Antonio: Página creada con «==Enunciado== Sea un cubo de arista ''b'' siendo ''O'' uno de sus vértices. ¿Cuánto mide la distancia de ''O'' al plano definido por sus tres vértices contiguos? 240px ==Solución== La distancia de un punto ''O'' a un plano es $d =\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}$ Siendo $\vec{n}$ un vector normal al plano. Si lo que conocemos son tres puntos del plano, A, B y C…»

2023-09-22T11:56:30Z

Página creada con «==Enunciado== Sea un cubo de arista ''b'' siendo ''O'' uno de sus vértices. ¿Cuánto mide la distancia de ''O'' al plano definido por sus tres vértices contiguos? <center>240px</center> ==Solución== La distancia de un punto ''O'' a un plano es <center><math>d =\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}</math></center> Siendo <math>\vec{n}</math> un vector normal al plano. Si lo que conocemos son tres puntos del plano, A, B y C…»

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==Enunciado==
Sea un cubo de arista ''b'' siendo ''O'' uno de sus vértices. ¿Cuánto mide la distancia de ''O'' al plano definido por sus tres vértices contiguos?

<center>[[Archivo:cubo-plano.png|240px]]</center>

==Solución==
La distancia de un punto ''O'' a un plano es

<center><math>d =\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}</math></center>

Siendo <math>\vec{n}</math> un vector normal al plano. Si lo que conocemos son tres puntos del plano, A, B y C, podemos hallar un vector normal mediante el producto vectorial de dos vectores tangentes

<center><math>\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}</math></center>

En este caso, los tres puntos del plano son

<center><math>\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}\qquad\qquad \overrightarrow{OB}=b\vec{\jmath}\qquad\qquad \overrightarrow{OC}=b\vec{k}</math></center>

lo que nos da los vectores de posición relativa

<center><math>\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=b\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=b\left(-\vec{\imath}+\vec{k}\right)</math></center>

y el vector normal

<center><math>\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}&\vec{\jmath}&\vec{k}\\ -b & b & 0\\ -b & 0 & b\end{matrix}\right|=b^2\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\right)</math></center>

con módulo

<center><math>\left|\vec{n}\right|=b^2\sqrt{3}</math></center>

Por tanto la distancia buscada mide

<center><math>d=\frac{(b\vec{\imath})\cdot\left(b^2\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\right)\right)}{b^2\sqrt{3}}=\frac{b}{\sqrt{3}}=\frac{b\sqrt{3}}{3}</math></center>

Esta distancia no es la mitad de la diagonal cúbica, sino la tercera parte.

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