Ejemplo de movimiento helicoidal - Historial de revisiones

Drake: Página creada con «==Enunciado== Una partícula se mueve a lo largo de la hélice descrita por la ecuación paramétrica $\vec{r}(\theta)=A\cos(\theta)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b\theta}{2\pi}\vec{k}$ donde $A$ y $b$ son constantes conocidas. El movimiento de la partícula sigue la ley horaria $\theta(t) = \Omega_0 t + \beta t^2\,$ donde $\Omega_0$ y $\beta$
2024-01-09T17:48:23Z

Página creada con «==Enunciado== Una partícula se mueve a lo largo de la hélice descrita por la ecuación paramétrica <center><math>\vec{r}(\theta)=A\cos(\theta)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b\theta}{2\pi}\vec{k}</math></center> donde <math>A</math> y <math>b</math> son constantes conocidas. El movimiento de la partícula sigue la ley horaria <center><math>\theta(t) = \Omega_0 t + \beta t^2\,</math></center> donde <math>\Omega_0</math> y <math>\beta</math…»

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==Enunciado==
Una partícula se mueve a lo largo de la hélice descrita por la ecuación paramétrica

<center><math>\vec{r}(\theta)=A\cos(\theta)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b\theta}{2\pi}\vec{k}</math></center>

donde <math>A</math> y <math>b</math> son constantes conocidas. El movimiento de la partícula sigue la ley horaria

<center><math>\theta(t) = \Omega_0 t + \beta t^2\,</math></center>

donde <math>\Omega_0</math> y <math>\beta</math> son constantes conocidas.

# Determine el parámetro arco de la hélice descrita, como función del parámetro <math>\theta</math> y como función del tiempo.
# Halle la rapidez del movimiento.
# Calcule la componente tangencial de la aceleración de la partícula en todo instante.
# Para el instante <math>t=0</math> calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
# Para el mismo instante, halle los vectores del triedro de Frenet, así como el radio de curvatura de la partícula y su aceleración normal.

==Parámetro arco==
Podemos determinar el parámetro arco empleando la variable <math>\theta</math> según la relación

<center><math>\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|</math></center>

Derivando y calculando el módulo

<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}=-A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+A\cos(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}</math></center>

El módulo de este vector vale

<center><math>\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|=\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}</math></center>

Puesto que el módulo es independiente de <math>\theta</math>, su integración es inmediata

<center><math>\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}</math>{{tose}}
<math>s=\theta\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}</math></center>

Y para obtener el parámetro arco en función del tiempo, basta sustituir en <math>s(\theta)</math> la ley horaria <math>\theta(t)</math> del enunciado

<center><math>s=(\Omega_0 t + \beta t^2)\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}</math></center>

==Celeridad==
El cálculo de la rapidez es inmediato por derivación respecto al tiempo del parámetro arco

<center><math>v = \dot{s} = \left(\Omega_0+2\beta t\right)\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}</math></center>

==Aceleración tangencial==
Obtenemos la componente tangencial de la aceleración derivando la celeridad respecto al tiempo

<center><math>a_t = \dot{v}= \ddot{s}= 2\beta \sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}</math></center>

Puesto que esta aceleración tangencial es constante, el movimiento a lo largo de la hélice es uniformemente acelerado.

==Velocidad y aceleración iniciales==
Hallamos la ecuación horaria sustituyendo la ley horaria en la ecuación de la trayectoria

<center><math>\vec{r}(t)=A\cos(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\jmath}+\frac{b(\Omega_0 t + \beta t^2)}{2\pi}\vec{k}</math></center>

Derivando en esta expresión respecto al tiempo

<center><math>\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\left(\Omega_0+2\beta t\right)\left(-A\,\mathrm{sen}(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\imath}+A\cos(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)</math></center>

Haciendo <math>t=0</math>

<center><math>\vec{v}(0)=\Omega_0\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)</math></center>

Obtenemos la aceleración derivando la velocidad respecto al tiempo

<center><math>\vec{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=2\beta\left(-A\,\mathrm{sen}(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\imath}+A\cos(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)</math> <math>+\left(\Omega_0+2\beta t\right)^2\left(-A\cos(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\imath}-A\,\mathrm{sen}(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\jmath}\right)</math></center>

Haciendo aquí <math>t=0</math>

<center><math>\vec{a}(0)=-\Omega_0^2A\vec{\imath} + 2\beta A\vec{\jmath}+\frac{b\beta}{\pi}\vec{k}</math></center>

==Triedro de Frenet==
Para el instante inicial hallamos el vector tangente a la circunferencia normalizando la velocidad

<center><math>\vec{T}(0)=\frac{\vec{v}(0)}{v(0)}=\frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)</math></center>

[[Archivo:Helice-desarrollada.png|right]]

Si lo escribimos en función de la inclinación de la hélice, <math>\alpha</math>, definida en la teoría, queda:

<center><math>\vec{T}(0)=\cos(\alpha)\vec{\jmath}+\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k}</math></center>

siendo evidente a partir de la figura que:

<center><math>\cos(\alpha)=\frac{A}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}</math> {{qquad}};{{qquad}}{{qquad}} <math>\mathrm{sen}(\alpha)=\frac{b/2\pi}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}} </math></center>

El vector binormal lo hallamos normalizando el producto vectorial de la velocidad y la aceleración:

<center><math>\vec{v}(0)\times\vec{a}(0)=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & \Omega_0A & \Omega_0b/2\pi \\-\Omega_0^2A &2\beta A & b\beta/\pi\end{matrix}\right|=A\Omega_0^3\left(-\frac{b}{2 \pi}\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)</math></center>

Resulta el vector

<center><math>\vec{B}(0) = \frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(-\frac{b}{2\pi}\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)</math></center>

que es claramente ortogonal al vector tangente.

Escrito en función de <math>\alpha</math>:

<center><math>\vec{B}(0)=-\mathrm{sen}(\alpha)\vec{\jmath}+\cos(\alpha)\vec{k}</math></center>

Multiplicando estos dos hallamos el vector normal

<center><math>\vec{N}(0)=\vec{B}(0)\times\vec{T}(0) = \frac{1}{A^2+b^2/4\pi^2}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\0 & -b\beta/\pi & A \\ 0 & A & b/2\pi \end{matrix}\right|=-\vec{\imath}</math></center>

que es ortogonal a los dos anteriores.

De aquí tenemos que la aceleración normal en el instante inicial es igual a

<center><math>a_n(0) = \vec{a}(0)\cdot(-\vec{\imath})= A\Omega_0^2</math></center>

y el radio de curvatura inicial vale

<center><math>R(0) = \frac{v^2(0)}{a_n(0)} = \frac{\Omega_0^2\left(A^2 + b^2/4\pi^2\right)}{A\Omega_0^2} = A + \frac{b^2}{4\pi^2A}</math></center>

Puede demostrarse que este radio de curvatura es constante a lo largo de todo el movimiento.

Método alternativo: Tras calcular <math>\vec{T}(0)</math>, podríamos haber calculado el vector aceleración normal como:

<center><math>\vec{a}_n(0) = \vec{a}(0)-a_t\vec{T}(0) = -A\Omega_0^2 \vec{\imath}</math></center>

Tomando módulo y normalizando, obtendríamos la aceleración normal y el vector normal principal, respectivamente:

<center><math>a_n(0)=|\vec{a}_n(0)| = A\Omega_0^2 \,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{N}(0)=\frac{\vec{a}_n(0)}{a_n(0)} = -\vec{\imath}</math></center>

Y el vector binormal se obtendría entonces como <math>\vec{B}(0)=\vec{T}(0)\times\vec{N}(0)</math>

[[Categoría:Problemas de Cinemática del Punto (GITI)]]