Pedro: Página creada con «==Definición== right En el caso del movimiento bidimensional de un punto material resulta útil en muchas ocasiones trabajar con '''coordenadas polares'''. Usaremos la figura para definirlas. Sea un punto $P$ situado en el plano $OXY$ con coordenadas cartesianas $(x,y)$ . Su vector de posición respecto al origen del sistema de referencia es $\vec{r} = \overrightarrow{O…»$

2023-10-31T12:52:00Z

Página creada con «==Definición== right En el caso del movimiento bidimensional de un punto material resulta útil en muchas ocasiones trabajar con '''coordenadas polares'''. Usaremos la figura para definirlas. Sea un punto <math>P </math> situado en el plano <math>OXY </math> con coordenadas cartesianas <math>(x,y) </math>. Su vector de posición respecto al origen del sistema de referencia es <center> <math> \vec{r} = \overrightarrow{O…»

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==Definición==
[[Imagen:Coordenadas_polares_definicion.png|right]]
En el caso del movimiento bidimensional de un punto material resulta útil en muchas ocasiones trabajar con '''coordenadas polares'''. Usaremos la figura para definirlas.

Sea un punto <math>P </math> situado en el plano <math>OXY </math> con
coordenadas cartesianas <math>(x,y) </math>. Su vector de posición
respecto al origen del sistema de referencia es
<center>
<math>
\vec{r} = \overrightarrow{OP}
</math>
</center>
Las coordenadas polares <math>(\rho,\theta) </math> se definen de la
siguiente forma
#La coordenada <math>\rho </math> es la distancia del punto <math>P </math> al punto <math>O </math>. Puede variar entre los valores 0 y <math>\infty </math>.
#La coordenada <math>\theta </math> es el ángulo que forma el vector <math>\vec{r} </math> con el eje <math>OX </math>. Puede variar entre los valores 0 y <math>2\pi </math>.

Estas dos coordenadas permiten describir de forma unívoca la posición
de cualquier punto en el plano <math>OXY </math>.
<center>
<math>
\begin{array}{ccc}
P(\rho,\theta)\qquad\qquad & \rho\in[0,\infty)\qquad\qquad &
\theta\in[0,2\pi)
\end{array}
</math>
</center>
El intervalo para <math>\theta </math> es abierto a la derecha para evitar
llegar al valor de <math>2\pi </math>. De lo contrario, los puntos
del eje <math>OX </math> aparecerían dos veces, para <math>\theta=0 </math>
y para <math>\theta= 2\pi </math>.

== Relación con las coordenadas cartesianas ==
Cada par de valores <math>(x,y) </math> corresponde unívocamente a un
par de valores <math>\rho,\theta </math>. La relación entre estos dos pares
puede obtenerse a partir de la figura.
Teniendo en cuenta el triángulo rectángulo formado por los catetos de longitud <math>x </math> e <math>y </math> y
la hipotenusa de longitud <math>\rho </math> tenemos
<center>
{| style="text-align: center; width: 400px; height: 200px; border: 1px solid black; cellpading='0'"
|-
!style="border: 1px solid black; background: lavender"|Polares → cartesianas
!style="border: 1px solid black; background: lavender"|Cartesianas → polares
|-
|style="border: 1px solid black;"| <math>x = \rho\,\cos\theta </math>
|style="border: 1px solid black;"| <math>\rho=\sqrt{x^2+y^2} </math>
|-
|style="border: 1px solid black;"| <math>y = \rho\,\mathrm{sen}\,\theta </math>
|style="border: 1px solid black;"| <math>\theta = \mathrm{arctan}(y/x) </math>
|}
</center>

=== Base vectorial en polares ===

Al igual que el sistema de coordenadas cartesianas, las coordenadas polares
llevan asociada una base vectorial. Esta base la componen los vectores unitarios
<math>\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta} \} </math> pintados en verde en la figura.

El vector <math>\vec{u}_{\rho} </math> apunta en la dirección y sentido
en que nos movemos si variamos la coordenada <math>\rho </math> manteniendo
<math> \theta</math> constante. Si <math>\rho </math> aumenta nos alejamos
radialmente del punto <math>O </math>, y si disminuye nos dirigimos hacia
<math>O </math>.

De igual modo, el vector <math>\vec{u}_{\theta} </math> apunta en la
dirección y sentido en que nos movemos si varía <math>\theta </math>
manteniendo <math>\rho </math> constante. Si <math>\theta </math> aumenta
nos desplazamos sobre la tangente a la circunferencia de radio <math>\rho </math> centrada en <math>O </math>, en sentido contrario a las agujas del
reloj. Si <math>\theta </math> disminuye el sentido del desplazamiento
es el de las agujas del reloj.

Usando los ángulos indicados en la figura podemos expresar los vectores de
la base polar en función de los vectores de la base cartesiana
<center>
{| style="text-align: center; height: 40px; border: 1px solid black; cellpading='0'"
|<math>
\begin{array}{l}
\vec{u}_{\rho} = \cos\theta\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}\\ \\
\vec{u}_{\theta} = -\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + \cos\theta\,\vec{\jmath}
\end{array}
</math>
|}
</center>
[[Imagen:Coordenadas_polares_vectores_polares_variables.png|right]]
Hay que destacar que, a diferencia de los vectores de la base cartesiana,
los vectores de la base polar '''no son constantes'''. Esto quiere decir
que varían en dirección y sentido al cambiar de punto en el plano. Algunos
ejemplos
<center>
{| style="text-align: center; width : 400px; height: 200px; border: 1px solid black; cellpading='5'"
|-
|style="border: 1px solid black; background: lavender"| <math>\theta </math>
|style="border: 1px solid black; background: lavender"| <math>\vec{u}_{\rho} </math>
|style="border: 1px solid black; background: lavender"| <math>\vec{u}_{\theta} </math>
|-
|style="border: 1px solid black;width : 400px;"| 0
|style="border: 1px solid black;"| <math>\vec{\imath} </math>
|style="border: 1px solid black;"| <math>\vec{\jmath} </math>
|-
|style="border: 1px solid black;width : 400px;"| <math>\pi/4 </math>
|style="border: 1px solid black;"| <math>\dfrac{1}{\sqrt{2}}\vec{\imath} + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\vec{\jmath} </math>
|style="border: 1px solid black;"| <math>-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\vec{\imath} + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\vec{\jmath} </math>
|-
|style="border: 1px solid black;width : 400px;"| <math>\pi/2 </math>
|style="border: 1px solid black;"| <math>\vec{\jmath} </math>
|style="border: 1px solid black;"| <math>-\vec{\imath} </math>
|}
</center>

Podemos obtener la expresión de los vectores de la base cartesiana en función de la base polar proyectando en la primera figura o despejando en la expresión de los vectores polares en función de los cartesianos. Así
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{\imath} = \cos\theta\,\vec{u}_{\rho} - \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_{\theta} \\ \\
\vec{\jmath} = \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_{\rho} + \cos\theta\,\vec{u}_{\theta}
\end{array}
</math>
</center>

== Vectores cinemáticos en coordenadas polares ==
=== Vector de posición ===
[[Imagen:Coordenadas_polares_cinematicas.png|right]]

Vamos a encontrar la expresión de los vectores de posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares. A partir del dibujo que el vector
de posición <math>\vec{r}=\overrightarrow{OP} </math> puede escribirse como
<center>
{| style="text-align: center; height: 40px; border: 1px solid black; cellpading='0'"
|-
|<math>\vec{r} = \rho\,\vec{u}_{\rho}</math>
|}
</center>
El vector de posición debe depender de <math>\rho </math> y <math>\theta </math>. Así que uno puede preguntarse donde está la coordenada <math>\theta </math> en esta expresión. La respuesta es que está en el vector <math>\vec{u}_{\rho} </math>, que depende de <math>\theta </math>.

=== Vector velocidad ===
A lo largo del movimiento del punto por el plano las coordenadas polares
cambian con el tiempo
<center>
<math>
\rho = \rho(t) \qquad\qquad \theta = \theta(t)
</math>
</center>
Para obtener la velocidad hay que derivar el vector de posición respecto
del tiempo. Pero hay que tener en cuenta que al moverse el punto, como varían
tanto <math>\rho </math> como <math>\theta </math>,
también varían los vectores <math>\vec{u}_{\rho} </math> y <math>\vec{u}_{\theta} </math>. Así pues, hay que derivar también el vector <math>\vec{u}_{\rho} </math> en la expresión de <math>\vec{r} </math>.
<center>
<math>
\vec{v} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} =
\dfrac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}\vec{u}_{\rho}
+
\rho\dfrac{\mathrm{d}\vec{u}_{\rho}}{\mathrm{d}t}
=
\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho} + \rho\, \dot{\vec{u}}_{\rho}
</math>
</center>
Para encontrar <math>\dot{\vec{u}}_{\rho} </math> usamos la expresión
en cartesianas del vector. Los vectores de la base cartesiana <math>\{\vec{\imath},\vec{\jmath}\} </math> no cambian durante el movimiento de la partícula, esto es, <math>\dot{\vec{\imath}}= \dot{\vec{\jmath}}=0 </math>.
Usando la regla de la cadena tenemos
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}\vec{u}_{\rho}}{\mathrm{d}t} =
\dfrac{\mathrm{d}\vec{u}_{\rho}}{\mathrm{d}\theta} \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}
=\dot{\theta}(-\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}+\cos\theta\,\vec{\jmath})
</math>
</center>
El vector entre paréntesis es precisamente <math>\vec{u}_{\theta} </math>.
Por tanto
<center>
<math>
\dot{\vec{u}}_{\rho} = \dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}
</math>
</center>
y la velocidad se escribe
<center>
{| style="text-align: center; height: 40px; border: 1px solid black; cellpading='0'"
|-
|<math>\vec{v} = \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho} + \rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}</math>
|}
</center>
El primer sumando representa la componente de la velocidad en la dirección
radial, mientras que el segundo sumando es la componente de la velocidad
en la dirección perpendicular a la radial.

=== Vector aceleración ===

Derivamos la velocidad respecto al tiempo para obtener la aceleración.
Tenemos en cuenta que <math>\rho </math>, <math>\theta</math>, <math>\vec{u}_{\rho} </math> y <math>\vec{u}_{\theta}</math> dependen del tiempo

<center>
<math>
\begin{array}{rl}
\vec{a} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} &
=
\dfrac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_{\rho}
+
\rho\,\dfrac{\mathrm{d}\vec{u}_{\rho}}{\mathrm{d}t}
+
\dfrac{\mathrm{d}(\rho\dot{\theta})}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_{\theta}
+
\rho\,\dot{\theta}\,\dfrac{\mathrm{d}\vec{u}_{\theta}}{\mathrm{d}t}
\\ &\\
&=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho} + \rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}
+(\dot{\rho}\,\dot{\theta} + \rho\,\ddot{\theta})\,\vec{u}_{\rho}
+\rho\,\dot{\theta}\,\dot{\vec{u}}_{\theta}
\end{array}
</math>
</center>
Para obtener la expresión de <math>\dot{\vec{u}}_{\theta} </math> utilizamos
de nuevo la expresión en cartesianas de <math>\vec{u}_{\theta} </math>
<center>
<math>
\dot{\vec{u}}_{\theta} = \dot{\theta}
\dfrac{\mathrm{d}\vec{u}_{\theta}}{\mathrm{d}\theta}
=-\dot{\theta}(\cos\theta\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}) = -\dot{\theta}\,\vec{u}_{\rho}
</math>
</center>
Finalmente, la expresión de la aceleración en coordenadas polares es
<center>
{| style="text-align: center; height: 40px; border: 1px solid black; cellpading='0'"
|-
|<math>\vec{a} = (\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_{\rho}+
(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta} + \rho\,\ddot{\theta})\,\vec{u}_{\theta}</math>
|}
</center>

Coordenadas polares - Historial de revisiones