Disco apoyado en placa - Historial de revisiones

Drake: /* Reducciones cinemáticas */

2024-01-16T12:40:48Z

Reducciones cinemáticas

Drake: /* Centros instantáneos de rotación */

2024-01-16T12:36:07Z

Centros instantáneos de rotación

Drake: /* Enunciado */

2024-01-13T18:03:19Z

Enunciado

Drake: Página creada con «==Enunciado== El sistema mecánico de la figura está constituido por los siguientes sólidos rígidos: El plano fijo $O_1X_1Y_1$ (sólido “1”); la placa cuadrada, de lado $L$ , que desliza sobre el eje $O_1X_1$ , manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él (sólido “3”); el disco, de centro en C y radio $R$ , que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje $O_1Y_1$
2024-01-13T10:26:59Z

Página creada con «==Enunciado== El sistema mecánico de la figura está constituido por los siguientes sólidos rígidos: El plano fijo <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido “1”); la placa cuadrada, de lado <math>L</math>, que desliza sobre el eje <math>O_1X_1</math>, manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él (sólido “3”); el disco, de centro en C y radio <math>R</math>, que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje <math>O_1Y_1</m…»

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==Enunciado==
El sistema mecánico de la figura está constituido por los siguientes sólidos rígidos: El plano fijo <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido “1”); la placa cuadrada, de lado <math>L</math>, que desliza sobre el eje <math>O_1X_1</math>, manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él (sólido “3”); el disco, de centro en C y radio <math>R</math>, que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje <math>O_1Y_1</math> en el punto de contacto B, a la vez que rueda y desliza sobre la placa cuadrada en el punto de contacto A (sólido “2”) y el sistema de ejes <math>AX_0Y_0</math>, definido de tal modo que el eje <math>AY_0</math> contiene permanentemente al centro C del disco, mientras que el eje <math>AX_0</math> es tangente a dicho disco (sólido “0”).

# Para el instante considerado en la figura, determine gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación <math>I_{21}</math>, <math>I_{20}</math>, <math>I_{03}</math>, <math>I_{23}</math> e <math>I_{01}</math>.
# Utilizando como parámetro el ángulo <math>\theta</math> del dibujo (ángulo que forma el eje <math>AX_0</math> con respecto al lado superior de la placa cuadrada), y teniendo presentes las leyes de composición de velocidades y de velocidades angulares aplicadas a {21} = {20} + {03} + {31} halle las siguientes reducciones cinemáticas en C: <math>\{\vec{\omega}_{20}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\;
C}_{20}(\theta,\dot{\theta})\}</math>, <math>\{\vec{\omega}_{03}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\;
C}_{03}(\theta,\dot{\theta})\}</math>, <math>\{\vec{\omega}_{31}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{31}(\theta,\dot{\theta})\}</math> y <math>\{\vec{\omega}_{21}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{21}(\theta,\dot{\theta})\}</math>.

<center>[[Archivo:disco-apoyado-caja.png]]</center>

==Centros instantáneos de rotación==

[[Archivo:disco-placa-02.png|right]]

Tenemos aquí cuatro sólidos y por tanto 6 centros instantáneos de rotación. Algunos de ellos son evidentes, otros requieren el uso del teorema de los tres centros.

;Movimiento {21}: Dado que el disco rueda sin deslizar sobre la pared vertical, el CIR <math>I_{21}</math> es el punto de contacto B entre el disco y la pared
<center><math>I_{21}=B\,</math></center>
;Movimiento {20}: El punto C es un un punto material del disco “2” que ocupa una posición fija en el sistema “0” por cómo está definido éste. Al ser nula la velocidad <math>\vec{v}^C_{20}</math>, este punto es el CIR de este movimiento
<center><math>I_{20}=C\,</math></center>
;Movimiento {30}: Ocurre lo mismo que en el caso anterior, pero con el punto A: es un punto del sólido 3 que ocupa una posición fija en el sistema “0”. Por ello
<center><math>I_{30}=A\,</math></center>
;Movimiento {31}: La placa se está trasladando horizontalmente. Por tanto, su centro instantáneo de rotación se encuentra situado en el infinito, según la dirección perpendicular a la velocidad, que en este caso es la que tomamos como vertical.
;Movimiento {01}: Por el teorema de los tres centros <math>I_{01}</math> se encuentra alineado con el <math>I_{21}</math> y el <math>I_{20}</math>. Por tanto se halla sobre la recta horizontal que pasa por C. Por el mismo teorema, se encuentra alineado con el <math>I_{31}</math> y el <math>I_{30}</math>. Por ello, se encuentra sobre la vertical que pasa por A. La intersección de estas dos rectas nos da el CIR <math>I_{01}</math>
;Movimiento {32}: Para este punto aplicamos de nuevo dos veces el teorema de los tres centros. <math>I_{32}</math> está alineado con <math>I_{30}</math> e <math>I_{20}</math>., esto es se halla sobre la recta que pasa por A y C. Asimismo, se encuentra alineado con <math>I_{31}</math> e <math>I_{21}</math>, es decir, está en la recta vertical que pasa por B, el eje <math>OY_1</math>. La intersección de las dos rectas da el CIR buscado, <math>I_{32}</math>.

==Reducciones cinemáticas==
Para las reducciones cinemáticas necesitamos hallar cuatro velocidades angulares y cuatro velocidades lineales del punto C. Puesto que el cálculo de cada una implica ir hallando simultáneamente el resto, calcularemos las diferentes cantidades de forma un tanto desordenada, y al final tabularemos los distintos resultados.

Comenzamos por el dato más sencillo: la velocidad de C en el movimiento {20} es nula, por tratarse del CIR de este movimiento

<center><math>\vec{v}^C_{20}=\vec{0}</math></center>

También es un dato la velocidad angular en el movimiento {03}

<center><math>\omega_{03}=\dot{\theta}</math></center>

Sabemos asimismo que el movimiento {31} es una traslación, por lo que

<center><math>\omega_{31}=0\,</math></center>

Esto nos permite hallar la velocidad angular en {01}

<center><math>\omega_{01}=\omega_{03}+\omega_{31}=\dot{\theta}\,</math></center>

Para obtener el resto de las cantidades usaremos, como indica el enunciado, la descomposición {21} = {20} + {03} + {31}. Consideremos el punto C, respecto al cual se nos piden las diferentes reducciones. La ley de composición de velocidades nos dice

<center><math>\vec{v}^C_{21} = \vec{v}^C_{20}+\vec{v}^C_{03}+\vec{v}^C_{31}</math></center>

Analicemos cada uno de estos sumandos:

;Velocidad de C en {21}: Esta consiste en una rotación en torno al punto B, con una velocidad angular que por ahora no conocemos

<center><math>\vec{v}^C_{21}=\omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{BC}=\omega_{21}\vec{k}\times(R\vec{\imath}_1)=\omega_{21}R\vec{\jmath}_1</math></center>

;Velocidad de C en {20}: Es nula, por tratarse del CIR de este movimiento

<center><math>\vec{v}^C_{20}=\vec{0}</math></center>

;Velocidad de C en {03}: Esta es una rotación alrededor de A con velocidad angular <math>\dot{\theta}</math>

<center><math>\vec{v}^C_{03}=\dot{\theta}\vec{k}\times\overrightarrow{AC}=\dot{\theta}\vec{k}\times(R\vec{\jmath}_0)=-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0</math></center>

:Este resultado está en expresado en la base “0”. Si lo pasamos a la base “1” queda

<center><math>\vec{v}^C_{03}=-R\dot{\theta}\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)</math></center>

;Velocidad de C en {31}: Este movimiento es una traslación horizontal

<center><math>\vec{v}^C_{31}=v_0\vec{\imath}_1</math></center>

Sumando los distintos términos e igualando nos queda

<center><math>\omega_{21}R\vec{\jmath}_1 = -R\dot{\theta}\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)+v_0\vec{\imath}_1</math></center>

Puesto que dos vectores son iguales si lo son sus componentes respectivas

<center><math>\left\{\begin{array}{lcr} 0 & = & -R\dot{\theta}\cos(\theta)+v_0\\
\omega_{21}R & = & -R\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta) \end{array}\right.</math></center>

Esto nos permite hallar las dos cantidades desconocidas

<center><math>v_0=R\dot{\theta}\cos(\theta)</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\omega_{21}=-\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)</math></center>

Por último, hallamos la velocidad angular {20}

<center><math>\omega_{20}=\omega_{21}+\omega_{10}=\omega_{21}-\omega_{01}=-\dot{\theta}(1+\mathrm{sen}(\theta))</math></center>

Con toda esta información, ya podemos enunciar las diferentes reducciones cinemáticas.

;Movimiento {20}: En este movimiento C está en reposo y la velocidad angular es la que acabamos de calcular, por tanto

<center><math>\{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^C_{20}\}=\{-\dot{\theta}(1+\mathrm{sen}(\theta))\vec{k},\vec{0}\}</math></center>

;Movimiento {03}: En el movimiento {03} C efectúa una rotación en torno a A, tal que

<center><math>\{\vec{\omega}_{03},\vec{v}^C_{03}\}=\{\dot{\theta}\vec{k},-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0\}</math></center>

;Movimiento {31}: En el movimiento {31} C se está trasladando horizontalmente

<center><math>\{\vec{\omega}_{31},\vec{v}^C_{31}\}=\{\vec{0},R\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{\imath}_1\}</math></center>

;Movimiento {21}: Por último, el movimiento {21} es una rotación alrededor de B

<center><math>\{\vec{\omega}_{21},\vec{v}^C_{21}\}=\{-\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)\vec{k},-R\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\}</math></center>

[[Categoría:Problemas de Movimiento Plano (GITI)]]