Pedro: /* Determinación del CIR del movimiento {21} */

2023-09-26T14:30:12Z

Determinación del CIR del movimiento {21}

← Revisión anterior		Revisión del 16:30 26 sep 2023
Línea 130:		Línea 130:
	===Determinación del CIR del movimiento {21} ===		===Determinación del CIR del movimiento {21} ===

	[[Imagen:F1_GIA_disco_biela_a.png\|right\|~~300px~~]]		[[Imagen:F1_GIA_disco_biela_a.png\|right\|250px]]
	====Gráfica ====		====Gráfica ====
	Tenemos <math>\vec{v}_{21}^O</math> y <math>\vec{v}_{21}^A</math>. Si trazamos en cada punto la		Tenemos <math>\vec{v}_{21}^O</math> y <math>\vec{v}_{21}^A</math>. Si trazamos en cada punto la

Pedro: /* Determinación del CIR del movimiento {21} */

2023-09-26T14:29:51Z

Determinación del CIR del movimiento {21}

← Revisión anterior		Revisión del 16:29 26 sep 2023
Línea 130:		Línea 130:
	===Determinación del CIR del movimiento {21} ===		===Determinación del CIR del movimiento {21} ===

	[[Imagen:F1_GIA_disco_biela_a.png\|right]]		[[Imagen:F1_GIA_disco_biela_a.png\|right\|300px]]
	====Gráfica ====		====Gráfica ====
	Tenemos <math>\vec{v}_{21}^O</math> y <math>\vec{v}_{21}^A</math>. Si trazamos en cada punto la		Tenemos <math>\vec{v}_{21}^O</math> y <math>\vec{v}_{21}^A</math>. Si trazamos en cada punto la

Pedro: Página creada con «== Enunciado == right El mecanismo de la figura está formado por un disco (sólido "0"), de radio $R$ ; y por una varilla $OA$ (sólido "2"), de longitud $2R$ , articulada en su extremo $O$ al centro del disco. El disco rueda sin deslizar sobre la recta fija (sólido "1") de ecuación $y_1=-R$ , mientras que el extremo $A$ de la varilla está obligado a deslizar…»

2023-09-26T14:28:24Z

Página creada con «== Enunciado == right El mecanismo de la figura está formado por un disco (sólido "0"), de radio <math>R</math>; y por una varilla <math>OA</math> (sólido "2"), de longitud <math>2R</math>, articulada en su extremo <math>O</math> al centro del disco. El disco rueda sin deslizar sobre la recta fija (sólido "1") de ecuación <math>y_1=-R</math>, mientras que el extremo <math>A</math> de la varilla está obligado a deslizar…»

Página nueva

== Enunciado ==
[[Imagen:F1_GIA_disco_biela_enunciado.png|right]]
El mecanismo de la figura está formado por un disco (sólido "0"), de radio <math>R</math>; y por una varilla <math>OA</math> (sólido "2"), de longitud <math>2R</math>, articulada en su extremo <math>O</math> al centro del disco. El disco rueda sin deslizar sobre la recta fija (sólido "1") de ecuación <math>y_1=-R</math>, mientras que el extremo <math>A</math> de la varilla está obligado a deslizar sobre el eje <math>O_1Y_1</math>. Sabiendo que el mecanismo se mueve conforme a la ley horaria <math>\theta(t)=\omega t</math> (donde <math>\omega</math> es una constante conocida), se pide:
# Los vectores de posición, <math>\overrightarrow{O_1A}=\vec{r}_{21}^A(t)</math>; velocidad, <math>\vec{v}_{21}^A(t)</math>; y aceleración <math>\vec{a}_{21}^A(t)</math>, del movimiento absoluto del extremo <math>A</math> de la varilla. ¿Qué tipo de movimiento describe dicho punto?
# Reducciones cinemáticas (vectores velocidad angular y velocidad de un punto) de los movimientos {21}, {01} y {20}.
# Determinación gráfica y analítica de la posición del C.I.R. del movimiento {21}.

== Solución ==
===Cálculo del vector de posición, velocidad y aceleración del punto A en el movimiento {21} ===
El extremo <math>A</math> de la varilla está situado siempre sobre el eje
<math>O_1Y_1</math>. Su posición puede determinarse en la escuadra "1" como
<center><math>
\vec{r}_{21}^A=\overrightarrow{O_1A} = 2R\,\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1=2R\,\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}_1
</math></center>
Como esta expresión es válida en todo instante y está expresada en la base del
sólido "1", podemos derivarla para calcular la velocidad y la
aceleración pedidas
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}_{21}^A =
\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}_{21}^A}{\mathrm{d}t}\right|_1=2R\omega\,\cos(\omega
t)\,\vec{\jmath}_1\\ \\
\vec{a}_{21}^A =
\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_{21}^A}{\mathrm{d}t}\right|_1=-2R\omega^2\,\,\mathrm{sen}\,(\omega
t)\,\vec{\jmath}_1
\end{array}
</math></center>
Para determinar el tipo de movimiento que realiza el punto <math>A</math>,
observemos que se cumple
<center><math>
\vec{a}_{21}^A=\ddot{\vec{r}}_{21}^A=-\omega^2\vec{r}_{21}^A\Rightarrow
\ddot{y}_{21}^A=-\omega^2{y}_{21}^A
</math></center>
Es decir, es un movimiento armónico simple a lo largo del eje
<math>O_1Y_1</math>, centrado en <math>O_1</math>, de frecuencia <math>\omega</math> y amplitud <math>2R</math>.

===Reducciones cinemáticas de los movimientos ===

====Movimiento {21} ====
Hemos calculado <math>\vec{v}_{21}^A</math>. Para determinar <math>\vec{\omega}_{21}</math> necesitamos
la velocidad en otro punto. Para ello vamos a expresar la posición del
otro extremo de la varilla en la base de la escuadra <math>O_1X_1Y_1</math>. El
punto <math>O</math> se mueve siempre a lo largo del eje <math>O_1X_1</math>. Por
trigonometría tenemos
<center><math>
\overrightarrow{O_1O} = -2R\,\cos\theta\,\vec{\imath}_1=-2R\,\cos(\omega t)\,\vec{\imath}_1
</math></center>
De nuevo podemos derivar esta expresión para calcular <math>\vec{v}_{21}^O</math>
<center><math>
\vec{v}_{21}^O=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_{21}^O}{\mathrm{d}t}\right|_1=2R\omega\,\,\mathrm{sen}\,(\omega
t)\,\vec{\imath}_1
</math></center>
Teniendo en cuenta que <math>\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}</math>, la ecuación del
campo de velocidades nos permite plantear la ecuación
<center><math>
\begin{array}{c}
\vec{v}_{21}^A=\vec{v}_{21}^O+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OA}=
\vec{v}_{21}^O+
\left|
\begin{array}{ccc}
\vec{\imath}_1&\vec{\jmath}_1&\vec{k}_1\\0&0&\omega_{21}\\2R\cos(\omega t)&2R\,\mathrm{sen}\,(\omega t)&0
\end{array}
\right|\Rightarrow\\ \\
\left(
\begin{array}{c}
0\\2R\omega\cos(\omega t)
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{c}
(w-\omega_{21})2R\cos(\omega t)\\2R\omega_{21}\cos(\omega t)
\end{array}
\right)
\end{array}
</math></center>
Por tanto <math>\omega_{21}=\omega</math> y la reducción en el punto <math>O</math> es
<center><math>
\vec{\omega}_{21}=\omega\,\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_{21}^O=2R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath}_1
</math></center>

====Movimiento {01} ====
El disco rueda sin deslizar sobre la línea <math>y_1=-R</math>. Por tanto el
punto de contacto es el CIR y su velocidad en este movimiento es nula,
<math>\vec{v}_{01}^C=\vec{0}</math>. Por otro lado, aún no podemos determinar la
velocidad angular de este movimiento. Por tanto lo que sabemos por
ahora es
<center><math>
\vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\,\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_{01}^C=\vec{0}
</math></center>

====Movimiento {20} ====
El punto <math>O</math> pertenece tanto al sólido "2" como al "0". Por tanto
es un punto fijo en este movimiento. La reducción en <math>O</math> es
<center><math>
\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_{20}^O=\vec{0}
</math></center>

====Composición {21} = {20} + {01} ====
La velocidad <math>\vec{v}_{21}^O</math> puede escribirse
<center><math>
\vec{v}_{21}^O=\vec{v}_{20}^O+\vec{v}_{01}^O\Rightarrow \vec{v}_{01}^O=\vec{v}_{21}^O-\vec{v}_{20}^O
</math></center>
donde <math>\vec{v}_{21}^O</math> y <math>\vec{v}_{20}^O</math> son conocidas.
Ahora podemos calcular <math>\vec{v}_{01}^O</math>
<center><math>
\vec{v}_{01}^O=\vec{v}_{01}^C+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CO}=(\omega_{01}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\jmath}_1)=-R\omega_{01}\,\vec{\imath}_1
</math></center>
Sustituyendo tenemos
<center><math>
-R\omega_{01}\,\vec{\imath}_1=2R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath}_1 \Rightarrow
\vec{\omega}_{01}=-2\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{k}
</math></center>
Para obtener <math>\vec{\omega}_{20}</math> recurrimos a la composición de velocidades
angulares
<center><math>
\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}\Rightarrow\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}=\omega(1+2\,\mathrm{sen}\,(\omega t))\,\vec{k}
</math></center>
Por tanto, las reducciones pedidas son
<center><math>
\begin{array}{lclcl}
\{21\}&\longrightarrow&\vec{\omega}_{21}=\omega\,\vec{k}&\qquad\qquad&\vec{v}_{21}^O=2R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega
t)\,\vec{\imath}_1\\
&&&&\\
\{20\}&\longrightarrow&\vec{\omega}_{20}=\omega(1+2\,\mathrm{sen}\,(\omega t))\,\vec{k}&\qquad\qquad&\vec{v}_{20}^O=\vec{0}\\
&&&&\\
\{01\}&\longrightarrow&\vec{\omega}_{01}=-2\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{k}&\qquad\qquad&\vec{v}_{01}^C=\vec{0}
\end{array}
</math></center>

===Determinación del CIR del movimiento {21} ===

[[Imagen:F1_GIA_disco_biela_a.png|right]]
====Gráfica ====
Tenemos <math>\vec{v}_{21}^O</math> y <math>\vec{v}_{21}^A</math>. Si trazamos en cada punto la
recta perpendicular a sus velocidades respectivas el punto de corte
nos da <math>I_{21}</math>, como se indica en el dibujo

====Analítica ====
Partiendo de <math>\vec{v}_{21}^O</math>, la posición de <math>I_{21}</math> es
<center><math>
\overrightarrow{OI}_{21} =
\dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}_{21}^O}{|\vec{\omega}_{21}|^2}=2R\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}_1
</math></center>
Podemos comprobar que ambos métodos dan el mismo resultado.

[[Categoría: Problemas de movimiento plano]]

Disco articulado con una varilla (G.I.A.) - Historial de revisiones

Pedro: /* Determinación del CIR del movimiento {21} */

Pedro: /* Determinación del CIR del movimiento {21} */