Pedro: Página creada con «= Enunciado = right En el sistema de la figura las barras tienen longitud $2d$ y masa $m$ cada una. La barra "2" está articulada en el punto fijo $A$ , mientras que el extremo $C$ de la barra "0" puede deslizar sin rozamiento sobre la superficie vertical. El muelle que conecta los puntos $A$ y $C$ tiene constante elástica $k$ y longitud natural…»

2023-11-08T10:48:56Z

Página creada con «= Enunciado = right En el sistema de la figura las barras tienen longitud <math>2d</math> y masa <math>m</math> cada una. La barra "2" está articulada en el punto fijo <math>A</math>, mientras que el extremo <math>C</math> de la barra "0" puede deslizar sin rozamiento sobre la superficie vertical. El muelle que conecta los puntos <math>A</math> y <math>C</math> tiene constante elástica <math>k</math> y longitud natural…»

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= Enunciado =
[[Imagen:MRGIC_armaduramuelle_enunciado.png|right]]
En el sistema de la figura las barras tienen longitud <math>2d</math> y masa <math>m</math> cada una.
La barra "2" está articulada en el punto fijo <math>A</math>, mientras que el extremo
<math>C</math> de la barra "0" puede deslizar sin rozamiento sobre la superficie vertical. El
muelle que conecta los puntos <math>A</math> y <math>C</math> tiene constante elástica <math>k</math> y longitud natural
nula. El muelle se mantiene siempre vertical. La gravedad actúa como se indica en la
figura.
#Calcula la energía potencial del sistema.
#Suponiendo que el muelle se ajusta de modo que <math>mg=kd</math>, determina los valores de <math>\theta</math> para los que hay equilibrio mecánico. Discute la estabilidad de estas posiciones de equilibrio.
#Si se aplica una fuerza <math>\vec{F} = F_0\,\vec{\imath}_1</math> sobre el punto <math>B</math>, con <math>F_0=2kd>0</math>, determina el nuevo valor de <math>\theta</math> para que haya equilibrio mecánico.

= Solución =

== Energía potencial ==
El sistema tiene sólo un grado de libertad, el ángulo <math>\theta</math> indicado en la figura.
La energía potencial del sistema tiene dos componentes: gravitatoria y elástica.

Escogemos como referencia de energía potencial gravitatoria la altura correspondiente a <math>x_1=0</math>.
Los vectores de posición de los centros de las barra son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\overrightarrow{AG}_0 = 3d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + d\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
\\
\\
\overrightarrow{AG}_2 = d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + d\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
\end{array}
</math>
</center>
La energía potencial gravitatoria es la suma de la energía de cada una de las barras
<center>
<math>
U_g = U_{g0} + U_{g2} = -mg\overrightarrow{AG}_0\cdot\vec{\imath}_1 -mg\overrightarrow{AG}_2\cdot\vec{\imath}_1=-4mgd\,\mathrm{sen}\,\theta
</math>
</center>
El muelle tiene longitud natural nula, por lo que la energía potencial elástica es
<center>
<math>
U_k = \dfrac{1}{2}k|\overrightarrow{AC}|^2 = 8kd^2\mathrm{sen}^2\theta
</math>
</center>
La energía potencial total es
<center>
<math>
U = U_g + U_k = -4mgd\,\mathrm{sen}\,\theta + 8kd^2\mathrm{sen}^2\theta
</math>
</center>

== Equilibrio mecánico ==
Aplicando la condición <math>mg=kd</math> la expresión de la energía potencial total es
<center>
<math>
U = 4kd^2(2\,\mathrm{sen}^2\theta -\,\mathrm{sen}\,\theta)
</math>
</center>
Como no hay fuerzas aplicadas no conservativas y los vínculos son ideales, las posiciones de equilibrio
mecánico corresponden a los mínimos de la energía potencial. La derivada de la energía potencial respecto
al grado de libertad es
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}\theta} = 4kd^2\,(4\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta - \cos\theta)
</math>
</center>
Igualando a cero esta derivada obtenemos las posiciones de equilibrio
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
\cos\theta = 0 & \to & \theta_1 = \pi/2\\
\mathrm{sen}\,\theta = 1/4 & \to & \theta_2 = \mathrm{arcsen}(1/4)
\end{array}
</math>
</center>
El primer valor corresponde a la situación en que las barras están completamente verticales y el muelle
completamente estirado. Para discriminar la estabilidad del equilibrio debemos ver el signo de la segunda
derivada evaluada en estos valores del ángulo. La derivada segunda es
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^2} = 4kd^2\,(4-8\,\mathrm{sen}^2\theta + \,\mathrm{sen}\,\theta)
</math>
</center>
Entonces
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
\left.\dfrac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^2}\right|_{\theta=\theta_1} = -12kd^2 <0 & \to & \mathrm{max}
\\
&&\\
\left.\dfrac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^2}\right|_{\theta=\theta_2} = 15kd^2 <0 & \to & \mathrm{min}
\end{array}
</math>
</center>
Entonces, <math>\theta_1</math> corresponde a un equilibrio inestable y <math>\theta_2</math> a un equilibrio
estable.

Alternativamente, podemos llegar a este resultado directamente a partir de la energía potencial. Completando cuadrados podemos escribirla en la forma

<center><math>U=8kd^2\left(\mathrm{sen}^2\theta-\frac{1}{2}\mathrm{sen}\,\theta\right)=8kd^2\left(\left(\mathrm{sen}\,\theta-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{16}\right)</math></center>

Al ser el primer paréntesis siempre positivo, se ve que el mínimo en la energía se alcanza cuando se anula dicho paréntesis, es decir cuando <math>\mathrm{sen}\,\theta=1/4</math>.

== Equilibrio con fuerza aplicada ==
Ahora se aplica una fuerza no conservativa sobre el sistema. La condición de equilibrio ahora es
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}\theta} = Q_{\theta}^{NC}
</math>
</center>
La fuerza generalizada es
<center>
<math>
Q_{\theta}^{NC} = \vec{F}\cdot\dfrac{\partial\vec{r}^{B}}{\partial\theta}
</math>
</center>
con <math>\vec{F} = 2kd\,\vec{\imath}_1</math>.
Tenemos
<center>
<math>
\vec{r}^{\,B} = \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AG}_0 = 2d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + 2d\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
</math>
</center>
Entonces
<center>
<math>
Q_{\theta}^{NC} = 4kd^2\cos\theta
</math>
</center>
La condición de equilibrio queda
<center>
<math>
4kd^2\,(4\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta - \cos\theta) = 4kd^2\cos\theta
\Longrightarrow
2\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta = \cos\theta
</math>
</center>
Tenemos de nuevo dos soluciones
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
\cos\theta = 0 & \to & \theta_1 = \pi/2\\
\mathrm{sen}\,\theta = 1/2 & \to & \theta_2 = \pi/6
\end{array}
</math>
</center>
No se pedía discutir la estabilidad de estas soluciones, pues no
basta con examinar la segunda derivada de la energía potencial.

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