Pedro: Página creada con «== Enunciado == right En la figura se muestra un disco de radio $R$ (sólido "2"), que gira con velocidad angular $\omega_{20}(t)=\omega$ , constante, alrededor del eje perpendicular a él, $O_1X_0$ . Dicho eje está rígidamente unido a una plataforma (sólido "0"), que gira también con velocidad angular constante $\omega_{01}(t)=\Omega$ , alrededor del eje vertical $O_1…»$

2023-09-25T13:44:09Z

Página creada con «== Enunciado == right En la figura se muestra un disco de radio <math>R</math> (sólido "2"), que gira con velocidad angular <math>\omega_{20}(t)=\omega</math>, constante, alrededor del eje perpendicular a él, <math>O_1X_0</math>. Dicho eje está rígidamente unido a una plataforma (sólido "0"), que gira también con velocidad angular constante <math>\omega_{01}(t)=\Omega</math>, alrededor del eje vertical <math>O_1…»

Página nueva

== Enunciado ==
[[Imagen:F1_GIA_discos_engarzados_enunciado.png|right]]
En la figura se muestra un disco de radio <math>R</math> (sólido "2"), que gira con velocidad angular <math>\omega_{20}(t)=\omega</math>, constante, alrededor del eje perpendicular a él, <math>O_1X_0</math>. Dicho eje está rígidamente unido a una plataforma (sólido "0"), que gira también con velocidad angular constante <math>\omega_{01}(t)=\Omega</math>, alrededor del eje vertical <math>O_1Z_1</math> de un sistema de referencia fijo <math>O_1X_1Y_1Z_1</math> (sólido "1"). Determina las magnitudes cinemáticas <math>\vec{v}^B_{21}</math> y <math>\vec{a}^B_{21}</math> en el instante representado en la figura.

== Solución ==
El problema nos pide determinar el movimiento del punto <math>B</math>,
perteneciente al sólido "2", en el
instante en que se encuentra en su punto más alto. El movimiento
{21} puede descomponerse en la rotación del sólido "0" respecto al
eje <math>O_1Z_1</math> y la rotación del sólido "2" respecto al eje <math>O_1X_0</math>:
<center><math>
\{21\} = \{20\}+ \{01\}
</math></center>
Analicemos en detalle estos dos movimientos

===Movimiento {01} ===
La reducción de un movimiento consiste en calcular su velocidad
angular y la velocidad de uno de los puntos del sólido. Con eso
podemos determinar el eje instantáneo de rotación. Para poder
determinar la aceleración de cualquier punto necesitamos también la
aceleración angular y la aceleración en un punto. Esto es lo que vamos
a determinar en este movimiento.

En este caso, el movimiento {01} es un rotación permanente alrededor
del eje <math>O_1Z_1</math>. El enunciado nos dice que la velocidad angular vale
<math>\vec{\omega}_{01}(t)=\Omega</math> y es constante en el tiempo. Tenemos entonces
<center><math>
\vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_1=\Omega\,\vec{k}_0\qquad\qquad
\vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}
</math></center>
Hemos usado el hecho de que, en este problema, los ejes <math>O_1Z_0</math> y
<math>O_1Z_1</math> son iguales entre sí e invariantes en el tiempo. Esto nos
permite, por un lado, expresar <math>\vec{\omega}_{01}</math> en función de <math>\vec{k}_0</math> ó
<math>\vec{k}_1</math>, y por otro lado hacer la derivada temporal suponiendo que
<math>\vec{k}_1</math> no cambia en el tiempo, con lo cual <math>\vec{\alpha}_{01}</math> es nula.
Dado que el eje de rotación es invariante en el tiempo, los puntos en
él tienen velocidad y aceleración nula. Escogiendo, por ejemplo, el
origen <math>O_1</math>, podemos caracterizar completamente el movimiento {01}

<center><math>
\begin{array}{lcl}
\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{v}_{01}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\
\vec{\alpha}_{01}=\vec{0}&\qquad\qquad\qquad&\vec{a}_{01}^{O_1}=\vec{0}
\\ &&\\
\Delta_{\mathrm{EPR}}\equiv O_1Z_0\equiv O_1Z_1
\end{array}
</math></center>
Como queremos determinar el movimiento del punto <math>B</math>, vamos a calcular
<math>\vec{v}_{01}^{B}</math> y <math>\vec{a}_{01}^{B}</math>. Utilizamos las ecuaciones del
campo de velocidades y aceleraciones del sólido "0"
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}_{01}^{B} = \vec{v}_{01}^{O_1}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B}=
(\Omega\,\vec{k}_0)\times{R\,\vec{k}_0}=\vec{0}\\ \\
\vec{a}_{01}^{B} = \vec{a}_{01}^{O_1}+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} +
\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B})=\vec{0}
\end{array}
</math></center>
Este resultado es razonable, pues el punto <math>B</math> pertenece al eje de
giro del movimiento.

===Movimiento {20} ===
En este caso tenemos una rotación alrededor de un eje perpendicular al
sólido "2". Hemos elegido el eje <math>O_1X_0</math> coincidiendo con este eje
de giro. El enunciado dice que la velocidad angular <math>\omega_{20}</math> es
constante en el tiempo, por tanto
<center><math>
\vec{\omega}_{20} = \omega\,\vec{k}_0\qquad\qquad
\vec{\alpha}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0}
</math></center>
En este caso, como el sólido derivador es el "0", y la expresión de
<math>\vec{\omega}_{20}</math> en función de <math>\vec{\imath}_0</math> es válida en cualquier instante de
tiempo, podemos hacer la derivada suponiendo <math>\vec{\imath}_0</math> constante, con lo
que <math>\vec{\alpha}_{20}</math> resulta ser nula.

Como el eje de rotación es la recta <math>O_1X_0</math>, el punto <math>O_1</math> es de
nuevo un punto fijo de este movimiento. Por tanto, la caracterización
del movimiento {20} es
<center><math>
\begin{array}{lcl}
\vec{\omega}_{20}=\omega\,\vec{\imath}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{v}_{20}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\
\vec{\alpha}_{20}=\vec{0}&\qquad\qquad\qquad&\vec{a}_{20}^{O_1}=\vec{0}
\\ &&\\
\Delta_{\mathrm{EPR}}\equiv O_1X_0
\end{array}
</math></center>
Determinamos también los vectores <math>\vec{v}_{20}^{B}</math> y <math>\vec{a}_{20}^{B}</math>
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}_{20}^{B} = \vec{v}_{20}^{O_1}+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{O_1B}=
(\omega\,\vec{\imath}_0)\times{R\,\vec{k}_0}=-R\,\omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\
\vec{a}_{20}^{B} = \vec{a}_{20}^{O_1}+\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{O_1B} +
\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{O_1B})=-R\,\omega^2\,\vec{k}_0
\end{array}
</math></center>
En este movimiento, el punto <math>B</math> realiza un movimiento circular
uniforme, con lo cual es razonable que <math>\vec{a}_{20}^{B}</math> apunte hacia
el punto <math>O_1</math>.

===Movimiento {21} ===
Podemos describir este movimiento como combinación de los otros dos
{21}={20}+{01}. Tenemos
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0\\ \\
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01} +\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} =
(\Omega\,\vec{k}_0)\times(\omega\,\vec{\imath}_0) = \omega\Omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\
\vec{v}_{21}^{\,O_1} = \vec{v}_{20}^{\,O_1}+\vec{v}_{01}^{\,O_1}=\vec{0}\\
\\
\vec{a}_{21}^{\,O_1} = \vec{a}_{20}^{\,O_1}+\vec{a}_{01}^{\,O_1} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,O_1}_{20}=\vec{0}
\end{array}
</math></center>
El eje instantáneo de rotación es paralelo a <math>\vec{\omega}_{21}</math> y pasa por
<math>O_1</math>, pues <math>\vec{v}^{\mathrm{min}}=\vec{v}_{21}^{O_1}</math>, pues ésta es
cero. Así pues, la caracterización del movimiento {21} es
<center><math>
\begin{array}{lcl}
\vec{\omega}_{21}=\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{v}_{21}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\
\vec{\alpha}_{21}=\omega\Omega\,\vec{\jmath}_0&\qquad\qquad\qquad&\vec{a}_{21}^{O_1}=\vec{0}
\\ &&\\
\Delta_{\mathrm{EIR}}\equiv \lambda\, \vec{\omega}_{21}
\end{array}
</math></center>
Es interesante observar que la combinación de dos rotaciones con
velocidad angular constante da una rotación con aceleración angular no
nula. Esto se debe a que la dirección de <math>\Delta_{\mathrm{EIR}}</math>
cambia con el tiempo. El vector <math>\vec{\alpha}_{21}</math> apunta en la dirección en
que se produce este cambio.

===Velocidad y aceleración del punto B ===
Ahora podemos calcular <math>\vec{v}_{21}^{B}</math> y <math>\vec{a}_{21}^{B}</math>. Si usamos la
composición {21}={20}+{01} podemos utilizar las velocidades y
aceleraciones calculadas anteriormente
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}_{21}^{B} = \vec{v}_{20}^B+\vec{v}_{01}^B = -R\,\omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\
\vec{a}_{21}^{B} = \vec{a}_{20}^B+\vec{a}_{01}^B
+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^B=-R\,\omega^2\vec{k}_0+2R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0
\end{array}
</math></center>

[[Imagen:F1_GIA_discos_engarzados_final.png|right|400px]]

También podemos hacer el cálculo a partir de la reducción del
movimiento {21} y usando el campo de velocidades y aceleraciones de
este movimiento
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}_{21}^{B} = \vec{v}_{21}^{O_1}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1B}=
-R\,\omega\,\vec{\jmath}_0\\ \\
\vec{a}_{21}^{B} = \vec{a}_{21}^{O_1}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{O_1B} +
\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1B})=-R\,\omega^2\,\vec{k}_0+2R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0
\end{array}
</math></center>
En la figura se muestran las magnitudes cinemáticas mas relevantes del problema.
[[Categoría:Problemas de movimiento relativo]]

Disco engarzado en otro disco (G.I.A.) - Historial de revisiones