Pedro: Página creada con «= Enunciado = right Un disco de radio $R$ y masa $m$ se apoya en un escalón de altura $R/2$ como se indica en la figura. El contacto en el punto $A$ es liso mientras que en el punto $B$ es rugoso con coeficiente de rozamiento estático $\mu$ . Un fuerza $\vec{F}=-F_0\,\vec{\imath}$ , con $F_0>0$ , se aplica en el punto $C$ . La gr…»

2023-11-03T08:56:39Z

Página creada con «= Enunciado = right Un disco de radio <math>R</math> y masa <math>m</math> se apoya en un escalón de altura <math>R/2</math> como se indica en la figura. El contacto en el punto <math>A</math> es liso mientras que en el punto <math>B</math> es rugoso con coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>. Un fuerza <math>\vec{F}=-F_0\,\vec{\imath}</math>, con <math>F_0>0</math>, se aplica en el punto <math>C</math>. La gr…»

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= Enunciado =
[[File:F1GIC-disco-escalon-enunicado.png|right]]

Un disco de radio <math>R</math> y masa <math>m</math> se apoya en un escalón de altura <math>R/2</math> como se indica en la figura.
El contacto en el punto <math>A</math> es liso mientras que en el punto <math>B</math> es rugoso con coeficiente de
rozamiento estático <math>\mu</math>. Un fuerza <math>\vec{F}=-F_0\,\vec{\imath}</math>, con <math>F_0>0</math>, se aplica en el
punto <math>C</math>. La gravedad actúa como se indica en la figura.

#Determina el valor del ángulo <math>\theta</math> mostrado en la figura, así como un vector unitario con la dirección y sentido del vector <math>\overrightarrow{AG}</math>.
#Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan sobre el disco.
#Encuentra la expresión de las fuerzas que actúan sobre el disco en condición de equilibrio estático. ¿Para que valor de <math>h</math> cambia el sentido de la fuerza de rozamiento?
#Suponiendo que <math>h=3R/2</math>, determina el valor mínimo de <math>F_0</math> para que el disco suba el escalón.

= Solución =

== Ángulo y vector unitario ==
[[File:F1GIC-disco-escalon-triangulo.png|right]]
Observando la figura vemos que, a partir del triángulo resaltado en azul tenemos
<center><math>
\mathrm{sen}\,\theta = \dfrac{R/2}{R} = \dfrac{1}{2}
\Longrightarrow
\theta = \dfrac{\pi}{6} = 30^{\circ}.
</math></center>
El vector <math>\overrightarrow{AG}</math> es
<center><math>
\overrightarrow{AG} = R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
=
R\,\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\vec{\imath} + \dfrac{1}{2}\,\vec{\jmath}\right).
</math></center>
El módulo de este vector es <math>R</math>, como se observa en la figura. Por tanto, el vector unitario pedido es
<center><math>
\vec{n}_{AG} = \dfrac{\overrightarrow{AG}}{R}
=
\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\vec{\imath} + \dfrac{1}{2}\,\vec{\jmath}
</math></center>

== Diagrama de fuerzas ==
[[File:F1GIC-disco-escalon-fuerzas.png|right]]
La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre el sólido. Como fuerzas activas tenemos el peso y <math>\vec{F}</math>. Hay una fuerza vincular en <math>A</math> dirigida hacia el centro del disco, pues en este punto la dirección normal la da la superficie del disco, no la esquina. En el punto <math>B</math> hay una fuerza vincular normal, para que el disco no atraviese el suelo, y una fuerza de rozamiento paralela al suelo. Conocemos a priori el sentido de todas las fuerzas salvo la de rozamiento. Expresamos las fuerzas en el sistema de ejes de la figura
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{F} = -F_0\,\vec{\imath},\\
\vec{P} = -mg\,\vec{\jmath},\\
\vec{A} = A\,\vec{n}_{AG} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}A\,\vec{\imath} + \dfrac{1}{2}A\,\vec{\jmath},\\
\vec{B} = B\,\vec{\jmath},\\
\vec{B}_R = B_R\,\vec{\imath}.
\end{array}
</math></center>

== Equilibrio estático ==
Para que un sólido rígido esté en equilibrio estático debe ocurrir que la fuerza neta sobre él sea nula y que el momento neto respecto de cualquier punto sea nulo.

De la primera condición obtenemos
<center><math>
\vec{F} + \vec{P} + \vec{A} + \vec{B} + \vec{B}_R = \vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
X) & \to & -F_0 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}A + B_R = 0, & (1)\\
&&&\\
Y) & \to & -mg + \dfrac{1}{2}A + B = 0.& (2)
\end{array}
\right.
</math></center>
Para calcular el momento de las fuerzas elegimos el punto <math>G</math>. De este modo las fuerzas <math>A</math>, <math>B</math> y <math>P</math> no crean momento, pues el punto <math>G</math> pertenece a las rectas soporte de las tres fuerzas. Tenemos
<center><math>
\vec{M}_G = \overrightarrow{GC}\times\vec{F} + \overrightarrow{GB}\times\vec{B}_R= \vec{0}.
</math></center>
Para calcular el momento creado por la fuerza <math>F</math> podemos hacerlo de dos formas. No conocemos la coordenada de <math>C</math> sobre el eje <math>X</math>, pero no es necesaria para calcular el momento. Podemos llamarla <math>x_C</math>. Tenemos entonces
<center><math>
\overrightarrow{GC}\times\vec{F} =
(x_C\,\vec{\imath} + (h-R)\,\vec{\jmath})\times(-F_0\,\vec{\imath})
=
F_0(h-R)\,\vec{k}.
</math></center>
Otra forma de hacerlo es darse cuenta de que las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido son vectores deslizantes. Entonces podemos trasladar <math>\vec{F}</math> sobre su recta soporte hasta el punto <math>E</math>. Al calcular así el momento obtenemos el resultado anterior.

Para la fuerza de rozamiento tenemos
<center><math>
\overrightarrow{GB}\times\vec{B}_R = (-R\,\vec{\jmath})\times(B_R\,\vec{\imath})
=
RB_R\,\vec{k}.
</math></center>
Como el momento neto debe ser nulo obtenemos la ecuación
<center><math>
RB_r + F_0(h-R)=0. \qquad (3)
</math></center>
Las incógnitas son <math>\{A,\, B,\, B_R\}</math>. Tenemos tres ecuaciones, por lo que el problema está bien planteado. Resolviéndolas obtenemos
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{A} = \dfrac{F_0 h}{\sqrt{3}R}\,(\sqrt{3}\,\vec{\imath} + \vec{\jmath}),\\
\\
\vec{B} = \left(mg - \dfrac{F_0h}{\sqrt{3}R}\right)\,\vec{\jmath},\\
\\
\vec{B}_R = F_0\,\left(1-\dfrac{h}{R}\right)\,\vec{\imath}.
\end{array}
</math></center>
De la expresión de la fuerza de rozamiento vemos que si <math>h>R</math> apunta hacia la izquierda, mientras que si <math>h<R</math> apunta hacia la derecha. Cuando <math>h=R</math> es nula.

== Valor de <math>F_0</math> para que el disco suba el escalón ==
Justo cuando el disco comienza a subir el escalón tenmos <math>\vec{B}=\vec{0}</math>, pues entonces esta fuerza vincular ya no es necesaria. Si imponemos <math>h=3R/2</math> tenemos
<center><math>
\vec{B} = \left(mg-\dfrac{\sqrt{3}}{2}F_0\right)\,\vec{\jmath}
</math></center>
Entonces, para que el disco suba el escalón tenemos
<center><math>
F_0 \geq \dfrac{2}{\sqrt{3}}mg.
</math></center>

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