Dinámica de masa en varilla articulada (CMR) - Historial de revisiones

Antonio en 20:16 26 nov 2023

2023-11-26T20:16:00Z

Antonio: Página creada con «==Enunciado== Se tiene un sistema horizontal en el que una partícula P, de masa m, se encuentra unida a una varilla de longitud $\ell$ cuyo otro extremo, A, se halla articulado a una segunda varilla, de longitud b, cuyo segundo extremo, O, está fijo. La varilla OA gira en torno a O con velocidad angular constante Ω, mientras que la varilla AP puede girar libremente en torno a A. Sea θ el ángulo que AP forma con la prolongación de OA. Ar…»

2023-11-26T20:13:33Z

Página creada con «==Enunciado== Se tiene un sistema horizontal en el que una partícula P, de masa m, se encuentra unida a una varilla de longitud <math>\ell</math> cuyo otro extremo, A, se halla articulado a una segunda varilla, de longitud b, cuyo segundo extremo, O, está fijo. La varilla OA gira en torno a O con velocidad angular constante Ω, mientras que la varilla AP puede girar libremente en torno a A. Sea θ el ángulo que AP forma con la prolongación de OA. <center>Ar…»

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==Enunciado==
Se tiene un sistema horizontal en el que una partícula P, de masa m, se encuentra unida a una varilla de longitud <math>\ell</math> cuyo otro extremo, A, se halla articulado a una segunda varilla, de longitud b, cuyo segundo extremo, O, está fijo. La varilla OA gira en torno a O con velocidad angular constante Ω, mientras que la varilla AP puede girar libremente en torno a A. Sea θ el ángulo que AP forma con la prolongación de OA.
<center>[[Archivo:masa-varilla-articulada.png]]</center>
# ¿Qué vínculo hay entre las coordenadas cartesianas de P? Escríbalo en forma geométrica, cinemática y pfaffiana.
# Obtenga la ecuación de movimiento para el ángulo θ.
# ¿Qué puntos de equilibrio hay para el ángulo θ? ¿Son estables o inestables?
==Ecuación de vínculo==
La ecuación de vínculo sobre P es que su distancia al punto A es constante

<center><math>|\overrightarrow{AP}|=\ell=\mathrm{cte}</math></center>

Se trata de escribir esta relación en términos de las coordenadas cartesianas de P.

La posición de A es en todo momento

<center><math>\overrightarrow{OA}=b\cos(\Omega t)\vec{\imath}_1+b\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}_1</math></center>

con lo que la ecuación de vínculo se puede escribir en la forma

<center><math>(x-b\cos(\Omega t))^2+(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))^2 = \ell^2</math></center>

Esta sería la forma geométrica.

Obtenemos la forma cinemática derivando esta respecto al tiempo.

<center><math>2(x-b\cos(\Omega t))(\dot{x}+b\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t))+2(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))(\dot{y}-b\Omega\cos(\Omega t))=0</math></center>

Simplificando por 2 y agrupando términos queda

<center><math>\dot{x}(x-b\cos(\Omega t))+\dot{y}(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))+b\Omega(x\,\mathrm{sen}(\Omega t)-y\cos(\Omega t))=0</math></center>

La forma pfaffiana se obteien multiplicando la condición cinemática por <math>\mathrm{d}t</math>

<center><math>\mathrm{d}x(x-b\cos(\Omega t))+\mathrm{d}y(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))+b\Omega\,\mathrm{d}t(x\,\mathrm{sen}(\Omega t)-y\cos(\Omega t))=0</math></center>

==Ecuación de movimiento==
Siguiendo los cálculos y la notación del problema “[[Cinem%C3%A1tica_de_dos_barras_articuladas_(CMR)|Dos barras articuladas]]” la posición, velocidad y aceleración de A son

<center><math>\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_2\qquad\qquad \vec{v}^A_{21}=b\Omega\vec{\jmath}_2\qquad\qquad \vec{a}^A_{21}=-b\Omega^2\vec{\imath}_2</math></center>

Por ser A una articulación entre los sólidos 2 y 3, estos valores corresponden también al movimiento {31}.

Para el punto P tenemos la posición

<center><math>\overrightarrow{OP}=b\vec{\imath}_2+\ell\vec{\imath}_3</math></center>

la velocidad

<center><math>\vec{v}^P_{31}=b\Omega\vec{\jmath}_2+\ell(\Omega+\dot{\theta})\vec{\jmath}_3</math></center>

y la aceleración

<center><math>\vec{a}^P_{31}=-b\Omega^2\vec{\imath}_2+\ell\ddot{\theta}\vec{\jmath}_3-\ell(\Omega+\dot{\theta})^2\vec{\jmath}_3</math></center>

La única fuerza que actúa sobre la masa en P es la tensión de la varilla, de manera que la segunda Ley de Newton queda

<center><math>m\vec{a}^P_{31}=-F_{T}\vec{\imath}_3</math></center>

Sustituimos la aceleración de P

<center><math>-mb\Omega^2\vec{\imath}_2+m\ell\ddot{\theta}\vec{\jmath}_3-m\ell(\Omega+\dot{\theta})^2\vec{\jmath}_3=-F_{T}\vec{\imath}_3</math></center>

Para eliminar la tensión de los cálculos proyectamos sobre la dirección ortogonal, que en este caso es la de <math>\vec{\jmath}_3</math>. Queda

<center><math>mb\Omega^2\,\mathrm{sen}(\theta)+m\ell\ddot{\theta}=0</math></center>

o, equivalentemente,

<center><math>\ddot{\theta}=-\frac{b\Omega^2}{\ell}\mathrm{sen}(\theta)</math></center>

Esta es la ecuación de un péndulo simple. Empleando fuerzas ficticias, diríamos que aquí el papel de la gravedad lo desempeña la fuerza centrífuga. Así es como se llegaría a este mismo resultado empleando un sistema de referencia en rotación.

==Puntos de equilibrio==
Al ser la ecuación de movimiento equivalente a un péndulo, al análisis del equilibrio es idéntico.

* <math>\theta=0</math> representa un punto de equilibrio estable.
* <math>\theta=\pi</math> representa un punto de equilibrio inestable.

Es decir, el sistema sería estable con la varilla AP completamente extendida y sería inestable con AP plegada sobre OA.

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Línea 14:		Línea 14:
	La posición de A es en todo momento		La posición de A es en todo momento

	<center><math>\overrightarrow{OA}=b\cos(\Omega t)\vec{\imath}_1+b\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}_1</math></center>		<center><math>\overrightarrow{OA}=\ell\cos(\Omega t)\vec{\imath}_1+\ell\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}_1</math></center>

	con lo que la ecuación de vínculo se puede escribir en la forma		con lo que la ecuación de vínculo se puede escribir en la forma

	<center><math>(x-b\cos(\Omega t))^2+(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))^2 = \ell^2</math></center>		<center><math>(x-\ell\cos(\Omega t))^2+(y-\ell\,\mathrm{sen}(\Omega t))^2 = \ell^2</math></center>

	Esta sería la forma geométrica.		Esta sería la forma geométrica.
Línea 24:		Línea 24:
	Obtenemos la forma cinemática derivando esta respecto al tiempo.		Obtenemos la forma cinemática derivando esta respecto al tiempo.

	<center><math>2(x-b\cos(\Omega t))(\dot{x}+b\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t))+2(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))(\dot{y}-b\Omega\cos(\Omega t))=0</math></center>		<center><math>2(x-\ell\cos(\Omega t))(\dot{x}+\ell\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t))+2(y-\ell\,\mathrm{sen}(\Omega t))(\dot{y}-\ell\Omega\cos(\Omega t))=0</math></center>

	Simplificando por 2 y agrupando términos queda		Simplificando por 2 y agrupando términos queda

	<center><math>\dot{x}(x-b\cos(\Omega t))+\dot{y}(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))+b\Omega(x\,\mathrm{sen}(\Omega t)-y\cos(\Omega t))=0</math></center>		<center><math>\dot{x}(x-\ell\cos(\Omega t))+\dot{y}(y-\ell\,\mathrm{sen}(\Omega t))+\ell\Omega(x\,\mathrm{sen}(\Omega t)-y\cos(\Omega t))=0</math></center>

	La forma pfaffiana se obteien multiplicando la condición cinemática por <math>\mathrm{d}t</math>		La forma pfaffiana se obteien multiplicando la condición cinemática por <math>\mathrm{d}t</math>

	<center><math>\mathrm{d}x(x-b\cos(\Omega t))+\mathrm{d}y(y-b\,\mathrm{sen}(\Omega t))+b\Omega\,\mathrm{d}t(x\,\mathrm{sen}(\Omega t)-y\cos(\Omega t))=0</math></center>		<center><math>\mathrm{d}x(x-\ell\cos(\Omega t))+\mathrm{d}y(y-\ell\,\mathrm{sen}(\Omega t))+\ell\Omega\,\mathrm{d}t(x\,\mathrm{sen}(\Omega t)-y\cos(\Omega t))=0</math></center>

	==Ecuación de movimiento==		==Ecuación de movimiento==
	Siguiendo los cálculos y la notación del problema “[[Cinem%C3%A1tica_de_dos_barras_articuladas_(CMR)\|Dos barras articuladas]]” la posición, velocidad y aceleración de A son		Siguiendo los cálculos y la notación del problema “[[Cinem%C3%A1tica_de_dos_barras_articuladas_(CMR)\|Dos barras articuladas]]” la posición, velocidad y aceleración de A son

	<center><math>\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_2\qquad\qquad \vec{v}^A_{21}=b\Omega\vec{\jmath}_2\qquad\qquad \vec{a}^A_{21}=-b\Omega^2\vec{\imath}_2</math></center>		<center><math>\overrightarrow{OA}=\ell\vec{\imath}_2\qquad\qquad \vec{v}^A_{21}=\ell\Omega\vec{\jmath}_2\qquad\qquad \vec{a}^A_{21}=-\ell\Omega^2\vec{\imath}_2</math></center>

	Por ser A una articulación entre los sólidos 2 y 3, estos valores corresponden también al movimiento {31}.		Por ser A una articulación entre los sólidos 2 y 3, estos valores corresponden también al movimiento {31}.
Línea 43:		Línea 43:
	Para el punto P tenemos la posición		Para el punto P tenemos la posición

	<center><math>\overrightarrow{OP}=b\vec{\imath}_2+\ell\vec{\imath}_3</math></center>		<center><math>\overrightarrow{OP}=\ell\vec{\imath}_2+\ell\vec{\imath}_3</math></center>

	la velocidad		la velocidad

	<center><math>\vec{v}^P_{31}=b\Omega\vec{\jmath}_2+\ell(\Omega+\dot{\theta})\vec{\jmath}_3</math></center>		<center><math>\vec{v}^P_{31}=\ell\Omega\vec{\jmath}_2+\ell(\Omega+\dot{\theta})\vec{\jmath}_3</math></center>

	y la aceleración		y la aceleración

	<center><math>\vec{a}^P_{31}=-b\Omega^2\vec{\imath}_2+\ell\ddot{\theta}\vec{\jmath}_3-\ell(\Omega+\dot{\theta})^2\vec{\jmath}_3</math></center>		<center><math>\vec{a}^P_{31}=-\ell\Omega^2\vec{\imath}_2+\ell\ddot{\theta}\vec{\jmath}_3-\ell(\Omega+\dot{\theta})^2\vec{\jmath}_3</math></center>

	La única fuerza que actúa sobre la masa en P es la tensión de la varilla, de manera que la segunda Ley de Newton queda		La única fuerza que actúa sobre la masa en P es la tensión de la varilla, de manera que la segunda Ley de Newton queda
Línea 59:		Línea 59:
	Sustituimos la aceleración de P		Sustituimos la aceleración de P

	<center><math>-mb\Omega^2\vec{\imath}_2+m\ell\ddot{\theta}\vec{\jmath}_3-m\ell(\Omega+\dot{\theta})^2\vec{\jmath}_3=-F_{T}\vec{\imath}_3</math></center>		<center><math>-m\ell\Omega^2\vec{\imath}_2+m\ell\ddot{\theta}\vec{\jmath}_3-m\ell(\Omega+\dot{\theta})^2\vec{\jmath}_3=-F_{T}\vec{\imath}_3</math></center>

	Para eliminar la tensión de los cálculos proyectamos sobre la dirección ortogonal, que en este caso es la de <math>\vec{\jmath}_3</math>. Queda		Para eliminar la tensión de los cálculos proyectamos sobre la dirección ortogonal, que en este caso es la de <math>\vec{\jmath}_3</math>. Queda

	<center><math>mb\Omega^2\,\mathrm{sen}(\theta)+m\ell\ddot{\theta}=0</math></center>		<center><math>m\ell\Omega^2\,\mathrm{sen}(\theta)+m\ell\ddot{\theta}=0</math></center>

	o, equivalentemente,		o, equivalentemente,

	<center><math>\ddot{\theta}=-\frac{b\Omega^2}{\ell}\mathrm{sen}(\theta)</math></center>		<center><math>\ddot{\theta}=-\frac{\ell\Omega^2}{\ell}\mathrm{sen}(\theta)</math></center>

	Esta es la ecuación de un péndulo simple. Empleando fuerzas ficticias, diríamos que aquí el papel de la gravedad lo desempeña la fuerza centrífuga. Así es como se llegaría a este mismo resultado empleando un sistema de referencia en rotación.		Esta es la ecuación de un péndulo simple. Empleando fuerzas ficticias, diríamos que aquí el papel de la gravedad lo desempeña la fuerza centrífuga. Así es como se llegaría a este mismo resultado empleando un sistema de referencia en rotación.