Densidad de corriente radial - Historial de revisiones

Antonio: /* Solución */

2025-05-08T15:51:49Z

Solución

← Revisión anterior		Revisión del 17:51 8 may 2025
Línea 26:		Línea 26:

	# Si <math>r < b</math> (en particular, si <math>r = b/2</math>) el segundo miembro es negativo y por tanto la carga está disminuyendo. La densidad de corriente va hacia fuera de esa esfera.		# Si <math>r < b</math> (en particular, si <math>r = b/2</math>) el segundo miembro es negativo y por tanto la carga está disminuyendo. La densidad de corriente va hacia fuera de esa esfera.

	# Si <math>r=b</math> la derivada de la carga encerrada se anula. Esto quiere decir que en esa esfera la carga total permanece constante.		# Si <math>r=b</math> la derivada de la carga encerrada se anula. Esto quiere decir que en esa esfera la carga total permanece constante.

	# Si <math>r > b</math> (en particular, si <math>r =2b</math>) el segundo miembro es positivo y por tanto la carga está aumentandoo. La densidad de corriente va hacia el interior de esa esfera.		# Si <math>r > b</math> (en particular, si <math>r =2b</math>) el segundo miembro es positivo y por tanto la carga está aumentandoo. La densidad de corriente va hacia el interior de esa esfera.

Antonio: /* Solución */

2025-05-08T15:51:29Z

Solución

← Revisión anterior		Revisión del 17:51 8 may 2025
Línea 17:		Línea 17:
	Si aplicamos esta ley a una superficie esférica tenemos que, al ser la densidad de corriente un campo central		Si aplicamos esta ley a una superficie esférica tenemos que, al ser la densidad de corriente un campo central

	<center><math>\oint \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_{r=\mathrm{cte}) J(r)\vec{u}_r\cdot\left(\mathrm{d}S\vec{u}_r\right)=J(r)S=4\pi r^2 J</math></center>		<center><math>\oint \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_{r=\mathrm{cte}} J(r)\vec{u}_r\cdot\left(\mathrm{d}S\vec{u}_r\right)=J(r)S=4\pi r^2 J</math></center>

	y, por tanto,		y, por tanto,

Antonio: Página creada con «==Enunciado== En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como $\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r$ con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y $\vec{u}_r$ el vector unitario radial hacia afuera. # ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de rad…»

2025-05-08T15:51:02Z

Página creada con «==Enunciado== En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como <center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center> con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera. # ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de rad…»

Página nueva

==Enunciado==
En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

<center><math>\vec{J}(r) = A r (b-r)\vec{u}_r</math></center>

con ''A'' y ''b'' dos constantes positivas, ''r'' la distancia al origen de coordenadas y <math>\vec{u}_r</math> el vector unitario radial hacia afuera.
# ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio ''b''/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
# ¿Y si la esfera tiene radio ''b''?
# ¿Y si tiene radio 2''b''?
==Solución==
Podemos solucionar este problema de una manera general, suponiendo un radio r arbitrario y luego particularizando para los tres casos indicados.

De acuerdo con la ley de conservación de la carga, la derivada de la carga encerrada por una superficie es igual a

<center><math>\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\oint \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}</math></center>

Si aplicamos esta ley a una superficie esférica tenemos que, al ser la densidad de corriente un campo central

<center><math>\oint \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\int_{r=\mathrm{cte}) J(r)\vec{u}_r\cdot\left(\mathrm{d}S\vec{u}_r\right)=J(r)S=4\pi r^2 J</math></center>

y, por tanto,

<center><math>\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-4\pi r^2 J(r)=-4\pi A r^3(b-r)</math></center>

Tenemos los tres casos siguientes:

# Si <math>r < b</math> (en particular, si <math>r = b/2</math>) el segundo miembro es negativo y por tanto la carga está disminuyendo. La densidad de corriente va hacia fuera de esa esfera.

# Si <math>r=b</math> la derivada de la carga encerrada se anula. Esto quiere decir que en esa esfera la carga total permanece constante.

# Si <math>r > b</math> (en particular, si <math>r =2b</math>) el segundo miembro es positivo y por tanto la carga está aumentandoo. La densidad de corriente va hacia el interior de esa esfera.