Antonio: /* Solución */

2025-03-03T09:24:19Z

Solución

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	El trabajo necesario para extraer el calor es la suma de los de los dos refrigeradores		El trabajo necesario para extraer el calor es la suma de los de los dos refrigeradores

	<center><math>W_\mathrm{in}=W_\mathrm{in1}+W_\mathrm{in2}=\frac{Q_\mathrm{in}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)Q_\mathrm{in}=\left(\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)\right)</math></center>		<center><math>W_\mathrm{in}=W_\mathrm{in1}+W_\mathrm{in2}=\frac{Q_\mathrm{in}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)Q_\mathrm{in}=</math><math>\left(\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)\right)Q_\mathrm{in}</math></center>

	Puesto que		Puesto que

Antonio: Página creada con «==Enunciado== Para conseguir refrigerar a muy bajas temperaturas se colocan dos refrigeradores en serie. El primero, que tiene un $\mathrm{COP}_\mathrm{R1}$ extrae el calor de la sustancia desde la temperatura $T_F$ hasta una temperatura intermedia $T_M$ . El segundo, que tiene un $\mathrm{COP}_\mathrm{R2}$ toma el calor desde $T_M$ y lo expulsa al ambiente a $T_C$ . ¿Cuánto vale el $\mathrm{COP}_\…»$

2025-03-03T09:23:22Z

Página creada con «==Enunciado== Para conseguir refrigerar a muy bajas temperaturas se colocan dos refrigeradores en serie. El primero, que tiene un <math>\mathrm{COP}_\mathrm{R1}</math> extrae el calor de la sustancia desde la temperatura <math>T_F</math> hasta una temperatura intermedia <math>T_M</math>. El segundo, que tiene un <math>\mathrm{COP}_\mathrm{R2}</math> toma el calor desde <math>T_M</math> y lo expulsa al ambiente a <math>T_C</math>. ¿Cuánto vale el <math>\mathrm{COP}_\…»

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==Enunciado==
Para conseguir refrigerar a muy bajas temperaturas se colocan dos refrigeradores en serie. El primero, que tiene un <math>\mathrm{COP}_\mathrm{R1}</math> extrae el calor de la sustancia desde la temperatura <math>T_F</math> hasta una temperatura intermedia <math>T_M</math>. El segundo, que tiene un <math>\mathrm{COP}_\mathrm{R2}</math> toma el calor desde <math>T_M</math> y lo expulsa al ambiente a <math>T_C</math>. ¿Cuánto vale el <math>\mathrm{COP}_\mathrm{R}</math> del conjunto?
Supongamos el caso particular <math>\mathrm{COP}_\mathrm{R1}=4</math> y <math>\mathrm{COP}_\mathrm{R2}=3</math>. Si el segundo refrigerador consume 1 kW de potencia eléctrica, ¿cuánto consume el conjunto? ¿Cuánto calor extrae de la sustancia y cuánto expulsa al ambiente?
==Solución==
El coeficiente de desempeño de un refrigerador se define como

<center><math>\mathrm{COP}_\mathrm{R}=\frac{Q_\mathrm{in}}{W_\mathrm{in}}</math></center>

De aquí obtenemos que el trabajo necesario para hacer funcionar el primer refrigerador es

<center><math>W_\mathrm{in1}=\frac{Q_\mathrm{in}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}</math></center>

El calor de salida de este refrigerador es el de entrada más este trabajo

<center><math>Q_\mathrm{out2}=Q_\mathrm{in}+W_\mathrm{in1}=\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)Q_\mathrm{in}</math></center>

Este calor es el que entra en el segundo refrigerador. Para extraerlo se requiere un trabajo

<center><math>W_\mathrm{in2}=\frac{Q_\mathrm{in2}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}=\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)Q_\mathrm{in}</math></center>

El trabajo necesario para extraer el calor es la suma de los de los dos refrigeradores

<center><math>W_\mathrm{in}=W_\mathrm{in1}+W_\mathrm{in2}=\frac{Q_\mathrm{in}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)Q_\mathrm{in}=\left(\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)\right)</math></center>

Puesto que

<center><math>W_\mathrm{in}=\frac{Q_\mathrm{in}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R}}</math></center>

llegamos a que el coeficiente de desempeño del conjunto satisface

<center><math>\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R}}=\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)=\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\,\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}</math></center>

Si sumamos las fracciones obtenemos finalmente

<center><math>\mathrm{COP}_\mathrm{R}=\frac{\mathrm{COP}_\mathrm{R1} \mathrm{COP}_\mathrm{R2}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}+\mathrm{COP}_\mathrm{R2} + 1}</math></center>

En el caso particular <math>\mathrm{COP}_\mathrm{R1}=4</math> y <math>\mathrm{COP}_\mathrm{R2}=3</math>, el coeficiente del conjunto vale

<center><math>\mathrm{COP}_\mathrm{R} = \frac{4\cdot 3}{4+3+1}=1.5</math></center>

Puede demostrarse que el coeficiente de desempeño de la asociación es siempre menor que cada uno de ellos por separado y que si uno de los refrigeradores no funciona (<math>\mathrm{COP}_{\mathrm{R}i}=0</math>), la asociación tampoco lo hace.

Para el caso de que el segundo refrigerador consuma 1 kW tenemos que el calor que extrae es

<center><math>1\,\mathrm{kW}=\dot{W}_\mathrm{in2}=\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)\dot{Q}_\mathrm{in} = \frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{4}\right)\dot{Q}_\mathrm{in}=\frac{5}{12}\dot{Q}_\mathrm{in}
</math></center>

<center><math>\dot{Q}_\mathrm{in} = \frac{12}{5}\,\mathrm{kW}= 2.4\,\mathrm{kW}</math></center>

La potencia consumida por el primer refrigerador es entonces

<center><math>\dot{W}_\mathrm{in}=\frac{\dot{Q}_\mathrm{in}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}=\frac{2.4\,\mathrm{kW}}{4}=0.6\,\mathrm{kW}</math></center>

La potencia que consume el conjunto vale

<center><math>\dot{W}_\mathrm{in}=\dot{W}_\mathrm{in1}+\dot{W}_\mathrm{in2} = 0.6\,\mathrm{kW}+1.0\,\mathrm{kW}=1.6\,\mathrm{kW}</math></center>

y el flujo de calor al ambiente es

<center><math>\dot{Q}_\mathrm{out2}=\dot{Q}_\mathrm{in}+\dot{W}_\mathrm{in}=2.4\,\mathrm{kW}+1.6\mathrm{kW}=4.0\,\mathrm{kW}</math></center>

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