Pedro: Página creada con «==Enunciado== Hallar la menor distancia entre las rectas $\Delta(A,B)$ y $\Gamma(C,D)$ , y determinar el vector (segmento orientado) de menor módulo que une ambas rectas. Las coordenadas cartesianas de los puntos que definen dichas rectas vienen dadas por las ternas $A(1,-2,-1)$ y $B(4,0,-3)$ , para el caso de $\Delta$ , y $C(1,2,-1)$ y $D(2,-4,-5)$ , para la recta $\Gamma.$ == Soluc…»

2023-09-26T09:37:19Z

Página creada con «==Enunciado== Hallar la menor distancia entre las rectas <math>\Delta(A,B)</math> y <math>\Gamma(C,D)</math>, y determinar el vector (segmento orientado) de menor módulo que une ambas rectas. Las coordenadas cartesianas de los puntos que definen dichas rectas vienen dadas por las ternas <math>A(1,-2,-1)</math> y <math>B(4,0,-3)</math>, para el caso de <math>\Delta</math>, y <math>C(1,2,-1)</math> y <math>D(2,-4,-5)</math>, para la recta <math>\Gamma.</math> == Soluc…»

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==Enunciado==
Hallar la menor distancia entre las rectas <math>\Delta(A,B)</math> y <math>\Gamma(C,D)</math>, y determinar el vector (segmento orientado) de menor módulo que une ambas rectas. Las coordenadas cartesianas de los puntos que definen dichas rectas vienen dadas por las ternas <math>A(1,-2,-1)</math> y <math>B(4,0,-3)</math>, para el caso de <math>\Delta</math>, y <math>C(1,2,-1)</math> y <math>D(2,-4,-5)</math>, para la recta <math>\Gamma.</math>

== Solución ==
Podemos construir un plano que sea paralelo a las dos rectas y que
contenga a una de ellas, por ejemplo <math>\Delta</math>. El vector normal a este plano debe ser
perpendicular a las dos rectas. Por tanto podemos escoger el producto
vectorial de los vectores que definen las rectas
<center><math>
\vec{a} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD} =
\left|
\begin{array}{ccc}
\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}\\
3 & 2 &-2\\
1 & -6 & -4
\end{array}
\right|=-20\vec{\imath}+10\vec{\jmath}-20\vec{k}
</math></center>

Ahora bien, todos los puntos de la recta <math>\Gamma</math> están a la misma
distancia de este plano, entre ellos el más cercano a la recta
<math>\Delta</math>. Por tanto la distancia entre las dos rectas es la distancia
de la recta <math>\Gamma</math> a este plano. Pero vimos en el problema anterior
que la distancia de un punto a un plano es la proyección sobre el
vector perpendicular al plano de un vector con un extremo en el punto
y otro en el plano. Como nos vale cualquier punto de la recta <math>\Gamma</math>
y cualquier punto del plano, podemos escoger como vector el
<math>\overrightarrow{CA}</math>. Así pues, la distancia entre las dos rectas es
<center><math>
d(\Delta,\Gamma) = \dfrac{{\overrightarrow{CA}}\cdot{\vec{a}}}{|\vec{a}|}
=
\dfrac{{\overrightarrow{CA}}\cdot({\overrightarrow{AB}\times{\overrightarrow{CD}})}}{|\overrightarrow{AB}\times{\overrightarrow{CD}|}}
= -\dfrac{4}{3}
</math></center>
El signo menos aparece por la orientación escogida de los vectores. La
distancia es simplemente el valor absoluto,
<center><math>
d(\Delta,\Gamma) = \dfrac{4}{3}\,\mathrm{m}
</math></center>
El vector de menor módulo que une las dos rectas es el que tiene la
dirección de <math>\vec{a}</math> con módulo 4/3, es decir
<center><math>
\vec{n} = \dfrac{4}{3}\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=
-\dfrac{8}{9}\vec{\imath}+\dfrac{4}{9}\vec{\jmath}-\dfrac{8}{9}\vec{k}
</math></center>

== Cálculo de los puntos más próximos ==
Para determinar los puntos de las rectas <math>\Delta</math> y <math>\Gamma</math> que une
este vector podemos hacer lo siguiente. Un punto genérico de estas
rectas es
<center>
<math>
\begin{array}{lll}
\overrightarrow{OP}_{\Delta} = \overrightarrow{OA} + \delta\overrightarrow{AB} =
\left\{
\begin{array}{l}
x=1 + 3\delta\\
y=-2+2\delta\\
z=-1-2\delta
\end{array}
\right.&&
\overrightarrow{OP}_{\Gamma} = \overrightarrow{OC} + \gamma\overrightarrow{CD} =
\left\{
\begin{array}{l}
x=1 + \gamma\\
y=2-6\gamma\\
z=-1-4\gamma
\end{array}
\right.
\end{array}
</math>
</center>
Así pues, el vector que une dos puntos cualquiera de las rectas es
<center><math>
\overrightarrow{P_{\Delta}P_{\Gamma}} =
(\gamma-3\delta)\vec{\imath} +
(4-6\gamma-2\delta)\vec{\jmath}+(-4\gamma+2\delta)\vec{k}
</math></center>
Los puntos <math>P^*_{\Delta}</math> y <math>P^*_{\Gamma}</math> que están mas cerca uno de otro son tales que el vector <math>\overrightarrow{P^*_{\Delta}P^*_{\Gamma}}</math> es paralelo a <math>\vec{n}</math>.
Imponiendo esta condición nos queda un
sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas
<center><math>
\vec{n}\times \overrightarrow{P^*_{\Delta}P^*_{\Gamma}} = \vec{0}
\Longrightarrow
\begin{array}{l}
9\gamma-27\delta + 8 =0\\
54\gamma+18\delta - 32 =0\\
36\gamma-18\delta - 8 =0
\end{array}
</math></center>
El determinante de este sistema es nulo, lo cual indica que una de las
ecuaciones es combinación lineal de las otras dos. Eliminando una de
ellas y resolviendo el sistema se obtiene
<center><math>
\gamma=\delta=4/9
</math></center>
Sustituyendo obtenemos los puntos de las rectas
unidos por el vector de menor módulo, <math>\vec{n}</math>
<center>
<math>
\begin{array}{lll}
P_{\Delta} = (7/3,-10/9,-17/9)&&
P_{\Gamma} = (13/9,-2/3,-25/9)
\end{array}
</math>
</center>

===Método alternativo de resolución===

Otra forma de atacar el problema es utilizar directamente la expresión que da la forma
general de un vector que uno dos puntos cualesquiera de las rectas en función de dos parámetros. El vector
pedido en el enunciado es aquel cuyo módulo es mínimo, es decir, hemos de exigir
<center><math>
|\overrightarrow{P_{\Delta}P_{\Gamma}}|\quad\mathrm{minimo}\Rightarrow |\overrightarrow{P_{\Delta}P_{\Gamma}}|^2\quad\mathrm{minimo}
</math></center>
Esto es, hay que encontrar un mínimo de la función de dos variables
<center><math>
f(\delta,\gamma)=|\overrightarrow{P_{\Delta}P_{\Gamma}}|^2 = (3\delta-\gamma)^2+(2\delta+6\gamma-4)^2+(4\gamma-2\delta)^2=
16-16\delta+17\delta^2-48\gamma+53\gamma^2+2\delta\gamma
</math></center>
La condición para encontrar un mínimo es que las derivadas parciales respecto a los parámetros se anulen.
Es decir
<center><math>
\left.
\begin{array}{l}
\frac{\displaystyle\partial f}{\displaystyle\partial\delta}=34\delta+2\gamma-16=0\\ \\
\frac{\displaystyle\partial f}{\displaystyle\partial\gamma}=2\delta+106\gamma-48=0
\end{array}
\right.
</math></center>
Resolviendo este sistema de dos ecuaciones para dos incógnitas encontramos que el valor de los parámetros
para el cual la distancia entre los puntos de la recta es mínima son
<center><math>
\delta=\gamma=\dfrac{4}{9}
</math></center>
Vemos que son los mismos valores que hallamos con el método anterior, como es lógico. A partir de aquí
obtendríamos el vector buscado sustituyendo los valores en las rectas para obtener los puntos y unirlos con
el vector buscado.

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Distancia mínima entre dos rectas - Historial de revisiones