Pedro: Página creada con «== Enunciado == Usando el álgebra vectorial, demuestre que las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto. == Solución == right Nombramos los vértices del rombo $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , como se indica en la figura. Recorriendo el rombo en sentido horario, tenemos los vectores $\begin{array}{cccc} \overrightarrow{AB},&\overrightarrow{BC},&\overrightarrow{CD},&\overright…»$

2023-09-26T09:33:16Z

Página creada con «== Enunciado == Usando el álgebra vectorial, demuestre que las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto. == Solución == right Nombramos los vértices del rombo <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math>, como se indica en la figura. Recorriendo el rombo en sentido horario, tenemos los vectores <center><math> \begin{array}{cccc} \overrightarrow{AB},&\overrightarrow{BC},&\overrightarrow{CD},&\overright…»

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== Enunciado ==
Usando el álgebra vectorial, demuestre que las diagonales de un rombo
se cortan en ángulo recto.

== Solución ==
[[Imagen:F1_GIA_b02_p04.png|right]]

Nombramos los vértices del rombo <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math>, como se indica en
la figura. Recorriendo el rombo en sentido horario, tenemos los
vectores
<center><math>
\begin{array}{cccc}
\overrightarrow{AB},&\overrightarrow{BC},&\overrightarrow{CD},&\overrightarrow{DA}.
\end{array}
</math></center>
Al ser un rombo los lados opuestos tienen la misma longitud y los
vértices opuestos el mismo ángulo. La condición para los vectores es
<center><math>
\begin{array}{ccc}
\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD},&&\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{DA}
\end{array}
</math></center>
Las diagonales pueden calcularse como la suma vectorial de los
vectores de los lados
<center><math>
\begin{array}{cc}
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\\ \\
\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}
\end{array}
</math></center>
El producto escalar de los vectores de las diagonales es
<center><math>
\begin{array}{ll}
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}& =
(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\cdot(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})\\
&=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}+
\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CD}
\end{array}
</math></center>
Sustituyendo la primera igualdad de la segunda serie de ecuaciones tenemos
<center><math>
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+
\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB}
</math></center>
El primer y el último término se anulan pues el producto escalar es
conmutativo. Los otros dos términos son el producto escalar de un
vector por si mismo, es decir
<center><math>
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=-|\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{BC}|^2
</math></center>
Pero el módulo de esos vectores es precisamente la longitud del lado
del rombo. Por tanto
<center><math>
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\, \to\, \overrightarrow{AC}\,\perp\,\overrightarrow{BD}
</math></center>

[[Categoría:Vectores libres|0]]
[[Categoría:Física I (G.I.A.)]]
[[Categoría:Física I (G.I.T.I.)]]
[[Categoría:Física I (G.I.C.)]]

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