Conexión de dos esferas alejadas - Historial de revisiones

Antonio: /* Cambio en la energía */

2025-04-20T13:40:44Z

Cambio en la energía

← Revisión anterior		Revisión del 15:40 20 abr 2025
Línea 82:		Línea 82:
	Antes de que se conecten las esferas, toda la carga se halla en la esfera grande. La energía almacenada en el sistema es la de un solo conductor		Antes de que se conecten las esferas, toda la carga se halla en la esfera grande. La energía almacenada en el sistema es la de un solo conductor

	<center><math>U_\mathrm{eA}=\frac{1}{2}Q_1V_1=\frac{1}{2}Q_0\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0b}\right=\frac{Q_0^2}{8\pi\varepsilon_0b}</math></center>		<center><math>U_\mathrm{eA}=\frac{1}{2}Q_1V_1=\frac{1}{2}Q_0\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0b}\right)=\frac{Q_0^2}{8\pi\varepsilon_0b}</math></center>

	Después de la conexión la carga está repartida entre las dos esferas, que están al mismo potencial, por lo que		Después de la conexión la carga está repartida entre las dos esferas, que están al mismo potencial, por lo que

Antonio: /* Cambio en la energía */

2025-04-20T13:40:23Z

Cambio en la energía

← Revisión anterior		Revisión del 15:40 20 abr 2025
Línea 82:		Línea 82:
	Antes de que se conecten las esferas, toda la carga se halla en la esfera grande. La energía almacenada en el sistema es la de un solo conductor		Antes de que se conecten las esferas, toda la carga se halla en la esfera grande. La energía almacenada en el sistema es la de un solo conductor

	<center><math>U_\mathrm{eA}=\frac{1}{2}Q_1V_1=\frac{1}{2}Q_0\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0b}=\frac{Q_0^2}{8\pi\varepsilon_0b}</math></center>		<center><math>U_\mathrm{eA}=\frac{1}{2}Q_1V_1=\frac{1}{2}Q_0\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0b}\right=\frac{Q_0^2}{8\pi\varepsilon_0b}</math></center>

	Después de la conexión la carga está repartida entre las dos esferas, que están al mismo potencial, por lo que		Después de la conexión la carga está repartida entre las dos esferas, que están al mismo potencial, por lo que

	<center><math>U_\mathrm{eB}=\~~fracc~~{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2=\frac{1}{2}(Q_1+Q_2)V_1=\frac{1}{2}Q_0V_1</math></center>		<center><math>U_\mathrm{eB}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2=\frac{1}{2}(Q_1+Q_2)V_1=\frac{1}{2}Q_0V_1</math></center>

	y puesto que el potencial de ambas esferas es ahora		y puesto que el potencial de ambas esferas es ahora

Antonio en 13:39 20 abr 2025

2025-04-20T13:39:56Z

@@ Línea 79: / Línea 79: @@
 Esta es una aplicación de un principio más general, conocido como ''efecto punta'': ''el campo eléctrico en la superficie de un conductor es más intenso donde el radio de curvatura es más pequeño''. Este principio se encuentra, por ejemplo, en la base del funcionamiento de los pararrayos.
-[[Categoría:Problemas de electrostática en medios materiales (GIOI)]]
+==Cambio en la energía==
-[[Categoría:Problemas de electrostática en medios materiales (GIE)]]
+Antes de que se conecten las esferas, toda la carga se halla en la esfera grande. La energía almacenada en el sistema es la de un solo conductor

Antonio: /* Enunciado */

2025-04-20T13:06:31Z

Enunciado

← Revisión anterior		Revisión del 15:06 20 abr 2025
Línea 4:		Línea 4:
	# ¿Cuánta carga se va a cada esfera? ¿En cuál de las dos es mayor la carga almacenada?		# ¿Cuánta carga se va a cada esfera? ¿En cuál de las dos es mayor la carga almacenada?
	# ¿En cual de las dos esferas es mayor la densidad de carga? ¿Y el campo eléctrico en la superficie?		# ¿En cual de las dos esferas es mayor la densidad de carga? ¿Y el campo eléctrico en la superficie?
			# Suponga que inicialmente la esfera grande almacena una carga <math>Q_0</math> y la pequeña una carga nula, estando el cable desconectado. Se conecta el cable y se espera hasta que se alcance de nuevo el equilibrio electrostático. ¿Cuánto varía la energía almacenada en el sistema? ¿A qué se debe esta diferencia en la energía?

	<center>[[Imagen:dosesferashilo-02.png]]</center>		<center>[[Imagen:dosesferashilo-02.png]]</center>

Pedro: Página creada con «==Enunciado== Se tiene un conductor formado por dos esferas de radios $a$ y $b$ ( $a), muy alejadas entre sí (de forma que la influencia de una sobre la otra es despreciable), pero unidas por un cable conductor ideal. El conductor almacena una carga Q_0 . # ¿Cuánta carga se va a cada esfera? ¿En cuál de las dos es mayor la carga almacenada? # ¿En cual de las dos esferas es mayor la densidad de carga? ¿Y el campo e…»$

2024-04-01T16:00:44Z

Página creada con «==Enunciado== Se tiene un conductor formado por dos esferas de radios <math>a</math> y <math>b</math> (<math>a<b</math>), muy alejadas entre sí (de forma que la influencia de una sobre la otra es despreciable), pero unidas por un cable conductor ideal. El conductor almacena una carga <math>Q_0</math>. # ¿Cuánta carga se va a cada esfera? ¿En cuál de las dos es mayor la carga almacenada? # ¿En cual de las dos esferas es mayor la densidad de carga? ¿Y el campo e…»

Página nueva

==Enunciado==
Se tiene un conductor formado por dos esferas de radios <math>a</math> y <math>b</math> (<math>a<b</math>), muy alejadas entre sí (de forma que la influencia de una sobre la otra es despreciable), pero unidas por un cable conductor ideal. El conductor almacena una carga <math>Q_0</math>.

# ¿Cuánta carga se va a cada esfera? ¿En cuál de las dos es mayor la carga almacenada?
# ¿En cual de las dos esferas es mayor la densidad de carga? ¿Y el campo eléctrico en la superficie?

<center>[[Imagen:dosesferashilo-02.png]]</center>

==Carga en cada esfera==
===Cálculo directo===
Al estar muy alejadas, las dos esferas se comportan como conductores independientes, salvo por el hecho de que están conectadas por un hilo. Este hilo, al ser ideal, no añade capacidad ni carga al sistema, pero garantiza que ambas esferas estén al mismo potencial, ya que las cargas pueden moverse de una esfera a la otra.

El [[Esfera conductora en equilibrio electrostático|potencial en cada una de las esferas]] será, en función de su carga

<center>
<math>V_1 = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 a}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>V_2 = \frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}</math></center>

Si las dos esferas están al mismo potencial nos queda
<center>
<math>V_1 = V_2\,</math>{{tose}}<math>\frac{Q_1}{a}=\frac{Q_2}{b}</math></center>

lo que nos dice que la carga será mayor en la esfera más grande, en una cantidad proporcional no a su área sino a su radio (doble radio, doble carga).

Como además la carga total es <math>Q</math>, tenemos el sistema de ecuaciones

<center><math>\frac{Q_1}{a}=\frac{Q_2}{b}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>Q_1+Q_2=Q_0\,</math></center>

con solución
<center>
<math>Q_1 = \frac{Q_0a}{a+b}</math>{{qquad}} <math>Q_2 = \frac{Q_0b}{a+b}</math></center>

El potencial en el conjunto es

<center><math>V = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 a} = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 b} = \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0(a+b)}</math></center>

===Empleando un circuito equivalente===
La carga en cada esfera también es fácil de calcular empleando un circuito equivalente. Tal como se demuestra en otro problema, cada esfera forma con el infinito un condensador de capacidad

<center><math>C_i = 4\pi\varepsilon_0 R_i</math></center>

La esfera de mayor radio tiene mayor capacidad, proporcional a él.

Al unirlos con el hilo, estos dos condensadores se conectan en paralelo (ya que dos de las placas están unidas por el hilo y las otras dos están también al mismo potencial, el de tierra). La capacidad de la asociación será

<center><math>C_\mathrm{eq} = C_1+C_2 =4\pi\varepsilon_0(a+b)</math></center>

y, por tanto, el potencial de las placas cargadas (que son las esferas) es

<center><math>V = \frac{Q_0}{C_\mathrm{eq}}= \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0(a+b)}</math></center>

Una vez que tenemos el potencial, podemos hallar la carga en cada una de las esferas, que corresponden a las placas positivas de los condensadores.

<center><math>Q_1 = C_1 V = \frac{C_1 Q_0}{C_\mathrm{eq}} = \frac{Q_0 a}{a+b}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>Q_2 = C_2 V = \frac{C_2 Q_0}{C_\mathrm{eq}} = \frac{Q_0 b}{a+b}</math></center>

==Densidad de carga y campo==
Tal como se ve en el caso de una sola esfera, la densidad de carga en la superficie de una esfera cuando no hay más cargas o conductores influyendo sobre ella, es uniforme e igual a

<center><math>\sigma_s=\frac{Q}{4\pi R^2}</math></center>

lo cual quiere decir que las densidades de carga en las dos esferas valen

<center><math>\sigma_1=\frac{Q_1}{4\pi a^2}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\sigma_2=\frac{Q_2}{4\pi b^2}</math></center>

En términos de la carga total

<center><math>\sigma_1=\frac{Q_0}{4\pi a(a+b)}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\sigma_2=\frac{Q_0}{4\pi b(a+b)}</math></center>

Observemos que esto implica que

<center><math>\frac{Q_2}{Q_1}=\frac{b}{a}\geq 1 \qquad\qquad \frac{\sigma_2}{\sigma_1}=\frac{a}{b}\leq 1</math></center>

esto es, que cuanto más pequeña sea la esfera, mayor es su densidad de carga (aunque la carga total sea menor).

En cuanto al campo en la superficie, puesto que es proporcional a la carga superficial, también será más intenso en la esfera de menor radio

<center><math>E_1=\frac{\sigma_1}{\varepsilon_0}=\frac{V}{a} = \frac{Q_0}{4\pi \varepsilon_0 a(a+b)}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>E_2=\frac{\sigma_2}{\varepsilon_0}=\frac{V}{b} = \frac{Q_0}{4\pi \varepsilon_0 b(a+b)}</math></center>

Esta es una aplicación de un principio más general, conocido como ''efecto punta'': ''el campo eléctrico en la superficie de un conductor es más intenso donde el radio de curvatura es más pequeño''. Este principio se encuentra, por ejemplo, en la base del funcionamiento de los pararrayos.

[[Categoría:Problemas de electrostática en medios materiales (GIOI)]]
[[Categoría:Problemas de electrostática en medios materiales (GIE)]]