Pedro: Página creada con «== Enunciado == right Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos "0" y "2") de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros ( $A$ y $B$ ) equidistantes (distancia $L$ ) de la esquina (punto $O$ ). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante e igual a $\omega$ , con las orienta…»

2023-09-25T14:10:12Z

Página creada con «== Enunciado == right Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos "0" y "2") de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (<math>A</math> y <math>B</math>) equidistantes (distancia <math>L</math>) de la esquina (punto <math>O</math>). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante e igual a <math>\omega</math>, con las orienta…»

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== Enunciado ==
[[Imagen:F1_GIA_ventiladores_enunciado.png|right]]
Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos "0" y "2") de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros (<math>A</math> y <math>B</math>) equidistantes (distancia <math>L</math>) de la esquina (punto <math>O</math>). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante e igual a <math>\omega</math>, con las orientaciones y sentidos dados en la figura. Definido el triedro fijo <math>OXYZ</math> (sólido "1") del esquema, y considerando, como movimiento-problema, el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determina:
# Los vectores <math>\vec{\omega}_{20}</math> y <math>\vec{\alpha}_{20}</math>. Los vectores <math>\vec{v}_{20}^O</math> y <math>\vec{a}_{20}^O</math>.
# El eje instantáneo de rotación.
"'Nota:"' Se recomienda usar el triedro "1" y su base vectorial para resolver el ejercicio.

== Solución ==
===Vectores <math>\vec{\omega}_{20}</math> y <math>\vec{\alpha}_{20}</math> ===

En este problema se usa el sólido "1", en reposo absoluto, como
sólido intermedio. Es decir, usaremos la composición
<center><math>
\{20\}=\{21\}+\{10\}
</math></center>
Los datos cinemáticos proporcionados por el
enunciado son, expresados en la base del sólido "1",
<center><math>
\vec{\omega}_{01}=-\omega\,\vec{\jmath}_1\qquad\qquad\vec{\omega}_{21}=\omega\,\vec{\imath}_1
</math></center>
Podemos calcular las aceleraciones angulares derivando en el tiempo,
pues los ejes de giro de cada ventilador son permanentes
<center><math>
\vec{\alpha}_{01}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}\qquad
\vec{\alpha}_{21}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}
</math></center>
La velocidad y aceleración angulares pedidas son
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}+\vec{\omega}_{10}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}=\omega\,(\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1)\\
\\
\vec{\alpha}_{20}=\vec{\alpha}_{21}+\vec{\alpha}_{10}+\vec{\omega}_{10}\times\vec{\omega}_{21}=
\vec{\alpha}_{21}-\vec{\alpha}_{01}-\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{21}=-\omega^2\,\vec{k}_1
\end{array}
</math></center>

===Vectores <math>\vec{v}_{20}^O</math> y <math>\vec{a}_{20}^O</math> ===

Vamos a determinar la velocidad y aceleración en cada uno de los
movimientos de la composición.

==== Movimiento {01} ====
El punto <math>A</math> es un punto fijo de la rotación {01}, pues está en el eje
permanente de rotación. Entonces
<center><math>
\vec{v}_{01}^A=\vec{0}\qquad\qquad\vec{a}_{01}^A=\vec{0}
</math></center>
A partir de aquí podemos calcular <math>\vec{v}_{01}^O</math> y <math>\vec{a}_{01}^O</math>
<center><math>
\begin{array}{l}
\overrightarrow{AO}=-L\,\vec{\imath}_1 \\ \\
\vec{v}_{01}^O=\vec{v}_{01}^A+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AO}=-L\omega\,\vec{k}_1\\ \\
\vec{a}_{01}^O=\vec{a}_{01}^A+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{AO}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AO})=L\omega^2\,\vec{\imath}_1
\end{array}
</math></center>

==== Movimiento {21} ====
El punto <math>B</math> es un punto fijo de la rotación {21}, pues está en el eje
permanente de rotación. Entonces
<center><math>
\vec{v}_{21}^B=\vec{0}\qquad\qquad\vec{a}_{21}^B=\vec{0}
</math></center>
A partir de aquí podemos calcular <math>\vec{v}_{21}^O</math> y <math>\vec{a}_{21}^O</math>
<center><math>
\begin{array}{l}
\overrightarrow{BO}=-L\,\vec{\jmath}_1 \\ \\
\vec{v}_{21}^O=\vec{v}_{21}^B+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BO}=-L\omega\,\vec{k}_1\\ \\
\vec{a}_{21}^O=\vec{a}_{21}^B+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BO}+\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BO})=L\omega^2\,\vec{\jmath}_1
\end{array}
</math></center>

Ahora podemos calcular los vectores pedidos. Veamos <math>\vec{v}_{20}^O</math> en
primer lugar
<center><math>
\vec{v}_{20}^O=\vec{v}_{21}^O+\vec{v}_{10}^O=\vec{v}_{21}^O-\vec{v}_{01}^O=\vec{0}
</math></center>
Para la aceleración tenemos
<center><math>
\vec{a}_{20}^O=\vec{a}_{21}^O+\vec{a}_{10}^O+2\vec{\omega}_{10}\times\vec{v}_{21}^O
</math></center>
Aquí hay que tener cuidado, pues en general
<math>\vec{a}_{ij}\neq\vec{a}_{ji}</math>, como hemos usado en los casos anteriores. Por
ello, vamos a usar la descomposición {21}={20}+{01}
<center><math>
\begin{array}{c}
\vec{a}_{21}^O=\vec{a}_{20}^O+\vec{a}_{01}^O+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^O\Rightarrow\\ \\
\vec{a}_{20}^O =
\vec{a}_{21}^O-\vec{a}_{01}^O-2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^O=L\omega^2(-\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1)
\end{array}
</math></center>

===Eje instantáneo de rotación ===
[[Imagen:F1_GIA_ventiladores_vectores.png|right]]
Como <math>\vec{v}_{20}^O=\vec{0}</math>, el punto <math>O</math> esta en el eje. Entonces su
ecuación paramétrica es
<center><math>
\Delta_{\mathrm{EIR}}^{20}\quad\equiv\quad \overrightarrow{OI}\,=\lambda\,\vec{\omega}_{20}=\lambda\omega(\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1)
</math></center>
[[Categoría:Problemas de movimiento relativo]]

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