Antonio: /* Representación gráfica */

2024-02-17T11:20:23Z

Representación gráfica

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	es claro que la gráfica del proceso es un segmento rectilíneo. El punto inicial del segmento es <math>(10,300)</math> y el punto final corresponde a <math>(5,200)</math>		es claro que la gráfica del proceso es un segmento rectilíneo. El punto inicial del segmento es <math>(10,300)</math> y el punto final corresponde a <math>(5,200)</math>

	<center>[[Archivo:calentamiento-lineal.png]]</center>		<center>[[Archivo:calentamiento-lineal.png\|600px]]</center>

	Si fuera un proceso isotermo, la curva debería ser una hipérbola. Si trazamos la gráfica del proceso y de las isotermas, vemos que la temperatura inicialmente aumenta y luego disminuye.		Si fuera un proceso isotermo, la curva debería ser una hipérbola. Si trazamos la gráfica del proceso y de las isotermas, vemos que la temperatura inicialmente aumenta y luego disminuye.

Antonio en 09:13 17 feb 2024

2024-02-17T09:13:12Z

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Antonio: Página creada con «==Enunciado== Se comprime cuasiestáticamente un gas ideal que inicialmente se encuentra a presión $p_A = 100\,\mathrm{kPa}$ , temperatura $T_A = 300\,\mathrm{K}$ y ocupa un volumen $V_A = 0.01\,\mathrm{m}^3$ , según la ley $p = 3p_A-\frac{2p_AV}{V_A}$ La compresión continúa hasta que la presión vale $p_B = 2p_A$ . # Trace la gráfica del proceso en un diagrama PV. # Calcule la temperatura fi…»

2024-02-17T08:39:25Z

Página creada con «==Enunciado== Se comprime cuasiestáticamente un gas ideal que inicialmente se encuentra a presión <math>p_A = 100\,\mathrm{kPa}</math>, temperatura <math>T_A = 300\,\mathrm{K}</math> y ocupa un volumen <math>V_A = 0.01\,\mathrm{m}^3</math>, según la ley <center><math>p = 3p_A-\frac{2p_AV}{V_A}</math></center> La compresión continúa hasta que la presión vale <math>p_B = 2p_A</math>. # Trace la gráfica del proceso en un diagrama PV. # Calcule la temperatura fi…»

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==Enunciado==
Se comprime cuasiestáticamente un gas ideal que inicialmente se encuentra a presión <math>p_A = 100\,\mathrm{kPa}</math>, temperatura <math>T_A = 300\,\mathrm{K}</math> y
ocupa un volumen <math>V_A = 0.01\,\mathrm{m}^3</math>, según la ley

<center><math>p = 3p_A-\frac{2p_AV}{V_A}</math></center>

La compresión continúa hasta que la presión vale <math>p_B = 2p_A</math>.

# Trace la gráfica del proceso en un diagrama PV.
# Calcule la temperatura final del proceso.
# Calcule el trabajo neto realizado sobre el gas, la variación de su energía interna y el calor que entra en el gas durante el proceso.
# ¿Para qué volumen durante el proceso la temperatura es máxima? Halle el valor de esta temperatura máxima.
# Separando el proceso en dos: uno hasta que alcanza la temperatura máxima y otro de ahí hasta el final, halle <math>W</math>, <math>\Delta U</math> y <math>Q</math> en cada uno de los dos subprocesos.

==Representación gráfica==
Dado que la presión depende del volumen en la forma

<center><math>p = a + b V\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>a = 3p_A\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>b = -\frac{2p_A}{V_A}</math></center>

es claro que la gráfica del proceso es un segmento rectilíneo. El punto inicial del segmento es <math>(p_A,V_A)</math> y el punto final corresponde a <math>p_B=2p_A</math> y al volumen
<center>
<math>p_B=2p_A = 3p_A - \frac{2p_AV_B}{V_A} \qquad\Rightarrow\qquad V_B = \frac{V_A}{2}</math></center>

Por tanto el volumen final es la mitad del inicial, mientras que la presión es el doble.

Numéricamente, será

<center><math>V_A = 0.01\,\mathrm{m}^3 = 10\,\mathrm{l}\qquad V_B = 5\,\mathrm{l}\qquad p_A = 100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad p_B = 200\,\mathrm{kPa}</math></center>

<center>[[Archivo:calentamiento-lineal.png]]</center>

==Temperatura final==
Obtenemos la temperatura final a partir de la ecuación de los gases ideales. Inicialmente tenemos

<center><math>p_AV_A = n R T_A\qquad\Rightarrow\qquad n R = \frac{p_AV_A}{T_A}</math></center>

En el estado final

<center><math>T_B = \frac{p V}{n R} = \frac{(2p_A)(V_A/2)}{n R} = \frac{p_AV_A}{n R} = T_A=300\,\mathrm{K}</math></center>

Por tanto, la temperatura final es igual a la inicial.

==Trabajo, energía y calor==

===Trabajo===
El trabajo realizado sobre el gas en un proceso cuasiestático es igual a la integral

<center><math>W = - \int_{V_i}^{V_f}p\,\mathrm{d}V</math></center>

En nuestro caso

<center><math>W= -\int_{V_A}^{V_A/2} \left(3p_A-\frac{2p_AV}{V_A}\right)\mathrm{d}V = -\left.3p_AV\right|_{V_A}^{V_A/2}+\left.\frac{p_AV^2}{V_A}\right|_{V_A}^{V_A/2} = \frac{3p_AV_A}{4}</math></center>

Es muy fácil llegar a este resultado de forma gráfica, ya que el área bajo la curva es la de un trapecio de altura <math>V_A/2</math>, base menor <math>p_A</math> y base mayor <math>2p_A</math>. El área de este trapecio es

<center><math>W = \frac{1}{2}\left(\frac{V_A}{2}\right)\left(2p_A+p_A\right) = \frac{3p_AV_A}{4}</math></center>

siendo el valor numérico

<center><math>W = \frac{3}{4}\times 100\mathrm{kPa}\times 0.01\mathrm{m}^3 = 750\,\mathrm{J}</math></center>
===Energía interna===
Por tratarse de un gas ideal, la variación en la energía interna solo depende de la temperatura inicial y la final

<center><math>\Delta U = nc_v(T_f-T_i) = nc_v(T_A-T_A)=0\,</math></center>

Puesto que la temperatura inicial y la final son la misma, no hay variación en la energía interna del gas.
===Calor===
Una vez que tenemos el trabajo y la variación de la energía interna, hallamos el calor empleando el primer principio de la termodinámica

<center><math>Q = \Delta U - W = -\frac{3p_AV_A}{4}=-750\,\mathrm{J}</math></center>

En este proceso se realiza trabajo, pero puesto que la temperatura del sistema es la misma al principio y al final, ese trabajo sale del sistema en forma de calor. Este proceso, no obstante, no es isotermo, ya que la temperatura del sistema cambia en los estados intermedios.

==Temperatura máxima==
La temperatura del gas en cada estado del proceso la hallamos por la ley de los gases ideales

<center><math>T(V) = \frac{p(V)V}{n R} = \frac{3p_AV-2p_AV^2/V_A}{p_AV_A/T_A}=\frac{3T_AV}{V_A}-\frac{2T_AV^2}{V_A^2}</math></center>

La gráfica de esta función tiene una forma parabólica, con un máximo en algún punto intermedio entre el estado inicial y el final. Hallamos la posición del máximo igualando la derivada a cero.

<center><math>0 = \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}=\frac{3T_A}{V_A}-\frac{4T_AV}{V_A^2}</math>{{tose}}<math>V = \frac{3V_A}{4}=7.5\,\mathrm{l}</math></center>

Este volumen corresponde al punto medio entre el estado inicial y el final. La temperatura en este punto es

<center><math>T_\mathrm{max}=\frac{3T_A}{V_A}\left(\frac{3V_A}{4}\right)-\frac{2T_A}{V_A^2}\left(\frac{3V_A}{4}\right)^2 = \frac{9}{8}T_A=337.5\,\mathrm{K}</math></center>

La temperatura del gas, por tanto, aumenta desde <math>T_A</math> a (9/8) de este valor y a partir de ahí vuelve a disminuir al valor inicial

==División en dos tramos==
De acuerdo con el resultado del apartado anterior, cuando se comprime el gas entre <math>V_A</math> y <math>3V_A/4</math>, la temperatura aumenta, disminuyendo entre ese valor y <math>V_A/2</math>. Si consideramos los dos procesos por separado obtenemos los resultados siguientes:

===Trabajo===
====Primer tramo====
Hallamos el trabajo empleando de nuevo la fórmula del trapecio (o la integral, que es equivalente). Este trapecio tiene altura <math>V_A/4</math> y bases <math>p_A</math> y <math>3p_A/2</math>

<center><math>W_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{V_A}{4}\right)\left(\frac{3p_A}{2}+p_A\right) = \frac{5}{16}p_AV_A=312\,\mathrm{J}</math></center>
====Segundo tramo====
Para la segunda parte del trayecto podemos hallar el trabajo como el área de un nuevo trapecio o considerando que es el trabajo restante hasta completar el total. En cualquier caso, el resultado es

<center><math>W_2 = W - W_1 = \frac{3p_AV_A}{4}-\frac{5p_AV_A}{16} = \frac{7}{16}p_AV_A=437.5\,\mathrm{J}</math></center>
===Energía===
Los dos tramos no son isotermos, ya que la temperatura primero sube y luego baja, por lo que hay variación en la energía interna en cada uno dellos.

====Primer tramo====
Por tratarse de un gas ideal diatómico, la variación de energía es

<center><math>\Delta U_1 =nc_v(T_1-T_A) =\frac{5}{2}nR\left(\frac{9}{8}T_A-T_A\right)=\frac{5}{16}nRT_A=\frac{5}{16}p_AV_A=312.5\,\mathrm{J}</math></center>

====Segundo tramo====
Operando del mismo modo

<center><math>\Delta U_2 =\frac{5}{2}nR\left(T_A-\frac{9}{8}T_A-T_A\right)=-\frac{5}{16}p_AV_A=-312.5\,\mathrm{J}</math></center>

Resulta igual y de signo contrario a la anterior, como corresponde a que la variación neta de energía es nula.

===Calor===
Para calcular el calor en cada tramo del proceso aplicamos el primer principio de la termodinámica
====Primer tramo====
El calor en este proceso es

<center><math>Q_1 = \Delta U_1 - W_1 = \frac{5}{16}p_AV_A-\frac{5}{16}p_AV_A = 0</math></center>

Este proceso es globalmente adiabático, aunque en pasos intermedios se intercambie calor con el entorno.

====Segundo tramo====
El calor en este parte se halla de la misma forma

<center><math>Q_2 = \Delta U_2 - W_2 = -\frac{5}{16}p_AV_A-\frac{7}{16}p_AV_A = -\frac{3}{4}p_AV_A=-750\,\mathrm{J}</math></center>

Compresión lineal de un gas - Historial de revisiones

Antonio: /* Representación gráfica */

Antonio en 09:13 17 feb 2024