0</math>. Pero entonces también pasa en todo
instante por el origen de coordenadas, <math>O_1</math>. Podemos decir entonces que
el punto <math>O_1</math> es un punto fijo en este movimiento, y por tanto
<center><math>
\vec{v}_{21}^{O_1}=\vec{0}\qquad\qquad\vec{a}_{21}^{O_1}=\vec{0}
</math></center>
Usando la ecuación del campo de velocidades, tenemos
<center><math>
\vec{v}_{21}^C=v_o\,\vec{\jmath}_0=\vec{v}_{21}^{O_1}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1C}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1C}
</math></center>
[[Imagen:F1_GIA_esfera_sobre_dos_railes_triangulo.png|right]]
Necesitamos el vector geométrico <math>\overrightarrow{O_1C}</math>. Si nos fijamos en la
figura adjunta, observamos que el triángulo <math>ABC</math> es equilátero, pues
la distancia entre los raíles es <math>R</math>, el radio de la esfera. Los tres
ángulos son entonces de <math>\pi/3</math> radianes, con lo que podemos calcular
la altura del triángulo, que es la coordenada <math>z_0</math> del punto
<math>C</math>. Obtenemos las coordenadas respecto a <math> O_1</math> en la base vectorial del
sólido "0"
<center><math>
\begin{array}{c}
A(R,0,0)_{0}\qquad B(2R,0,0)_{0}\qquad C(3R/2,\sqrt{3}R/2,0)_{0}\\ \\
\overrightarrow{O_1C}=\dfrac{3R}{2}\,\vec{\imath}_0+\dfrac{\sqrt{3}R}{2}\,\vec{k}_0
\end{array}
</math></center>
Podemos plantear ahora la ecuación obtenida a partir del campo de velocidades
<center><math>
\begin{array}{c}
v_0\,\vec{\jmath}_0 = \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1C}=
\left|
\begin{array}{ccc}
\vec{\imath}_0&\vec{\jmath}_0&\vec{k}_0\\\omega_{21}&0&0\\3R/2&0&\sqrt{3}R/2
\end{array}
\right|=-\omega_{21}\dfrac{\sqrt{3}R}{2}\vec{\jmath}_0\Rightarrow\\ \\
\vec{\omega}_{21}=-\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}R}\,\vec{\imath}_0
\end{array}
</math></center>
La reducción del movimiento {21} en <math>O_1</math> es
<center><math>
\begin{array}{lcl}
\vec{\omega}_{21}=-\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}R}\,\vec{\imath}_0&\qquad&
\vec{v}_{21}^{O_1}=\vec{0}\\
\Delta_{\mathrm{EIR}}\quad\equiv\quad O_1X_0&&
\end{array}
</math></center>

===Movimiento {01} ===
Hemos de calcular la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{01}</math>. El punto $O_1</math> es
también un punto fijo en {01}, pues pertenece al eje de giro,
entonces
<center><math>
\vec{v}_{01}^{O_1}=\vec{0}\qquad\qquad\vec{a}_{01}^{O_1}=\vec{0}
</math></center>
Por definición, el
sólido "0" se mueve de modo que el punto <math>C</math> esta siempre en el
plano <math>O_1X_0Z_0</math>. Entonces <math>C</math> es un punto fijo en el movimiento
{20}, y por tanto
<center><math>
\vec{v}_{20}^C=\vec{0}
</math></center>
Ahora bien, usando la regla de composición podemos escribir
<center><math>
\vec{v}_{21}^C =\vec{v}_{20}^C+\vec{v}_{01}^C\Rightarrow\vec{v}_{01}^C=\vec{v}_{21}^C-\vec{v}_{20}^C=v_0\,\vec{\jmath}_0
</math></center>
Pero podemos escribir <math>\vec{v}_{01}^C</math> usando el campo de velocidades del
sólido en el movimiento {01}
<center><math>
\begin{array}{c}
\vec{v}_{01}^C=\vec{v}_{01}^{O_1}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1C}=
\left|
\begin{array}{ccc}
\vec{\imath}_0&\vec{\jmath}_0&\vec{k}_0\\0&0&\omega_{01}\\3R/2&0&\sqrt{3}R/2
\end{array}
\right|=\dfrac{3R}{2}\omega_{01}\,\vec{\jmath}_0\Rightarrow\\ \\
\vec{\omega}_{01}=\dfrac{2v_0}{3R}\,\vec{k}_0
\end{array}
</math></center>
La reducción de {01} en <math>O_1</math> es
<center><math>
\begin{array}{lcl}
\vec{\omega}_{01}=\dfrac{2v_0}{3R}\,\vec{k}_0=\dfrac{2v_0}{3R}\,\vec{k}_1&\quad\quad&
\vec{v}_{01}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\
\Delta_{\mathrm{EPR}}\quad\equiv\quad O_1Z_1&&
\end{array}
</math></center>

===Movimiento {20} ===
Determinamos la velocidad angular a partir de la
composición {20} = {21} + {10}
<center><math>
\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}+\vec{\omega}_{10}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}=
-\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}R}\,\vec{\imath}_0-\dfrac{2v_0}{3R}\,\vec{k}_0
</math></center>
El punto <math>O_1</math> pertenece al eje instantáneo de {21} y {01}. Entonces
también pertenece al eje del movimiento {20}. Tenemos
<center><math>
\vec{v}_{20}^{O_1}=\vec{v}_{21}^{O_1}+\vec{v}_{10}^{O_1}=\vec{v}_{21}^{O_1}-\vec{v}_{01}^{O_1}=\vec{0}
</math></center>
La reducción en <math>O_1</math> queda
<center><math>
\begin{array}{lcl}
\vec{\omega}_{20} = -\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}R}\,\vec{\imath}_0-\dfrac{2v_0}{3R}\,\vec{k}_0
&\qquad&
\vec{v}_{20}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\
\Delta_{\mathrm{EIR}}\quad\equiv\quad O_1C\quad\equiv\quad\lambda\,\vec{\omega}_{20}
\end{array}
</math></center>

===Vectores <math>\vec{v}_{20}^B</math> y <math>\vec{a}_{21}^B</math> ===

Una vez reducido el movimiento {20} en <math>C</math>, podemos aplicar la
ecuación del campo de velocidades de un sólido rígido para calcular
<math>\vec{v}_{20}^B</math>
<center><math>
\vec{v}_{20}^B = \vec{v}_{20}^C+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}=
\left|
\begin{array}{ccc}
\vec{\imath}_0&\vec{\jmath}_0&\vec{k}_0\\-2v_0/\sqrt{3}R&0&-2v_0/3R\\R/2&0&-\sqrt{3}R/2
\end{array}
\right|=-\dfrac{4v_0}{3}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>
Calculamos la aceleración <math>\vec{a}_{21}^B</math> aplicando la ecuación del campo
de aceleraciones del movimiento {21} y partiendo del punto fijo de
este movimiento, <math>O_1</math>. Necesitamos el vector <math>\vec{\alpha}_{21}</math>. Podemos
obtenerlo derivando <math>\vec{\omega}_{21}</math>
<center><math>
\vec{\alpha}_{21}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=
-\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}R}\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\imath}_0}{\mathrm{d}t}\right|_1 =
-\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}R}\left(\left.\dfrac{\mathrm{d}
\vec{\imath}_0}{\mathrm{d}t}\right|_0+
\vec{\omega}_{01}\times\vec{\imath}_0\right)=
-\dfrac{4v_0^2}{3\sqrt{3}R^2}\,\vec{\jmath}_0
</math></center>
[[Imagen:F1_GIA_esfera_sobre_dos_railes_ejes.png|right]]
Con esto podemos calcular el vector pedido
<center><math>
\vec{a}_{21}^B =
\vec{a}_{21}^{O_1}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{O_1B}+\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1B})=\dfrac{8v_0^2}{3\sqrt{3}R}\,\vec{k}_0
</math></center>
En a figura siguiente se muestran los ejes instantáneos de rotación de
los tres movimientos analizados en el problema, así como los dos
vectores pedidos.
[[Categoría:Problemas de movimiento relativo]]

Esfera sobre dos raíles (G.I.A.) - Historial de revisiones