Esfera en recipiente cilíndrico - Historial de revisiones

Antonio: /* Ejes instantáneos de rotación */

2023-11-29T11:33:46Z

Ejes instantáneos de rotación

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Línea 71:		Línea 71:

	Los tres ejes se cortan en el punto <math>Q(0,-R)</math> que es un punto fijo en los tres movimientos.		Los tres ejes se cortan en el punto <math>Q(0,-R)</math> que es un punto fijo en los tres movimientos.

			<center>[[Archivo:Esfera-recipiente-cilindrico-03.png\|400px]]</center>

	==Aceleraciones angulares==		==Aceleraciones angulares==

Antonio: /* Relativa, {20} */

2023-11-29T11:33:11Z

Relativa, {20}

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Línea 62:		Línea 62:

	<center><math>\vec{\omega}_{20}=-\frac{v_0}{R}\left(\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right) - \frac{v_0}{R}\vec{k}_0 = -\frac{v_0}{R}\left(\vec{\imath}_0+2\vec{k}_0\right)</math></center>		<center><math>\vec{\omega}_{20}=-\frac{v_0}{R}\left(\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right) - \frac{v_0}{R}\vec{k}_0 = -\frac{v_0}{R}\left(\vec{\imath}_0+2\vec{k}_0\right)</math></center>

			<center>[[Archivo:Esfera-recipiente-cilindrico-02.png\|400px]]</center>

	==Ejes instantáneos de rotación==		==Ejes instantáneos de rotación==

Antonio en 12:49 28 nov 2023

2023-11-28T12:49:11Z

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Línea 124:		Línea 124:

	operamos igualmente para el punto B		operamos igualmente para el punto B

			<center><math>\vec{a}^B_{21} = \vec{a}^G_{21}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{GB}+\vec{\omega}_{21}\times\left(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{GB}\right)</math></center>

			con

	<center><math>\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{GB}=\left(-\frac{v_0^2}{R^2}\vec{\jmath}_0\right)\times \left(R\vec{\imath}_0\right)=\frac{v_0^2}{R}\vec{k}_0</math></center>		<center><math>\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{GB}=\left(-\frac{v_0^2}{R^2}\vec{\jmath}_0\right)\times \left(R\vec{\imath}_0\right)=\frac{v_0^2}{R}\vec{k}_0</math></center>
Línea 131:		Línea 135:
	y resulta		y resulta

	<center><math>\vec{a}^A_{21}=\frac{2v_0^2}{R}\left(-\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right)</math></center>		<center><math>\vec{a}^B_{21}=\frac{2v_0^2}{R}\left(-\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right)</math></center>

Antonio en 12:46 28 nov 2023

2023-11-28T12:46:05Z

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Línea 93:		Línea 93:

	==Aceleraciones lineales==		==Aceleraciones lineales==
			Para las aceleraciones lineales tenemos la fórmula general

			<center><math>\vec{a}^P_{21} = \vec{a}^O_{21}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}_{21}\times\left(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OP}\right)</math></center>

			pero en este caso el punto O no es un buen punto de referencia, ya que también posee aceleración y desconocemos cuál es (se puede calcular). Deberíamos usar el punto Q, donde se cortan los ejes, como punto de referencia, ya que este punto tiene aceleración nula.

			Si no hemos observado que Q es el punto fijo podemos hacerlo de otra forma. Primero calculamos la aceleración de G observando que es un punto fijo en el movimiento {20}

			<center><math>\vec{a}^G_{21}=\overbrace{\vec{a}^G_{20}}^{=\vec{0}}+\vec{a}^G_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\overbrace{\vec{v}^G_{20}}^{=\vec{0}}=\vec{a}^G_{01}</math></center>

			luego su aceleración es la que tiene en el movimiento de arrastre, que es simplemente la de un movimiento circular alrededor de <math>OZ_0</math>

			<center><math>\vec{a}^G_{01} = \overbrace{\vec{a}^O_{01}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{01}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{OG}+\vec{\omega}_{01}\times\left(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG}\right)=-\frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}_0</math></center>

			y una vez que tenemos esta hallamos la de los otros dos puntos

			<center><math>\vec{a}^A_{21} = \vec{a}^G_{21}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{GA}+\vec{\omega}_{21}\times\left(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{GA}\right)</math></center>

			donde los tres términos valen

			<center><math>\vec{a}^G_{21}=-\frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}_0</math></center>

			<center><math>\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{GA}=\left(-\frac{v_0^2}{R^2}\vec{\jmath}_0\right)\times \left(-R\vec{k}_0\right)=\frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}_0</math></center>

			<center><math>\vec{\omega}_{21}\times\left(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{GA}\right)=\left(-\frac{v_0}{R}\left(\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right)\right)\times\left(\left(-\frac{v_0}{R}\left(\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right)\right)\times\left(-R\vec{k}_0\right)\right)=\frac{v_0^2}{R}\left(-\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right)</math></center>

			Sumando los tres términos resulta

			<center><math>\vec{a}^A_{21}=\frac{v_0^2}{R}\left(-\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right)</math></center>

			operamos igualmente para el punto B

			<center><math>\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{GB}=\left(-\frac{v_0^2}{R^2}\vec{\jmath}_0\right)\times \left(R\vec{\imath}_0\right)=\frac{v_0^2}{R}\vec{k}_0</math></center>

			<center><math>\vec{\omega}_{21}\times\left(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{GB}\right)=\left(-\frac{v_0}{R}\left(\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right)\right)\times\left(\left(-\frac{v_0}{R}\left(\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right)\right)\times\left(R\vec{\imath}_0\right)\right)=\frac{v_0^2}{R}\left(-\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right)</math></center>

			y resulta

			<center><math>\vec{a}^A_{21}=\frac{2v_0^2}{R}\left(-\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right)</math></center>

Antonio en 11:47 28 nov 2023

2023-11-28T11:47:19Z

@@ Línea 63: / Línea 63: @@
 <center><math>\vec{\omega}_{20}=-\frac{v_0}{R}\left(\vec{\imath}_0+\vec{k}_0\right) - \frac{v_0}{R}\vec{k}_0 = -\frac{v_0}{R}\left(\vec{\imath}_0+2\vec{k}_0\right)</math></center>
 ==Aceleraciones angulares==
 ==Aceleraciones lineales==

Antonio en 11:11 28 nov 2023

2023-11-28T11:11:49Z

@@ Línea 31: / Línea 31: @@
 Esto nos da
-<center><math>v_0\vec{\jmath}_0 = (\omega_{01}\vec{k}_0)\times (R\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0) = \omega_{01}R\vec{\jmath}_0</math></center>
+<center><math>v_0\vec{\jmath}_0 = \left(\omega_{01}\vec{k}_0\right)\times \left(R\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0\right) = \omega_{01}R\vec{\jmath}_0</math></center>
+y
@@ Línea 37: / Línea 37: @@
 <center><math>\omega_{01}=\dfrac{v_0}{R}\qquad\qquad \vec{\omega}_{01}=\frac{v_0}{R}\vec{k}_0</math></center>
 ===Relativa, {20}===
 ==Ejes instantáneos de rotación==
 ==Aceleraciones angulares==
 ==Aceleraciones lineales==

Antonio en 09:39 28 nov 2023

2023-11-28T09:39:07Z

@@ Línea 8: / Línea 8: @@
 <center>[[Archivo:Esfera-recipiente-cilindrico.png|400px]]</center>
 ==Velocidades angulares==
 ==Ejes instantáneos de rotación==
 ==Aceleraciones angulares==
 ==Aceleraciones lineales==

Antonio: Página creada con «==Enunciado== Se tiene un sistema formado por un recipiente cilíndrico (sólido “1”) con fondo pero sin tapa, de radio y altura 2R. En el interior de este recipiente se encuentra una esfera maciza homogénea (“sólido 2”) de masa m y radio R. Esta esfera se mueve de forma que rueda sin deslizar en todo momento sobre el fondo y la pared. El centro de la bola se mueve en todo momento con rapidez constante $v_0$ alrededor del eje vertical. Tomamos u…»

2023-11-28T07:37:56Z

Página creada con «==Enunciado== Se tiene un sistema formado por un recipiente cilíndrico (sólido “1”) con fondo pero sin tapa, de radio y altura 2R. En el interior de este recipiente se encuentra una esfera maciza homogénea (“sólido 2”) de masa m y radio R. Esta esfera se mueve de forma que rueda sin deslizar en todo momento sobre el fondo y la pared. El centro de la bola se mueve en todo momento con rapidez constante <math>v_0</math> alrededor del eje vertical. Tomamos u…»

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==Enunciado==
Se tiene un sistema formado por un recipiente cilíndrico (sólido “1”) con fondo pero sin tapa, de radio y altura 2R. En el interior de este recipiente se encuentra una esfera maciza homogénea (“sólido 2”) de masa m y radio R. Esta esfera se mueve de forma que rueda sin deslizar en todo momento sobre el fondo y la pared. El centro de la bola se mueve en todo momento con rapidez constante <math>v_0</math> alrededor del eje vertical.
Tomamos un tercer sistema de referencia intermedio “0”, que gira alrededor del eje <math>{OZ}_1</math>=OZ_0 de manera que el centro de la esfera siempre se encuentra en el plano <math>{OX}_0Z_0</math> . Con ayuda de este sistema determine y exprese:
# Las velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{01}</math>, <math>\vec{\omega}_{21}</math> y <math>\vec{\omega}_{20}</math>
# La posición de los tres ejes instantáneos de rotación (puede ayudarse de la figura)
# Las aceleraciones angulares <math>\vec{\alpha}_{01}</math>, <math>\vec{\alpha}_{20}</math> y <math>\vec{\alpha}_{21}</math>
# Las aceleraciones lineales de los puntos G (centro de la esfera), A (contacto con el fondo) y B (contacto con la pared) de la esfera 2 respecto al sistema de referencia fijo 1.
<center>[[Archivo:Esfera-recipiente-cilindrico.png|400px]]</center>
==Velocidades angulares==
==Ejes instantáneos de rotación==
==Aceleraciones angulares==
==Aceleraciones lineales==