Pedro: Página creada con «== Enunciado == right Una partícula se mueve en el plano $OXY$ mientras permanece conectada a uno de los extremos de un hilo inextensible de longitud $\ l=\pi R\$ . El otro extremo está unido a un punto fijo $A$ de una circunferencia de radio $R$ y centro $O$ , cuyas coordenadas en el sistema cartesiano $OXY$ son $\overrightarrow{OA}= R \vec{\imath}$ . Partiendo…»

2023-09-27T11:04:25Z

Página creada con «== Enunciado == right Una partícula se mueve en el plano <math>OXY</math> mientras permanece conectada a uno de los extremos de un hilo inextensible de longitud <math>\ l=\pi R\ </math>. El otro extremo está unido a un punto fijo <math>A</math> de una circunferencia de radio <math>R</math> y centro <math>O</math>, cuyas coordenadas en el sistema cartesiano <math>OXY</math> son <math>\overrightarrow{OA}= R \vec{\imath}</math>. Partiendo…»

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== Enunciado ==
[[Imagen:F1_GIA_p04_04_a.png|right]]
Una partícula se mueve en el plano <math>OXY</math> mientras permanece
conectada a uno de los extremos de un hilo inextensible de longitud
<math>\ l=\pi R\ </math>. El otro extremo está unido a un punto fijo <math>A</math> de una
circunferencia de radio <math>R</math> y centro <math>O</math>, cuyas coordenadas en el
sistema cartesiano <math>OXY</math> son <math>\overrightarrow{OA}= R \vec{\imath}</math>. Partiendo
de la posición inicial <math>\left.\overrightarrow{OP}\right|_{t=0} = R
\left( \vec{\imath} + \pi \vec{\jmath}
\right)</math>, el movimiento de la partícula con velocidad de módulo
constante <math>v_0</math> da lugar a que el hilo, que permanece siempre tenso,
se enrolle en dicha circunferencia. Utilizando como parámetro el
ángulo <math>\theta</math> correspondiente al punto <math>C</math> donde desaparece el
contacto hilo--circunferencia, calcula:
#Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria seguida por la partícula.
#La ley horaria del movimiento <math> \theta=\theta (t) </math> y tiempo que tarda el hilo en enrollarse completamente sobre la circunferencia.
#La aceleración de la partícula.
#El triedro intrínseco de la trayectoria seguida por la partícula

== Solución ==

=== Ecuaciones de la trayectoria ===

[[Imagen:F1_GIA_p04_04_b.png|right]]
Vamos a determinar el vector de posición de la partícula <math>\overrightarrow{OP}</math>
en función del ángulo <math>\theta</math>. Podemos construir ese vector como
<center><math>
\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CP}
</math></center>
El módulo del vector <math>\overrightarrow{OC}</math> es <math>|\overrightarrow{OC}|=R</math>, y forma un ángulo
<math>\theta</math> con el eje <math>OX</math>. Entonces
<center><math>
\overrightarrow{OC} = R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}.
</math></center>
Por otro lado, el vector <math>\overrightarrow{CP}</math> es perpendicular a
<math>\overrightarrow{OC}</math>. Observando la figura vemos que puede descomponerse como
<center><math>
\overrightarrow{CP} = |\overrightarrow{CP}| (-\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + \cos\theta\,\vec{\jmath})
</math></center>
El módulo <math>|\overrightarrow{CP}|</math> es la longitud total de la cuerda menos la
longitud del arco de la circunferencia entre los puntos <math>A</math> y <math>C</math>,
esto es
<center><math>
|\overrightarrow{CP}| = l - \theta R = \pi R - \theta R = (\pi-\theta)\,R
</math></center>
Por tanto el vector <math>\overrightarrow{CP}</math> es
<center><math>
\overrightarrow{CP} = -(\pi-\theta)\,R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} +
(\pi-\theta)\,R\cos\theta\,\vec{\jmath}
</math></center>
y el vector de posición del punto <math>P</math> es
<center><math>
\overrightarrow{OP}(t) = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CP} =
R\,[\cos\theta-(\pi-\theta)\,\mathrm{sen}\,\theta]\,\vec{\imath} +
R\,[\,\mathrm{sen}\,\theta+(\pi-\theta)\cos\theta]\,\vec{\jmath}
</math></center>
La posición inicial del punto es
<center><math>
\overrightarrow{OP} = \big\rfloor_{t=0} = R\,\left( \vec{\imath} + \pi \vec{\jmath} \right),
</math></center>
es decir,
<center><math>
\theta(t=0) = 0.
</math></center>

La velocidad del punto <math>P</math> es la derivada respecto al tiempo del
vector de posición. Operando obtenemos
<center><math>
\vec{v}_P = \dot{\overrightarrow{OP}}= \frac{\displaystyle\mathrm{d}(\overrightarrow{OP})}{\displaystyle\mathrm{d}\theta}\frac{\displaystyle\mathrm{d}\theta}{\displaystyle\mathrm{d}t}= -R\,(\pi-\theta)\,\dot{\theta}\,
(\cos\theta\,\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}).
</math></center>

=== Ley horaria <math>\boldsymbol{\theta(t)}</math> ===

El enunciado nos dice que el módulo de la
velocidad es <math>v_0</math>, constante en el tiempo. Esto nos da una ecuación
diferencial para el ángulo
<center><math>
v_0 = |\vec{v}_P| = R\,(\pi-\theta)\,\dot{\theta}\Rightarrow
v_0 = |\vec{v}_P| = R\,(\pi-\theta)\,\frac{\displaystyle\mathrm{d}\theta}{\displaystyle\mathrm{d}t}\Rightarrow
(\pi-\theta)\,\mathrm{d}\theta = \dfrac{v_0}{R}\mathrm{d}t.
</math></center>
Integrando una vez obtenemos
<center><math>
\pi\theta - \dfrac{1}{2}\theta^2 = \dfrac{v_0}{R}t + A
</math></center>
La constante se determina de la condición inicial. Sustituyendo <math>t=0</math> y <math>\theta(t=0)=0</math> obtenemos
<center><math>
A=0
</math></center>
y por tanto la ley horaria para el ángulo es
<center><math>
\theta^2(t) -2\pi\theta + \dfrac{2v_0}{R}t = 0.
</math></center>
Esto es una ecuación de segundo grado, cuya solución es
<center><math>
\theta(t) = \pi \pm\sqrt{\pi^2-\dfrac{2v_0t}{R}}
</math></center>
Para que las soluciones sean reales el radicando debe ser mayor que
cero, es decir
<center><math>
\pi^2-\dfrac{2v_0t}{R}\ge 0 \Rightarrow t\le \dfrac{\pi^2R}{2v_o}
</math></center>
Por tanto, el valor máximo del tiempo es
<center><math>
T = \dfrac{\pi^2R}{2v_o}
</math></center>
Sustituyendo en la expresión de <math>\theta(t) </math> obtenemos
<center><math>
\theta(t) = \pi \left( 1 \pm \sqrt{1-\dfrac{t}{T}}\right).
</math></center>
Ahora bien, el valor máximo de <math>\theta</math> es <math>\pi</math>, pues en ese instante
la cuerda está completamente arrollada. Esto permite eliminar la
solución con la raíz positiva, pues en ella el ángulo <math>\theta</math> varía entre <math>2\pi</math> y <math>\pi</math>. Nos queda entonces
<center><math>
\theta(t) = \pi \left( 1 - \sqrt{1-\dfrac{t}{T}}\right).
</math></center>
Observemos que el valor <math>t=T</math> corresponde precisamente a <math>\theta=\pi</math>.

===Aceleración===
[[Imagen:F1_GIA_p04_04_c.png|right]]

Para obtener la aceleración derivamos el vector velocidad respecto al
tiempo
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{v}_P = -v_0(\cos\theta\,\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}), \\ \\
\vec{a}_P = \dot{\vec{v}}_P = v_0\dot{\theta}(\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}-\cos\theta\vec{\jmath}).
\end{array}
</math></center>
En la ecuación diferencial podemos despejar <math>\dot{\theta} </math> en función de <math>v_0 </math> y <math>\theta </math>. Obtenemos
<center><math>
\vec{a}_P = \dfrac{v_0^2}{R\,(\pi-\theta)}(\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}-\cos\theta\vec{\jmath}).
</math></center>
Como puede verse en el dibujo, la aceleración es perpendicular en
todo instante a la velocidad. Esto es razonable, pues el módulo de la
velocidad se supone constante, y por tanto la aceleración tangencial
es nula.

===Triedro intrínseco===
Podemos ahora obtener el triedro intrínseco de la trayectoria descrita
por la partícula. El vector tangente es un vector unitario tangente a la
trayectoria, es decir, con la dirección y sentido del vector velocidad en cada
punto de la curva. Entonces puede construirse dividiendo el vector velocidad por su
módulo
<center><math>
\vec{T} = -\cos\theta\,\vec{\imath} - \,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}.
</math></center>
El vector normal es un vector unitario que apunta en la dirección y sentido de
la componente del vector velocidad perpendicular a la velocidad.
<center><math>
\vec{a} = a_T\vec{T} + a_N\vec{N} \Longrightarrow\vec{N} =
\dfrac{1}{a_N}\left(\vec{a}-a_T\vec{T}\right)
</math></center>
En este problema la aceleración no tiene componente tangencial, entonces
<center><math>
\vec{N} = \dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} - \cos\theta\,\vec{\jmath}
</math></center>
El vector binormal se obtiene multiplicando vectorialmente el vector tangente por el
normal. Es decir, el triedro intrínseco es
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{T} = -\cos\theta\,\vec{\imath} - \,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}\\ \\
\vec{N} = \,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} - \cos\theta\,\vec{\jmath}\\ \\
\vec{B} = \vec{T}\times\vec{N} = \vec{k}
\end{array}
</math></center>
El vector binormal es constante pues la trayectoria es plana. En la figura se muestran los vectores
tangente y normal correspondientes a la posición de la partícula.

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