Construcción de una base - Historial de revisiones

Pedro: Página creada con «==Enunciado== Dados los vectores $\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}$ Construya una base ortonormal dextrógira $\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}$ , tal que # El primer vector, $\vec{T}$ , vaya en la dirección y sentido de $\vec{v}$ # El segundo, $\vec{N}$ , esté contenido en el plano definido por $\vec{v}$ y $\vec{a}$
2023-12-11T14:59:40Z

Página creada con «==Enunciado== Dados los vectores <center><math>\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}</math></center> Construya una base ortonormal dextrógira <math>\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}</math>, tal que # El primer vector, <math>\vec{T}</math>, vaya en la dirección y sentido de <math>\vec{v}</math> # El segundo, <math>\vec{N}</math>, esté contenido en el plano definido por <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</m…»

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==Enunciado==
Dados los vectores

<center><math>\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}</math></center>

Construya una base ortonormal dextrógira <math>\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}</math>, tal que

# El primer vector, <math>\vec{T}</math>, vaya en la dirección y sentido de <math>\vec{v}</math>
# El segundo, <math>\vec{N}</math>, esté contenido en el plano definido por <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math> y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de <math>\vec{v}</math>) que el vector <math>\vec{a}</math>.
# El tercero, <math>\vec{B}</math>, sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.

==Primer vector==
Obtenemos el primer vector normalizando el vector <math>\vec{v}</math>, esto es, hallando el unitario en su dirección y sentido, lo que se consigue dividiendo este vector por su módulo

<center><math>\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}</math></center>

Hallamos el módulo de <math>\vec{v}</math>

<center><math> \left|\vec{v}\right| = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3</math></center>

por lo que

<center><math>\vec{T} = \frac{1}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}+\frac{2}{3}\vec{k}</math></center>

==Segundo vector==
El segundo vector debe estar en el plano definido por <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math>, por lo que debe ser una combinación lineal de ambos

<center><math>\vec{N} = \lambda\vec{v}+\mu\vec{a}</math></center>

además debe ser ortogonal a <math>\vec{T}</math> (y por tanto, a <math>\vec{v}</math>)

<center><math>\vec{N}\cdot\vec{T} = 0 = \vec{N}\cdot\vec{v}</math></center>

y debe ser unitario

<center><math>\vec{N}\cdot\vec{N}=1</math></center>

El procedimiento sistemático consiste en hallar la componente de <math>\vec{a}</math> perpendicular a <math>\vec{v}</math> y posteriormente normalizar el resultado.

La proyección normal la calculamos con ayuda del [[Vectores_en_física_(GIE)#Doble_producto_vectorial|doble producto vectorial]]

<center><math>\vec{a}_n = \frac{(\vec{v}\times\vec{a})\times\vec{v}}{|\vec{v}|^2}</math></center>

Calculamos el primer producto vectorial

<center><math>\vec{v}\times\vec{a}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2\\ 6 & 9 & 6\end{matrix}\right|=-6\vec{\imath}+6\vec{\jmath}-3\vec{k}</math></center>

Hallamos el segundo

<center><math>(\vec{v}\times\vec{a})\times \vec{v}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -6 & 6 & -3 \\ 1 & 2 & 2 \end{matrix}\right|=18\vec{\imath}+9\vec{\jmath}-18\vec{k}</math></center>

Dividiendo por el módulo de <math>\vec{v}</math> al cuadrado obtenemos la componente normal

<center><math>\vec{a}_n = \frac{(18\vec{\imath}+9\vec{\jmath}-18\vec{k})}{9}=2\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k}</math></center>

Alternativamente, podemos hallar esta proyección ortogonal restando al vector completo la parte paralela

<center><math>\vec{a}_n = \vec{a}-(\vec{a}\cdot\vec{T})\vec{T}</math></center>

Normalizando esta cantidad obtenemos el segundo vector de la base

<center><math>\vec{N} = \frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}=\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{1}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}</math></center>

==Tercer vector==
El tercer vector lo obtenemos como el producto vectorial de los dos primeros

<center><math>\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1/3 & 2/3 & 2/3 \\ 2/3 & 1/3 & -2/3\end{matrix}\right|=\frac{1}{9}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2\end{matrix}\right| = -\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{1}{3}\vec{k}</math></center>

Por tanto, la base ortonormal dextrógira está formada por los vectores

<center><math>
\begin{array}{lcr}
\vec{T} & = & \displaystyle\frac{1}{3}\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\vec{\jmath}+\displaystyle\frac{2}{3}\vec{k}\\&& \\
\vec{N} & = & \displaystyle\frac{2}{3}\vec{\imath}+\displaystyle\frac{1}{3}\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{2}{3}\vec{k}\\&& \\
\vec{B} & = & -\displaystyle\frac{2}{3}\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{1}{3}\vec{k}
\end{array}</math></center>

==Forma alternativa==
Podemos acortar un poco el proceso invirtiendo el orden de cálculo.

El tercer vector de la base es ortogonal a los dos primeros. También es ortogonal a cualquier combinación lineal de los dos primeros, en particular a los dos vectores del enunciado <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math>. Por ello, podemos calcular el tercer vector como

<center><math>\vec{B} = \frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}|}</math></center>

El producto vectorial vale

<center><math>\vec{v}\times\vec{a} = \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 6 & 9 & 6\end{matrix}\right| = -6\vec{\imath}+6\vec{\jmath}-3\vec{k}</math></center>

con módulo

<center><math>\left|\vec{v}\times\vec{a}\right| = \sqrt{6^2+6^2+3^2} = 9</math></center>

resultando el unitario

<center><math>\vec{B} = -\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{1}{3}\vec{k}</math></center>

El segundo vector lo obtenemos del producto vectorial del primero y el tercero, teniendo en cuenta el cambio de signo debido a la inversión del orden

<center><math>\vec{N} = -\vec{T}\times\vec{B} = -\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1/3 & 2/3 & 2/3 \\ -2/3 & 2/3 & -1/3\end{matrix}\right|=-\frac{1}{9}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & -1\end{matrix}\right| = \frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{1}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}</math></center>

[[Categoría:Problemas de herramientas matemáticas (GIE)]]