Antonio: Página creada con «==Enunciado== El movimiento de un pájaro en una corriente térmica es aproximadamente helicoidal, compuesto de un movimiento ascensional y uno de giro alrededor del eje de subida, de forma que la velocidad en cada punto de la trayectoria puede escribirse como $\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{\omega}_0\times\vec{r}$ siendo $\vec{v}_0 = v_0\vec{k}\qquad \vec{\omega}_0=\omega_0 \vec{k}$ dos vectores constantes. Si la p…»

2023-09-25T12:43:01Z

Página creada con «==Enunciado== El movimiento de un pájaro en una corriente térmica es aproximadamente helicoidal, compuesto de un movimiento ascensional y uno de giro alrededor del eje de subida, de forma que la velocidad en cada punto de la trayectoria puede escribirse como <center><math>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{\omega}_0\times\vec{r}</math></center> siendo <center><math>\vec{v}_0 = v_0\vec{k}\qquad \vec{\omega}_0=\omega_0 \vec{k}</math></center> dos vectores constantes. Si la p…»

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==Enunciado==
El movimiento de un pájaro en una corriente térmica es aproximadamente helicoidal, compuesto de un movimiento ascensional y uno de giro alrededor del eje de subida, de forma que la velocidad en cada punto de la trayectoria puede escribirse como

<center><math>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{\omega}_0\times\vec{r}</math></center>

siendo

<center><math>\vec{v}_0 = v_0\vec{k}\qquad \vec{\omega}_0=\omega_0 \vec{k}</math></center>

dos vectores constantes. Si la posición inicial es <math>\vec{r}_0=A\vec{\imath}</math>

# Determine la velocidad en cada punto expresada en la base de coordenadas cilíndricas.
# Determine las ecuaciones horarias <math>\rho=\rho(t)</math>, <math>\theta=\theta(t)</math> y <math>z=z(t)</math>. ¿Cuánto vale el ''paso de rosca'' de la hélice, esto es, lo que sube en el tiempo que da una vuelta alrededor del eje?
# Calcule la aceleración del movimiento, así como sus componentes intrínsecas en cada punto del movimiento.
# Determine el radio de curvatura de la trayectoria en cualquier instante.
==Velocidad==
La velocidad en cada punto la obtenemos simplemente sustituyendo en la expresión indicada

<center><math>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{\omega}_0\times\vec{r}</math></center>

donde <math>\vec{r}</math> es el vector de posición del pájaro, que en coordenadas cilíndricas se expresa

<center><math>\vec{r}=\rho\vec{u}_\rho+z\vec{k}</math></center>

Sustituyendo nos queda

<center><math>\vec{v}=v_0\vec{k}+\omega_0\vec{k}\times\left(\rho\vec{u}_\rho+z\vec{k}\right)</math></center>

La base asociada a las coordenadas cilíndricas forma un triedro ortonormal y dextrógiro, por lo que cumple

<center><math>\vec{k}\times\vec{u}_\rho=\vec{u}_\theta</math></center>

y queda la velocidad

<center><math>\vec{v}=\omega_0\rho\vec{u}_\theta+v_0\vec{k}</math></center>

Vemos que posee una componente acimutal (correspondiente al giro) y una vertical, asociada a la ascensión.

==Ecuaciones horarias==
Por otra parte, la velocidad de una partícula, expresada en coordenadas cilíndricas, es

<center><math>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho + \rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta+\dot{z}\vec{k}</math></center>

Igualando componente a componente, nos quedan las igualdades

<center><math>\dot{\rho} = 0\qquad \rho\dot{\theta}=\omega_0\rho\qquad\dot{z}=v_0</math></center>

La integración de estas tres ecuaciones es inmediata, ya que cada una de las derivadas es una constante o nula.

<center><math>\rho=\rho_0\qquad\theta=\omega_0t + \theta_0\qquad z=v_0t+z_0</math></center>

Los valores de las constantes de integración los obtenemos de la posición inicial. sabemos que en <math>t=0</math> la partícula se encuentra en

<center><math>\vec{r}_0=A\vec{\imath}</math></center>

que corresponde a las coordenadas cilíndricas

<center><math>\rho_0 = A\qquad\theta_0 = 0\qquad z_0=0</math></center>

por tanto las ecuaciones horarias del movimiento son

<center><math>\rho=A\qquad\theta=\omega_0t\qquad z=v_0t</math></center>

En coordenadas cartesianas, estas ecuaciones horarias quedan

<center><math>x = \rho \cos(\theta) = A\cos(\omega_0t)\qquad y = \rho\,\mathrm{sen}(\theta) = A\,\mathrm{sen}(\omega_0t)\qquad z = v_0t</math></center>

==Aceleración==
===Vector aceleración===
Podemos hallar la aceleración a partir de su expresión en cartesianas

<center><math>\vec{a}=\ddot{x}\vec{\imath}+\ddot{y}\vec{\jmath}+\ddot{z}\vec{k}</math></center>

o la correspondiente en cilíndricas

<center><math>\vec{a} = (\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_{\rho} + (2\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\,\vec{u}_{\theta}+\ddot{z}\vec{k}</math></center>

Para aplicar esta última, hallamos las segundas derivadas,

<center><math>\ddot{\rho}=0\qquad\ddot{\theta}=0\qquad\ddot{z}=0</math></center>

y la aceleración se reduce a

<center><math>\vec{a}=-\omega_0^2A\vec{u}_\rho</math></center>

Resulta una aceleración puramente radial y hacia adentro.

===Aceleración tangencial===
[[Archivo:movimiento-helicoidal.gif|right]]

La aceleración que acabamos de hallar es puramente ortogonal a la velocidad, ya que una es radial, mientras que la otra posee solo componentes acimutal y vertical

<center><math>\vec{a}\cdot\vec{v}=\left(-\omega_0^2A\vec{u}_\rho\right)\cdot\left(\omega_0\rho\vec{u}_\theta+v_0\vec{k}\right) = 0</math></center>

Por tanto, la aceleración tangencial es nula

<center><math>a_t = \frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{|\vec{v}|}=0</math></center>

Esto nos dice también que el movimiento es uniforme y la celeridad es constante

<center><math>|\vec{v}|=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\sqrt{\omega_0^2A^2+v_0^2}</math></center>

===Aceleración normal===
Si la aceleración tangencial es nula, toda la aceleración es normal

<center><math>\vec{a}_n = \vec{a} = -\omega_0^2A\vec{u}_\rho</math></center>

y, en forma escalar,

<center><math>a_n = |\vec{a}_n|=\omega_0^2A</math></center>

==Radio de curvatura==
Una vez que tenemos la aceleración normal y la rapidez, el radio de curvatura es inmediato

<center><math>R = \frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{\omega_0^2A^2+v_0^2}{\omega_0^2A}=A+\frac{v_0^2}{\omega_0^2A}</math></center>

Resulta un radio de curvatura mayor que el radio de la hélice (que vale A) ya que una hélice viene a ser un arco circular que se estira verticalmente.
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