Drake: Página creada con «==Enunciado== Una partícula efectúa un movimiento rectilíneo tal que si $x(t)$ es la posición a lo largo de la recta y $v_x(t)$ la componente de la velocidad en dicha dirección, se cumple en todo instante $v_x = \sqrt{k x}$ # Determine la aceleración en cada punto. ¿Qué tipo de movimiento efectúa la partícula? # Si en $t=0$ la partícula se encuentra en $x= x_0$ , ¿cuál es su posici…»

2024-01-09T16:40:35Z

Página creada con «==Enunciado== Una partícula efectúa un movimiento rectilíneo tal que si <math>x(t)</math> es la posición a lo largo de la recta y <math>v_x(t)</math> la componente de la velocidad en dicha dirección, se cumple en todo instante <center><math>v_x = \sqrt{k x}</math></center> # Determine la aceleración en cada punto. ¿Qué tipo de movimiento efectúa la partícula? # Si en <math>t=0</math> la partícula se encuentra en <math>x= x_0</math>, ¿cuál es su posici…»

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==Enunciado==
Una partícula efectúa un movimiento rectilíneo tal que si <math>x(t)</math> es la posición a lo largo de la recta y <math>v_x(t)</math> la componente de la velocidad en dicha
dirección, se cumple en todo instante

<center><math>v_x = \sqrt{k x}</math></center>

# Determine la aceleración en cada punto. ¿Qué tipo de movimiento efectúa la partícula?
# Si en <math>t=0</math> la partícula se encuentra en <math>x= x_0</math>, ¿cuál es su posición en cualquier instante posterior?

==Aceleración==
La aceleración la obtenemos derivando la velocidad ''respecto al tiempo'', lo cual se consigue aplicando la regla de la cadena,

<center><math>a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{k}{2\sqrt{kx}}\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}</math></center>

pero la derivada de la posición respecto al tiempo es la propia velocidad, por lo que

<center><math>a = \frac{k}{2\sqrt{kx}}\,v = \frac{k}{2\sqrt{kx}}\sqrt{kx} = \frac{k}{2}</math></center>

La aceleración es por tanto constante y el movimiento es uniformemente acelerado.

==Posición instantánea==
Al ser el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la posición en cada instante es

<center><math>x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}\,\frac{k}{2}\,t^2</math></center>

La velocidad inicial la sacamos de que también en el instante inicial se cumple la relación del enunciado, por lo que

<center><math>x = x_0 + t\sqrt{kx_0} + \frac{kt^2}{4}</math></center>

La velocidad instantánea es

<center><math>v = \sqrt{kx_0}+\frac{kt}{2}</math></center>

y es inmediato comprobar que, efectivamente

<center><math>kx= v^2\,</math></center>

[[Categoría:Problemas de Cinemática del Punto (GITI)]]

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