Pedro: Página creada con «== Enunciado == right Dos conos rectos de semiángulos en el vértice $\pi/3$ y $\pi/6$ (sólidos "0" y "2", respectivamente), se hallan en contacto en todo instante por una generatriz. Cada cono realiza un movimiento de rotación permanente respecto a un sistema de referencia fijo (sólido "1") alrededor de su correspondiente eje de simetría. Las velocidades angulares respectivas son $\vec{\Omega}(t)$ para…»

2023-09-25T14:04:07Z

Página creada con «== Enunciado == right Dos conos rectos de semiángulos en el vértice <math>\pi/3</math> y <math>\pi/6</math> (sólidos "0" y "2", respectivamente), se hallan en contacto en todo instante por una generatriz. Cada cono realiza un movimiento de rotación permanente respecto a un sistema de referencia fijo (sólido "1") alrededor de su correspondiente eje de simetría. Las velocidades angulares respectivas son <math>\vec{\Omega}(t)</math> para…»

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== Enunciado ==
[[Imagen:dos_conos_b.gif|right]]
Dos conos rectos de semiángulos en el vértice <math>\pi/3</math> y <math>\pi/6</math> (sólidos "0" y "2", respectivamente), se hallan en contacto en todo instante por una generatriz. Cada cono realiza un movimiento de rotación permanente respecto a un sistema de referencia fijo (sólido "1") alrededor de su correspondiente eje de simetría. Las velocidades angulares respectivas son <math>\vec{\Omega}(t)</math> para el movimiento {01} y <math>\vec{\omega}(t)</math> para el {21}. Además, los conos se mueven de manera que sus puntos en contacto no tienen deslizamiento relativo.
#¿Que tipo de movimiento es el {20}?
#En ese movimiento, ¿que puntos tienen velocidad mínima?
#¿Que relación deben cumplir las velocidades angulares del enunciado?
#Calcula la aceleración angular <math>\vec{\alpha}_{20} </math>.

== Solución ==

=== Tipo de movimiento ===
Todos los puntos de las generatrices que están en contacto tienen velocidad relativa nula en el movimiento {20}, mientras que los que no están en las generatrices no. Por tanto el movimiento {20} es una rotación. El eje instantáneo de esta rotación cambia con el tiempo desde el punto de vista de los conos, por lo que la rotación es instantánea.

=== Puntos con velocidad mínima en el movimiento {20} ===
Por lo explicado en el apartado anterior, los puntos de la generatrices en contacto tienen velocidad relativa nula, por tanto son los puntos con velocidad mínima.

=== Relación de las velocidades angulares ===

Vamos a reducir los movimientos de los conos

En el movimiento {01} tenemos
<center>
<math>
\vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_1 \qquad \qquad \vec{v}\,^O_{01} = \vec{0}
</math>
</center>
En el movimiento {21} tenemos
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{\imath}_1 \qquad \qquad \vec{v}\,^O_{21} = \vec{0}
</math>
</center>
Usando la composición de velocidades angulares
<center>
<math>
\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} =
\omega\,\vec{\imath}_1 - \Omega\,\vec{k}_1
</math>
</center>
Este vector debe ser paralelo a las generatrices en contacto de los conos. Del dibujo vemos que un vector paralelo a esta generatriz es
<center>
<math>
\vec{u} = -\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\,\vec{\imath}_1-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\,\vec{k}_1
=
-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\vec{\imath}_1 - \dfrac{1}{2}\,\vec{k}_1
</math>
</center>
Para que la dirección del eje instantáneo sea paralela a la generatriz debe ocurrir
<center>
<math>
\vec{u}\times\vec{\omega}_{20}=\vec{0} \Rightarrow \omega = -\sqrt{3}\,\Omega
</math>
</center>

=== Aceleración angular ===

Derivamos <math>\vec{\omega}_{20} </math> respecto al tiempo para obtener la aceleración.
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0
=
\dot{\omega}\,\vec{\imath}_1 + \omega\,\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\imath}_1}{\mathrm{d}t}\right|_0
-\dot{\Omega}\,\vec{k}_1 - \Omega\,\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{k}_1}{\mathrm{d}t}\right|_0
</math>
</center>
Usamos las fórmulas de Poisson para hacer las derivadas de los vectores de la base del sólido "1". Por un lado
<center>
<math>
\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\imath}_1}{\mathrm{d}t}\right|_0 =
\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\imath}_1}{\mathrm{d}t}\right|_1 + \vec{\omega}_{10}\times\vec{\imath}_1
=
-\vec{\omega}_{01}\times\vec{\imath}_1 = -(\Omega\,\vec{k}_1)\times\vec{\imath}_1
=
-\Omega\,\vec{\jmath}_1
</math>
</center>
Por otro
<center>
<math>
\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{k}_1}{\mathrm{d}t}\right|_0 =
\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{k}_1}{\mathrm{d}t}\right|_1 + \vec{\omega}_{10}\times\vec{k}_1
=
-\vec{\omega}_{01}\times\vec{k}_1 = -(\Omega\,\vec{k}_1)\times\vec{k}_1
=
\vec{0}
</math>
</center>
Así pues, la aceleración angular pedida es
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{20} = \dot{\omega}\,\vec{\imath}_1 - \omega\,\Omega\,\vec{\jmath}_1 - \dot{\Omega}\,\vec{k}_1
</math>
</center>
[[Categoría:Problemas de movimiento relativo]]

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