Derivada de un vector (G.I.C.) - Historial de revisiones

Pedro: Página creada con «== Enunciado == Un punto recorre una circunferencia de radio $R$ , de modo que en cada instante el vector que une el centro de la circunferencia con el punto forma un ángulo $\alpha$ con el eje $OX$ . #Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo $\alpha$ . #Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo $\alpha$ . # Si el ángulo $\alpha$
2023-09-26T09:43:23Z

Página creada con «== Enunciado == Un punto recorre una circunferencia de radio <math>R</math>, de modo que en cada instante el vector que une el centro de la circunferencia con el punto forma un ángulo <math>\alpha</math> con el eje <math>OX</math>. #Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo <math>\alpha</math>. #Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo <math>\alpha</math>. # Si el ángulo <math>\alpha</m…»

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== Enunciado ==
Un punto recorre una circunferencia de radio <math>R</math>, de modo que en cada
instante el vector que une el centro de la circunferencia con el punto forma un ángulo <math>\alpha</math> con el eje <math>OX</math>.
#Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo <math>\alpha</math>.
#Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo <math>\alpha</math>.
# Si el ángulo <math>\alpha</math> depende del tiempo como <math>\alpha=\omega t</math>, calcula la derivada del vector de posición respecto del tiempo.

== Solución ==

=== Vector en función del ángulo <math>\alpha </math>===
[[Imagen:F1_GIC_derivada_de_un_vector.png|right]]
Proyectamos el vector de posición sobre los ejes <math>OX </math> y <math>OY </math>
<center>
<math>
\vec{r}(\alpha) = R\cos\alpha\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
También podemos escribir el vector en términos de sus componentes cartesianas
<center>
<math>
\vec{r}(\alpha) \equiv
\left\{
\begin{array}{l}
x = R\cos\alpha \\
\\
y = R\,\mathrm{sen}\,\alpha \\
\\
z=0
\end{array}
\right.
</math>
</center>

=== Derivada del vector respecto de <math>\alpha </math>===
Los vectores de la base cartesiana no cambian cuando el ángulo <math>\alpha </math> varía. Así pues, la derivada del vector <math>\vec{r}(\alpha) </math> es el vector
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\alpha} =
\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\alpha}\,\vec{\imath} +
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\alpha}\,\vec{\jmath} +
\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\alpha}\,\vec{k} =
-R\,\mathrm{sen}\alpha\,\vec{\imath} + R\cos\alpha\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
En la figura se muestra la dirección de este vector. Como el módulo de <math>\vec{r}(\alpha)</math> es constante (e igual a <math>R</math>), el vector derivada apunta en la dirección y sentido en que se mueve el extremo del vector <math>\vec{r}(\alpha)</math>.

===Derivada respecto al tiempo ===
Ahora el ángulo <math>\alpha </math> es una función del tiempo
<center>
<math>
\alpha(t) = \omega t
</math>
</center>
Aplicamos la regla de la cadena
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} =
\left( \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\alpha} \right)
\left(\dfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t} \right)
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t} = \omega
</math>
</center>
Por tanto
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \omega\,\left( \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\alpha} \right)
=
-R\,\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\imath} + R\,\omega\cos(\omega t)\,\vec{\jmath}
</math>
</center>

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[[Categoría:Física I (G.I.C.)]]