Pedro: Página creada con «= Enunciado = Dados un vector cualquiera $\vec{A}$ y un vector unitario $\vec{u}$ , expresa el vector $\vec{A}$ como la suma de un vector paralelo a $\vec{u}$ y otro perpendicular a $\vec{u}$ . = Solución = Hay que expresar el vector $\vec{A}$ como $\vec{A} = \vec{A}_{\parallel} + \vec{A}_{\perp},$ donde $\vec{A}_{\parallel}\parallel\vec{u}$ y $\vec{A}_{…»$

2023-09-26T09:45:13Z

Página creada con «= Enunciado = Dados un vector cualquiera <math>\vec{A}</math> y un vector unitario <math>\vec{u}</math>, expresa el vector <math>\vec{A}</math> como la suma de un vector paralelo a <math>\vec{u}</math> y otro perpendicular a <math>\vec{u}</math>. = Solución = Hay que expresar el vector <math>\vec{A}</math> como <center> <math> \vec{A} = \vec{A}_{\parallel} + \vec{A}_{\perp}, </math> </center> donde <math>\vec{A}_{\parallel}\parallel\vec{u}</math> y <math>\vec{A}_{…»

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= Enunciado =
Dados un vector cualquiera <math>\vec{A}</math> y un vector unitario <math>\vec{u}</math>, expresa el vector <math>\vec{A}</math> como la suma de un vector paralelo a <math>\vec{u}</math> y otro perpendicular a <math>\vec{u}</math>.

= Solución =

Hay que expresar el vector <math>\vec{A}</math> como
<center>
<math>
\vec{A} = \vec{A}_{\parallel} + \vec{A}_{\perp},
</math>
</center>
donde <math>\vec{A}_{\parallel}\parallel\vec{u}</math> y <math>\vec{A}_{\perp}\perp\vec{u}</math>, siendo <math>|\vec{u}|=1</math>.

Para encontrar <math>\vec{A}_{\parallel}</math> usamos que el producto escalar de <math>\vec{A}</math> por <math>\vec{u}</math> es la proyección de <math>\vec{A}</math> sobre <math>\vec{u}</math>. Para obtener el vector <math>\vec{A}_{\parallel}</math> basta con multiplicar esta proyección por <math>\vec{u}</math>
<center>
<math>
\vec{A}_{\parallel} = (\vec{A}\cdot\vec{u})\,\vec{u}.
</math>
</center>
El módulo de <math>\vec{A}_{\perp}</math> se obtiene con el producto vectorial
<center>
<math>
|\vec{A}_{\perp}| = |\vec{A}\times\vec{u}|
</math>
</center>
[[File:F1GIC_vectoAParalllelPerpendicular.png|right]]
Debemos hallar un vector unitario <math>\vec{u}_{\perp}</math> que sea perpendicular a <math>\vec{u}</math> y que esté en el plano definido por <math>\vec{A}</math> y <math>\vec{u}</math>. El vector
<center>
<math>
\vec{v} = \dfrac{\vec{A}\times\vec{u}}{|\vec{A}\times\vec{u}|}
</math>
</center>
es unitario y perpendicular al plano definido por <math>\vec{A}</math> y <math>\vec{u}</math>. Entonces
<center>
<math>
\vec{u}_{\perp} = \vec{u}\times\vec{v}.
</math>
</center>
Entonces
<center>
<math>
\vec{A}_{\perp} = |\vec{A}\times\vec{u}|\,\vec{u}_{\perp}
=
|\vec{A}\times\vec{u}|\,\vec{u}\times\vec{v}
=
|\vec{A}\times\vec{u}|\,\vec{u}\times\dfrac{\vec{A}\times\vec{u}}{|\vec{A}\times\vec{u}|}
=
\vec{u}\times(\vec{A}\times\vec{u})
</math>
</center>
Es decir
<center>
<math>
\vec{A} = (\vec{A}\cdot\vec{u})\,\vec{u} +
\vec{u}\times(\vec{A}\times\vec{u}).
</math>
</center>
El primer vector es paralelo a <math>\vec{u}</math> y el segundo perpendicular.
[[Categoría:Problemas de Álgebra Vectorial]]
[[Categoría:Problemas de Física I (G.I.C.)|1]]

Descomposición de un vector (G.I.C.) - Historial de revisiones