Pedro: Página creada con «== Enunciado == right El sistema de la figura está formado por una varilla $AB$ de longitud $l$ (sólido "0"), cuyo extremo $A$ está fijado en el eje vertical $O_1Z_1$ , a una altura $R$ sobre el plano horizontal fijo $O_1X_1Y_1$ (sólido "1"). La varilla $AB$ gira alrededor de $O_1Z_1$ con una velocidad angular constante $\…»$

2023-09-25T13:47:03Z

Página creada con «== Enunciado == right El sistema de la figura está formado por una varilla <math>AB</math> de longitud <math>l</math> (sólido "0"), cuyo extremo <math>A</math> está fijado en el eje vertical <math>O_1Z_1</math>, a una altura <math>R</math> sobre el plano horizontal fijo <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido "1"). La varilla <math>AB</math> gira alrededor de <math>O_1Z_1</math> con una velocidad angular constante <math>\…»

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== Enunciado ==
[[Imagen:F1_Sep_11_12_disco_varilla_enunciado.png|right]]
El sistema de la figura está formado por una varilla <math>AB</math> de longitud <math>l</math> (sólido "0"), cuyo
extremo <math>A</math> está fijado en el eje vertical <math>O_1Z_1</math>, a una altura <math>R</math> sobre el plano horizontal fijo
<math>O_1X_1Y_1</math> (sólido "1"). La varilla <math>AB</math> gira alrededor de <math>O_1Z_1</math> con una velocidad angular
constante <math>\Omega</math>, permaneciendo siempre perpendicular a dicho eje vertical fijo. El extremo <math>B</math>
del sólido "0" está articulado al centro de un disco de radio <math>R</math> (sólido "2"), de modo que la
varilla es siempre perpendicular al disco. El disco gira con una velocidad angular constante
<math>\omega</math>, coincidiendo su eje de giro con la varilla.
#Caracteriza los movimientos {01}, {20} y {21} (reducciones cinemáticas).
#Obtén la expresión de la velocidad <math>\vec{v}^C_{21}</math> del punto de contacto del disco con el plano fijo <math>O_1X_1Y_1</math>, (punto <math>C</math>) en término de los datos del problema. ¿Qué relación debe existir entre las velocidades angulares <math>\omega</math> y <math>\Omega</math> para que el disco ruede sin deslizar sobre el plano?
#Obtén las expresiones de la aceleración angular del movimiento {21} y de la aceleración <math>\vec{a}^B_{21}</math> del centro del disco (punto <math>B</math>). Calcula la aceleración del punto de contacto <math>C</math> perteneciente al disco cuando éste rueda sin deslizar sobre el plano <math>O_1X_1Y_1</math>.

== Solución ==

=== Reducciones cinemáticas===

==== Movimiento {01}====
Es una rotación de eje permanente. El eje de rotación es <math>O_1Z_1 </math>. Reduciendo en el punto <math>O_1 </math> tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^{\,O_1}_{01} = \vec{0}\qquad\qquad \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_1 = \Omega\,\vec{k}_0
</math>
</center>

==== Movimiento {20}====
El centro del disco pertenece siempre a los dos sólidos "2" y "0". Por tanto es un punto fijo del movimiento. La velocidad angular es <math>\omega </math>, dirigida a lo largo de la varilla. Reduciendo en el punto <math>B </math> tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0}\qquad\qquad \vec{\omega}_{20} = \omega\,\vec{\imath}_ 0
</math>
</center>

==== Movimiento {21} ====
Expresamos este movimiento como la composición
<center>
<math>
\{21\} = \{20\} + \{01\}
</math>
</center>
La velocidad angular es
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0
</math>
</center>
La velocidad en el punto <math>B </math> es
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,B}_{20} + \vec{v}^{\,B}_{01}
</math>
</center>
Para obtener <math>\vec{v}^{\,B}_{01} </math> usamos la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{01} = \vec{v}^{\,O_1}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B}
= \vec{0} + (\Omega\,\vec{k}_0) \times (l\,\vec{\imath}_0 + R\,\vec{k}_0)
= l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0
</math>
</center>
Por tanto la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto <math>B </math> es
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{21} = l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0 \qquad\qquad \vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0
</math>
</center>

=== Velocidad del punto de contacto===
Obtenemos <math>\vec{v}^{\,C}_{21} </math> usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} para relacionarla con <math>\vec{v}^{\,B}_{21} </math>
<center>
<math>
\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{v}^{\,B}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC}
=l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0 + (\omega\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0)\times(-R\,\vec{k}_0)
= (l\,\Omega+R\,\omega)\,\vec{\jmath}_0
</math>
</center>
Para que no deslice debe ocurrir
<center>
<math>
\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{0} \Longrightarrow l\,\Omega+R\,\omega = 0
</math>
</center>

=== Aceleraciones===

Obtenemos <math>\vec{a}^{\,B}_{21} </math> usando la composición de movimientos {21} = {20} + {01}
<center>
<math>
\vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{a}^{\,B}_{20} + \vec{a}^{\,B}_{01} + 2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
</math>
</center>
Veamos cada una de los términos.

El primer término es nulo, pues el punto <math>B </math> pertenece a la vez a los sólidos "2" y "0" en todo instante. Por tanto <math>\vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0} </math> en todo instante y
<center>
<math>
\vec{a}^{\,B}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,B}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \vec{0}
</math>
</center>

Por la misma razón el tercer término se anula pues <math>\vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0} </math>.

Nos queda el segundo término. El movimiento {01} es una rotación de eje permanente. Todos los puntos del eje tienen velocidad nula en todo instante, y <math>\Omega </math> es constante, por lo que
<center>
<math>
\vec{a}^{\,O_1}_{01}=\vec{0}\qquad\qquad \vec{\alpha}_{01}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0}
</math>
</center>
Usamos ahora la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01}
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
\vec{a}^{\,B}_{01} &=& \vec{a}^{\,O_1}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} +
\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B})\\
&&\\
&& \vec{a}^{\,O_1}_{01} = \vec{0}\\
&&\\
&& \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} = \vec{0}\\
&&\\
&&\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B}) =
\vec{\omega}_{01}\times\left(( \Omega\,\vec{k}_0)\times(l\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0)\right)
= (\Omega\,\vec{k}_0) \times (l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0) =
-l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0
\end{array}
</math>
</center>
Así pues obtenemos
<center>
<math>
\vec{a}^{\,B}_{21} = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0
</math>
</center>

Para obtener <math>\vec{a}^{\,C}_{21} </math> usamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}. Necesitaremos <math>\vec{\alpha}_{21} </math>. A partir de la composición {21} = {20} + {01} tenemos
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
=\vec{0} + \vec{0} + (\Omega\,\vec{k}_0)\times(\vec{\omega}\,\vec{\imath}_0) =
\omega\,\Omega\,\vec{\jmath}_{0}
</math>
</center>
Hemos usado que
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{20}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \vec{0}
</math>
</center>
Podemos ahora hallar <math>\vec{a}^{\,C}_{21} </math>
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
\vec{\alpha}^{\,C}_{21} &=& \vec{a}^{\,B}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BC} +
\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC})\\
&&\\
&& \vec{a}^{\,B}_{21} = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0\\
&&\\
&& \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BC} = (\omega\,\Omega\,\vec{\jmath}_0)\times(-R\,\vec{k}_0)= -R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0\\
&&\\
&&\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC}) =
\vec{\omega}_{21}\times\left( (\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)\times(-R\,\vec{k}_0)\right)
= (\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)\times ( R\,\omega\,\vec{\jmath}_0)=
-R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0+ R\,\omega^2\,\vec{k}_0
\end{array}
</math>
</center>
El resultado final es
<center>
<math>
\vec{a}^{\,C}_{21} = - ( l\,\Omega^2 + 2\,R\,\omega\,\Omega)\,\vec{\imath}_0 + R\,\omega^2\,\vec{k}_0
</math>
</center>
La condición de no deslizamiento es <math>l\,\Omega + R\,\omega=0 </math>. Aplicándola tenemos
<center>
<math>
\vec{a}^{\,C}_{21} = -R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0 + R\,\omega^2\,\vec{k}_0 =
-l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0 + R\,\omega^2\,\vec{k}_0
</math>
</center>

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Disco y varilla con dos rotaciones - Historial de revisiones