Pedro: Página creada con «= Enunciado = right Un cono con ángulo de abertura $\pi/4$ y radio de la base $R$ se mueve de modo que rueda sin deslizar sobre el plano fijo "1" y su vértice $C$ permanece fijo sobre el eje $OZ_1$ . La base del cono permanece siempre perpendicular al plano $OX_1Y_1$ . El sólido auxiliar "0" se escoge de modo que el plano $X_0Z_0$ contiene siempre a los puntos…»

2023-11-08T10:52:36Z

Página creada con «= Enunciado = right Un cono con ángulo de abertura <math>\pi/4</math> y radio de la base <math>R</math> se mueve de modo que rueda sin deslizar sobre el plano fijo "1" y su vértice <math>C</math> permanece fijo sobre el eje <math>OZ_1</math>. La base del cono permanece siempre perpendicular al plano <math>OX_1Y_1</math>. El sólido auxiliar "0" se escoge de modo que el plano <math>X_0Z_0</math> contiene siempre a los puntos…»

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= Enunciado =

[[File:MRGIC_cono_rotando_enunciado.png|right]]
Un cono con ángulo de abertura <math>\pi/4</math> y radio de la base <math>R</math> se mueve de modo
que rueda sin deslizar sobre el plano fijo "1" y su vértice <math>C</math> permanece fijo
sobre el eje <math>OZ_1</math>. La base del cono permanece siempre perpendicular al plano <math>OX_1Y_1</math>. El sólido auxiliar "0" se escoge de modo que el plano
<math>X_0Z_0</math> contiene siempre a los puntos <math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math> del cono. El sólido "0"
rota alrededor del eje <math>OZ_1</math> con velocidad angular constante <math>\vec{\Omega} =
\Omega\,\vec{k}_{0,1}</math>.
#Localiza y dibuja los ejes de rotación de los movimientos {01}, {20} y {21}. ¿Qué tipo de eje es cada uno de ellos?
#Calcula las reducciones cinemáticas en <math>G</math> de los tres movimientos relativos.
#Calcula las derivadas temporales de las reducciones cinemáticas en <math>G</math> de los tres movimientos relativos.

= Solución =

== Análisis del enunciado ==
De los datos del enunciado podemos deducir los siguientes hechos:
#El cono rueda sin desliar sobre el plano, por tanto <math>\vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{0}</math>.
#El punto <math>C</math> es fijo sobre el eje <math>OZ_1</math>. Entonces <math>\vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{0}</math>.
#Del dibujo vemos que el movimiento {01} es un par de revolución con <math>\vec{v}^{\,O}_{01}=\vec{0}</math> y <math>\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_{0,1}</math>.
#También relacionado con este movimiento vemos que el centro de la base del cono no se mueve respecto al plano <math>OX_0Z_0</math>, por lo que <math>\vec{v}^{\,G}_{20}=\vec{0}</math>.

== Ejes de los movimientos ==
[[File:MRGIC_cono_rotando_ejes.png|right]]
La figura de la derecha muestra la localización de los ejes. Son
Como <math>\vec{v}^{\,O}_{01}=\vec{0}</math> y <math>\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{\omega}_{01}</math>, el eje del movimiento {01} es <math> \Delta^{EPR}_{01}\equiv OZ_1</math>. Es un eje permanente de rotación.

Como <math>\vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{0}</math> tenemos <math>\Delta^{EIR}_{21}\equiv CA</math>. Es un eje instantáneo de rotación.

Por último, con la composición {21}={20} + {01}. Aplicándola en <math>C</math> tenemos
<center><math>
\vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{v}^{\,C}_{20} + \vec{v}^{\,C}_{01}
\Longrightarrow
\vec{v}^{\,C}_{20}=\vec{v}^{\,C}_{21} - \vec{v}^{\,C}_{01} = \vec{0}
</math></center>
Además, <math>\vec{v}^{\,G}_{20}</math>, por lo que el eje del movimiento {20} es <math>\Delta^{EPR}_{20}</math> es un eje permanente de rotación.

== Reducciones cinemáticas ==

'''Movimiento {01}'''
En el análisis previo ya hemos obtenido la reducción cinemática de este movimiento
<center><math>
\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_{0,1},
\qquad
\vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0}.
</math></center>

'''Movimiento {20}'''
Del análisis de los ejes tenemos
<center><math>
\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{\imath}_{0},
\qquad
\vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{0}.
</math></center>

'''Movimiento {21}'''
Usando la composición {21} = {20} + {01} obtenemos
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} =
\omega_{20}\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0.\\
\\
\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{20} + \vec{v}^{\,G}_{01}=
\vec{v}^{\,G}_{01}
\end{array}
</math></center>
Para calcular esta velocidad usamos la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}
<center><math>
\vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG} =
(\Omega\,\vec{k}_0)\times(R\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0) = R\Omega\,\vec{\jmath}_0.
</math></center>
Por otro lado sabemos que <math>\vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{0}</math>. Usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} obtenemos
<center><math>
\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG} =
(\omega_{20}\,\vec{\imath}_0)\times(R\,\vec{k}_0) = -R\omega_{20}\,\vec{\jmath}_0.
</math></center>
Comparando los dos valores obtenemos <math>\omega_{20} = -\Omega</math>.

Con esto tenemos las tres reducciones cinemáticas
<center><math>
\begin{array}{ll}
\vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_0, & \vec{v}^{\,G}_{01}=R\Omega\,\vec{\jmath}_0,\\
\\
\vec{\omega}_{20} = -\Omega\,\vec{\imath}_0, & \vec{v}^{\,G}_{20}=\vec{0},\\
\\
\vec{\omega}_{21} = \Omega\,(-\vec{\imath}_0 + \vec{k}_0), & \vec{v}^{\,G}_{21}=R\Omega\,\vec{\jmath}_0.
\end{array}
</math></center>

== Derivadas temporales de la reducciones cinemáticas ==

'''Movimiento {01}''': al ser una rotación de eje permanente tenemos
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=
\vec{0},\\
\\
\vec{a}^{\,O}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=
\vec{0}.
\end{array}
</math></center>
Usamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01} para calcular la aceleración en <math>G</math>
<center><math>
\vec{a}^{\,G}_{01} = \vec{a}^{\,O}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OG} + \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG}) = -R\Omega^2\vec{\imath}_{0}.
</math></center>
'''Movimiento {20}''': también es una rotación de eje permanente, por lo que
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{\alpha}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=
\vec{0},\\
\\
\vec{a}^{\,G}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,G}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=
\vec{0}.
\end{array}
</math></center>

'''Movimiento {21} '''
Utilizamos las leyes de composición
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} = -\Omega^2\,\vec{\jmath}_0,\\
\\
\vec{a}^{\,G}_{21} = \vec{a}^{\,G}_{20} + \vec{a}^{\,G}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,G}_{20} = -R\Omega^2\,\vec{\imath}_0.
\end{array}
</math></center>

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