Dos superficies esféricas cargadas - Historial de revisiones

Antonio: /* Trabajo para mover una carga */

2025-04-13T22:33:32Z

Trabajo para mover una carga

← Revisión anterior		Revisión del 00:33 14 abr 2025
Línea 124:		Línea 124:
	El potencial, tanto en H como en B se puede calcular como en el apartado anterior		El potencial, tanto en H como en B se puede calcular como en el apartado anterior

	<center><math>W_\mathrm{in}=\frac{q_0}{4\pi\varepsilon_0}\left(\left(\frac{Q}{6b}+\frac{(-Q)}{9b}\right)-\left(\frac{Q}{6b}+\frac{(-Q)}{3b}\right)\~~righ~~)=\frac{q_0 Q}{12\pi\varepsilon_0b}</math></center>		<center><math>W_\mathrm{in}=\frac{q_0}{4\pi\varepsilon_0}\left(\left(\frac{Q}{6b}+\frac{(-Q)}{9b}\right)-\left(\frac{Q}{6b}+\frac{(-Q)}{3b}\right)\right)=\frac{q_0 Q}{12\pi\varepsilon_0b}</math></center>

	==Momento dipolar===		==Momento dipolar===

Antonio en 22:31 13 abr 2025

2025-04-13T22:31:10Z

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Línea 90:		Línea 90:

	<center><math>\vec{E}(D_2)-\vec{E}(D_1) = \frac{Q}{64\pi\varepsilon_0b^2}\vec{\jmath}</math></center>		<center><math>\vec{E}(D_2)-\vec{E}(D_1) = \frac{Q}{64\pi\varepsilon_0b^2}\vec{\jmath}</math></center>
			==Potencial eléctrico==
			De manera similar hallamos el potencial eléctrico. El debido a una efsera es igual al de una carga puntual en su exterior y es constante en el interior. No es preciso distinguir entre puntos a un lado y a otro de la superficie porque el potencial es una función continua.
			===En el punto O===
			Aplicando el potencial interior para la esfera de carga positiva y el exterior para la negativa resulta

			<center><math>V_O=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{4b}+\frac{(-Q)}{3b}\right)=-\frac{Q}{48\pi\varepsilon_0b}</math></center>

			===En el punto A===
			Aplicamos la expresión para el interior de ambas esferas.

			<center><math>V_A=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{4b}+\frac{(-Q)}{2b}\right)=-\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0b}</math></center>

			===En el punto B===
			Aplicamos, como en A la expresión para el interior de las dos esferas

			<center><math>V_B=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{4b}+\frac{(-Q)}{2b}\right)=-\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0b}</math></center>

			===En el punto C===
			De manera análoga a los dos anteriores

			<center><math>V_C=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{4b}+\frac{(-Q)}{2b}\right)=-\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0b}</math></center>

			===En el punto D===
			En este caso tenemos el interior de la esfera de carga positiva y el exterior de la negativa

			<center><math>V_B=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{4b}+\frac{(-Q)}{5b}\right)=\frac{Q}{80\pi\varepsilon_0b}</math></center>

			==Trabajo para mover una carga==
			El trabajo lo podemos hallar como

			<center><math>W_\mathrm{in}=q_0(V_H-V_G)\,</math></center>

			El potencial, tanto en H como en B se puede calcular como en el apartado anterior

			<center><math>W_\mathrm{in}=\frac{q_0}{4\pi\varepsilon_0}\left(\left(\frac{Q}{6b}+\frac{(-Q)}{9b}\right)-\left(\frac{Q}{6b}+\frac{(-Q)}{3b}\right)\righ)=\frac{q_0 Q}{12\pi\varepsilon_0b}</math></center>

			==Momento dipolar===
			En el exterior de ambas esferas, las dos se ven como cargas puntuales. El momento dipolar es el que corresponde a dos cargas puntuales, cada una en el centro de la esfera correspondiente.

			<center><math>\vec{p}=Q\vec{0}+(-Q)(3b\vec{\imath})=-3Qb \vec{\imath}</math></center>

Antonio en 19:15 13 abr 2025

2025-04-13T19:15:37Z

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Línea 49:		Línea 49:

	siendo <math>\sigma_s</math> la densidad superficial de carga de la esfera.		siendo <math>\sigma_s</math> la densidad superficial de carga de la esfera.

			===En el punto C===
			====En ''C''<sub>1</sub>====
			Este punto se encuentra, como A, dentro de ambas esferas. Por tanto,

			<center><math>\vec{E}_{C_1}=\vec{E}_{C_11}+\vec{E}_{C_2}=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}</math></center>
			====En ''C''<sub>2</sub>====
			Este punto se encuentra dentro de la esfera negativa, pero fuera de la positiva, a una distancia <math>4b</math> de su centro

			<center><math>\vec{E}_{C_2}=\vec{E}_{C_21}+\vec{E}_{C_12}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{(4b)^2}(\vec{\imath})+\vec{0}=\frac{Q}{64\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}</math></center>

			====Discontinuidad del campo====
			El campo presenta una discontinuidad

			<center><math>\vec{E}(C_2) - \vec{E}(C_1) = \frac{Q}{64\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}-\vec{0} = \frac{Q}{64\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}</math></center>

			===En el punto D===
			====En el punto ''D''<sub>1<sub>====
			Este punto está en el interior de la esfera positiva y el exterior de la negativa. Para hallar el campo debido a la esfera de carga negativa usamos la expresión general para el campo de una carga puntual

			<center><math>\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q(\vec{r}-\vec{r}_0)}{\|\vec{r}-\vec{r}_0\|^3}</math></center>

			siendo, en este caso

			<center><math>\vec{r}=4b\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{r}_0=3b\vec{\imath}</math></center>

			<center><math>\vec{r}-\vec{r}_0=-3b\vec{\imath}+4b\vec{\jmath}\qquad\qquad \|\vec{r}-\vec{r}_0\|=5b</math></center>

			lo que nos da

			<center><math>\vec{E}_{D_1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-Q)(-3b\vec{\imath}+4b\vec{\jmath})}{(5b)^3}=\frac{Q(3\vec{\imath}-4\vec{\jmath})}{500\pi\varepsilon_0b^2}</math></center>

			====En el punto ''D''<sub>2<sub>====
			En este punto la contribución de la esfera negativa es la misma que en el anterior, pero ahor además hay un campo no nulo de la esfera de carga positiva

			<center><math>\vec{E}_{D_1}=\frac{Q}{64\pi\varepsilon_0b^2}\vec{\jmath}+\frac{Q(3\vec{\imath}-4\vec{\jmath})}{500\pi\varepsilon_0b^2}</math></center>

			====Discontinuidad====
			La discontinuidad es debida exclusivamente a la esfera positiva

			<center><math>\vec{E}(D_2)-\vec{E}(D_1) = \frac{Q}{64\pi\varepsilon_0b^2}\vec{\jmath}</math></center>

Antonio en 16:07 13 abr 2025

2025-04-13T16:07:17Z

← Revisión anterior		Revisión del 18:07 13 abr 2025
Línea 21:		Línea 21:
	El origen de coordenadas se halla en el interior de la esfera positiva y el exterior de la negativa. Se halla a 3 unidades del centro de esta esfera y en O el vector unitario radial hacia fuera de la esfera es <math>-\vec{\imath}</math>. Por tanto		El origen de coordenadas se halla en el interior de la esfera positiva y el exterior de la negativa. Se halla a 3 unidades del centro de esta esfera y en O el vector unitario radial hacia fuera de la esfera es <math>-\vec{\imath}</math>. Por tanto

	<center><math>\vec{E}_O=\vec{E}_{O1}+\vec{E}_{O2}=\vec{0}+\frac{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-Q)}{(3b)^2}(-\vec{\imath})=\frac{Q}{36\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}</math></center>		<center><math>\vec{E}_O=\vec{E}_{O1}+\vec{E}_{O2}=\vec{0}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-Q)}{(3b)^2}(-\vec{\imath})=\frac{Q}{36\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}</math></center>

	===En el punto A===		===En el punto A===
Línea 32:		Línea 32:
	Este punto se encuentra, como O, dentro de una esfera y fuera de la otra, pero a una distancia 2''b'' del centro de ésta. Por tanto,		Este punto se encuentra, como O, dentro de una esfera y fuera de la otra, pero a una distancia 2''b'' del centro de ésta. Por tanto,

	<center><math>\vec{E}_{B_1}=\vec{E}_{B_11}+\vec{E}_{B_12}=\vec{0}+\frac{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-Q)}{(2b)^2}(-\vec{\imath})=\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}</math></center>		<center><math>\vec{E}_{B_1}=\vec{E}_{B_11}+\vec{E}_{B_12}=\vec{0}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-Q)}{(2b)^2}(-\vec{\imath})=\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}</math></center>

	====En ''B''<sub>2</sub>====		====En ''B''<sub>2</sub>====

Antonio en 16:06 13 abr 2025

2025-04-13T16:06:33Z

← Revisión anterior		Revisión del 18:06 13 abr 2025
Línea 21:		Línea 21:
	El origen de coordenadas se halla en el interior de la esfera positiva y el exterior de la negativa. Se halla a 3 unidades del centro de esta esfera y en O el vector unitario radial hacia fuera de la esfera es <math>-\vec{\imath}</math>. Por tanto		El origen de coordenadas se halla en el interior de la esfera positiva y el exterior de la negativa. Se halla a 3 unidades del centro de esta esfera y en O el vector unitario radial hacia fuera de la esfera es <math>-\vec{\imath}</math>. Por tanto

	<center><math>\vec{E}_O=\vec{E}_{O1}+\vec{E}_{O2}=\vec{0}+\frac{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-Q)}{(3b)^2}(-\vec{\imath}}=\frac{Q}{36\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}</math></center>		<center><math>\vec{E}_O=\vec{E}_{O1}+\vec{E}_{O2}=\vec{0}+\frac{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-Q)}{(3b)^2}(-\vec{\imath})=\frac{Q}{36\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}</math></center>

	===En el punto A===		===En el punto A===
Línea 32:		Línea 32:
	Este punto se encuentra, como O, dentro de una esfera y fuera de la otra, pero a una distancia 2''b'' del centro de ésta. Por tanto,		Este punto se encuentra, como O, dentro de una esfera y fuera de la otra, pero a una distancia 2''b'' del centro de ésta. Por tanto,

	<center><math>\vec{E}_{B_1}=\vec{E}_{B_11}+\vec{E}_{B_12}=\vec{0}+\frac{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-Q)}{(2b)^2}(-\vec{\imath}}=\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}</math></center>		<center><math>\vec{E}_{B_1}=\vec{E}_{B_11}+\vec{E}_{B_12}=\vec{0}+\frac{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-Q)}{(2b)^2}(-\vec{\imath})=\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}</math></center>

	====En ''B''<sub>2</sub>====		====En ''B''<sub>2</sub>====

Antonio en 16:05 13 abr 2025

2025-04-13T16:05:32Z

Antonio en 16:04 13 abr 2025

2025-04-13T16:04:45Z

@@ Línea 5: / Línea 5: @@
 # Calcule el campo eléctrico en los siguientes puntos del plano OXY:
-## El origen de coordenadas O(0,0)
+## El origen de coordenadas <math>O(0,0)</math>
-## El centro de la esfera “2” A(3b,0)
+## El centro de la esfera “2” <math>A(3b,0)</math>
-## El punto B_1 (b^-,0) situado justo fuera de la esfera “2” y el punto B_2 (b^+,0) situado justo dentro de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
+## El punto <math>B_1(b^-,0)</math> situado justo fuera de la esfera “2” y el punto <math>B_2(b^+,0)</math> situado justo dentro de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
-## El punto C_1 (4b^-,0) situado justo dentro de la esfera “1” y el punto C_2 (4b^+,0) situado justo fuera de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
+## El punto <math>C_1(4b^-,0)</math> situado justo dentro de la esfera “1” y el punto <math>C_2(4b^+,0)</math> situado justo fuera de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
-## El punto D_1 (0,4b^- ) situado justo dentro de la esfera “1” y el punto D_2 (0,4b^+ ) situado justo fuera de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
+## El punto <math>D_1(0,4b^-)</math> situado justo dentro de la esfera “1” y el punto <math>D_2(0,4b^+)</math> situado justo fuera de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
 # Calcule el potencial eléctrico en los puntos anteriores, tomando como origen de potencial el infinito.
-# Halle el trabajo necesario para llevar una carga puntual q_0 desde el punto G(6b,0) al punto H(-6b,0) siguiendo un camino rectilíneo.
+# Halle el trabajo necesario para llevar una carga puntual <math>q_0</math> desde el punto <math>G(6b,0)</math> al punto <math>H(-6b,0)</math> siguiendo un camino rectilíneo.
 # En puntos alejados del sistema, éste se ve como un dipolo eléctrico. ¿Cuál es el momento dipolar de la distribución?

Antonio: Página creada con «==Enunciado== Se tiene un sistema formado por dos superficies esféricas cargadas (“1” y “2”), de radios 4''b'' y 2''b'', respectivamente. La superficie “2” se encuentra parcialmente en el interior de la “1”, centrada a una distancia 3b del centro de la “1”, punto que tomamos como origen de coordenadas. La superficie “1” almacena una carga +''Q'' y la “2” una carga −''Q'', ambas distribuidas uniformemente sobre cada superficie Arch…»

2025-04-13T15:29:05Z

Página creada con «==Enunciado== Se tiene un sistema formado por dos superficies esféricas cargadas (“1” y “2”), de radios 4''b'' y 2''b'', respectivamente. La superficie “2” se encuentra parcialmente en el interior de la “1”, centrada a una distancia 3b del centro de la “1”, punto que tomamos como origen de coordenadas. La superficie “1” almacena una carga +''Q'' y la “2” una carga −''Q'', ambas distribuidas uniformemente sobre cada superficie Arch…»

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==Enunciado==
Se tiene un sistema formado por dos superficies esféricas cargadas (“1” y “2”), de radios 4''b'' y 2''b'', respectivamente. La superficie “2” se encuentra parcialmente en el interior de la “1”, centrada a una distancia 3b del centro de la “1”, punto que tomamos como origen de coordenadas. La superficie “1” almacena una carga +''Q'' y la “2” una carga −''Q'', ambas distribuidas uniformemente sobre cada superficie

[[Archivo:dos-superficies-esfericas-01.png|500px|center]]

# Calcule el campo eléctrico en los siguientes puntos del plano OXY:
## El origen de coordenadas O(0,0)
## El centro de la esfera “2” A(3b,0)
## El punto B_1 (b^-,0) situado justo fuera de la esfera “2” y el punto B_2 (b^+,0) situado justo dentro de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
## El punto C_1 (4b^-,0) situado justo dentro de la esfera “1” y el punto C_2 (4b^+,0) situado justo fuera de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
## El punto D_1 (0,4b^- ) situado justo dentro de la esfera “1” y el punto D_2 (0,4b^+ ) situado justo fuera de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
# Calcule el potencial eléctrico en los puntos anteriores, tomando como origen de potencial el infinito.
# Halle el trabajo necesario para llevar una carga puntual q_0 desde el punto G(6b,0) al punto H(-6b,0) siguiendo un camino rectilíneo.
# En puntos alejados del sistema, éste se ve como un dipolo eléctrico. ¿Cuál es el momento dipolar de la distribución?

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Línea 21:		Línea 21:
	El origen de coordenadas se halla en el interior de la esfera positiva y el exterior de la negativa. Se halla a 3 unidades del centro de esta esfera y en O el vector unitario radial hacia fuera de la esfera es <math>-\vec{\imath}</math>. Por tanto		El origen de coordenadas se halla en el interior de la esfera positiva y el exterior de la negativa. Se halla a 3 unidades del centro de esta esfera y en O el vector unitario radial hacia fuera de la esfera es <math>-\vec{\imath}</math>. Por tanto

	<center><math>\vec{E}_O=\vec{E}_{O1}+\vec{E}_{O2}=\vec{0}+\frac{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-Q)}{(3b)^2}(-\vec{\imath}}=\frac{Q}{36\pi\~~varrepsilon_0~~ b^2}\vec{\imath}</math></center>		<center><math>\vec{E}_O=\vec{E}_{O1}+\vec{E}_{O2}=\vec{0}+\frac{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-Q)}{(3b)^2}(-\vec{\imath}}=\frac{Q}{36\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}</math></center>

	===En el punto A===		===En el punto A===
Línea 32:		Línea 32:
	Este punto se encuentra, como O, dentro de una esfera y fuera de la otra, pero a una distancia 2''b'' del centro de ésta. Por tanto,		Este punto se encuentra, como O, dentro de una esfera y fuera de la otra, pero a una distancia 2''b'' del centro de ésta. Por tanto,

	<center><math>\vec{E}_{B_1}=\vec{E}_{B_11}+\vec{E}_{B_12}=\vec{0}+\frac{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-Q)}{(2b)^2}(-\vec{\imath}}=\frac{Q}{16\pi\~~varrepsilon_0~~ b^2}\vec{\imath}</math></center>		<center><math>\vec{E}_{B_1}=\vec{E}_{B_11}+\vec{E}_{B_12}=\vec{0}+\frac{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(-Q)}{(2b)^2}(-\vec{\imath}}=\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}</math></center>

	====En ''B''<sub>2</sub>====		====En ''B''<sub>2</sub>====
Línea 42:		Línea 42:
	Como vemos, en la superfice de la esfera, el campo presenta una discontinuidad igual a		Como vemos, en la superfice de la esfera, el campo presenta una discontinuidad igual a

	<center><math>\vec{E}(B_2) - \vec{E}(B_1) = \vec{0}-\frac{Q}{16\pi\~~varrepsilon_0~~ b^2}\vec{\imath} = -\frac{Q}{16\pi\~~varrepsilon_0~~ b^2}\vec{\imath}</math></center>		<center><math>\vec{E}(B_2) - \vec{E}(B_1) = \vec{0}-\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath} = -\frac{Q}{16\pi\varepsilon_0 b^2}\vec{\imath}</math></center>

	Este salto se puede escribir como		Este salto se puede escribir como

	<center><math>\vec{E}(B_2) - \vec{E}(B_1) = \frac{(-Q)/(4\pi(2b)^2)}{\~~varrepsilon_0~~}\vec{\imath}=\frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}\vec{\imath}</math></center>		<center><math>\vec{E}(B_2) - \vec{E}(B_1) = \frac{(-Q)/(4\pi(2b)^2)}{\varepsilon_0}\vec{\imath}=\frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}\vec{\imath}</math></center>

	siendo <math>\sigma_s</math> la densidad superficial de carga de la esfera.		siendo <math>\sigma_s</math> la densidad superficial de carga de la esfera.