Compresión adiabática de un gas - Historial de revisiones

Antonio: /* Compresión por un montón de arena */

2025-02-15T11:17:32Z

Compresión por un montón de arena

← Revisión anterior		Revisión del 13:17 15 feb 2025
Línea 104:		Línea 104:
	La temperatura en el estado final la calculamos aplicando de nuevo la ley de los gases ideales		La temperatura en el estado final la calculamos aplicando de nuevo la ley de los gases ideales

	<center><math>T_B=\frac{p_B}{p_A}\,\frac{~~v_B~~}{V_A}T_A=\frac{125}{100}\times\frac{136}{160}\times 300\,\mathrm{K}=320\,\mathrm{K}=47\,^\circ\mathrm{C}</math></center>		<center><math>T_B=\frac{p_B}{p_A}\,\frac{V_B}{V_A}T_A=\frac{125}{100}\times\frac{136}{160}\times 300\,\mathrm{K}=320\,\mathrm{K}=47\,^\circ\mathrm{C}</math></center>

	Un proceso adiabático cuasiestático es un caso particular de proceso politrópico, para el cual se cumple		Un proceso adiabático cuasiestático es un caso particular de proceso politrópico, para el cual se cumple

Antonio: /* Compresión por un montón de arena */

2025-02-15T11:17:16Z

Compresión por un montón de arena

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Línea 104:		Línea 104:
	La temperatura en el estado final la calculamos aplicando de nuevo la ley de los gases ideales		La temperatura en el estado final la calculamos aplicando de nuevo la ley de los gases ideales

	<center><math>T_B=\frac{~~p_BV_B~~}{~~p_AV_A~~}T_A=\frac{125\times 136}{~~100~~\times ~~160}~~300\,\mathrm{K}=320\,\mathrm{K}=47\,^\circ\mathrm{C}</math></center>		<center><math>T_B=\frac{p_B}{p_A}\,\frac{v_B}{V_A}T_A=\frac{125}{100}\times\frac{136}{160}\times 300\,\mathrm{K}=320\,\mathrm{K}=47\,^\circ\mathrm{C}</math></center>

	Un proceso adiabático cuasiestático es un caso particular de proceso politrópico, para el cual se cumple		Un proceso adiabático cuasiestático es un caso particular de proceso politrópico, para el cual se cumple

Antonio: /* Compresión por un montón de arena */

2025-02-15T11:15:44Z

Compresión por un montón de arena

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Línea 100:		Línea 100:
	<center><math>\frac{\mathrm{d}V}{V}=-\frac{\mathrm{d}p}{\gamma p}</math></center>		<center><math>\frac{\mathrm{d}V}{V}=-\frac{\mathrm{d}p}{\gamma p}</math></center>

	e integrando aquí se llega a la ~~relación potencial~~. El volumen resultante es algo más pequeño que en el caso no estacionario.		e integrando aquí se llega a la ley de Poisson. El volumen resultante es algo más pequeño que en el caso no estacionario.

	La temperatura en el estado final la calculamos aplicando de nuevo la ley de los gases ideales		La temperatura en el estado final la calculamos aplicando de nuevo la ley de los gases ideales

Antonio: /* Solución */

2025-02-15T11:13:50Z

Solución

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Línea 12:		Línea 12:
	Se trata de calcular por separado el trabajo realizado y la variación en la energía interna para llegar una ecuación que nos permita calcular la temperatura y el volumen final.		Se trata de calcular por separado el trabajo realizado y la variación en la energía interna para llegar una ecuación que nos permita calcular la temperatura y el volumen final.

	Físicamente, lo que ocurre en este caso es que la compresión del gas mete una cantidad de energía en el sistema que no puede escapar por ningún sitio, resultando en el calentamiento del ~~hidrógeno~~.		Físicamente, lo que ocurre en este caso es que la compresión del gas mete una cantidad de energía en el sistema que no puede escapar por ningún sitio, resultando en el calentamiento del gas.

	===Compresión por una pesa===		===Compresión por una pesa===

Antonio: /* Solución */

2025-02-15T11:13:16Z

Solución

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Línea 12:		Línea 12:
	Se trata de calcular por separado el trabajo realizado y la variación en la energía interna para llegar una ecuación que nos permita calcular la temperatura y el volumen final.		Se trata de calcular por separado el trabajo realizado y la variación en la energía interna para llegar una ecuación que nos permita calcular la temperatura y el volumen final.

	Físicamente, lo que ocurre en este caso es que la compresión del gas mete una cantidad energía en el sistema que no puede escapar por ningún sitio, resultando en el calentamiento del hidrógeno.		Físicamente, lo que ocurre en este caso es que la compresión del gas mete una cantidad de energía en el sistema que no puede escapar por ningún sitio, resultando en el calentamiento del hidrógeno.

	===Compresión por una pesa===		===Compresión por una pesa===

Antonio en 12:16 21 feb 2024

2024-02-21T12:16:14Z

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Línea 1:		Línea 1:
	==Enunciado==		==Enunciado==
	Suponga el sistema del problema “[[Trabajo en una compresión por un peso]]”, pero admitiendo que las paredes del tubo son adiabáticas. ¿Cómo quedan en ese caso el trabajo, el calor y la variación de la energía interna para los procesos considerados?		Suponga el sistema del problema “[[Trabajo en una compresión por un peso]]”, pero admitiendo que las paredes del tubo son adiabáticas. ¿Cómo quedan en ese caso el trabajo, el calor y la variación de la energía interna para los procesos considerados?
	==~~Caso adiabático~~==		==Solución==
	Al cambiar de paredes diatermas a adiabáticas, parece que solo cambia una palabra y que tendrá poca influencia en el resultado. Sin embargo, esa palabra afecta radicalmente a los resultados. Si el calor puede fluir a través de las paredes, puede alcanzarse el equilibrio térmico con el exterior, la temperatura final en este sistema es la misma que la inicial, la variación de la energía interna es nula, pero no lo es el calor.		Al cambiar de paredes diatermas a adiabáticas, parece que solo cambia una palabra y que tendrá poca influencia en el resultado. Sin embargo, esa palabra afecta radicalmente a los resultados. Si el calor puede fluir a través de las paredes, puede alcanzarse el equilibrio térmico con el exterior, la temperatura final en este sistema es la misma que la inicial, la variación de la energía interna es nula, pero no lo es el calor. En el caso de los granos de arena es un proceso isotermo pero no adiabático.

	En el problema que estamos considerando ahora, en cambio, no puede haber calor atravesando las paredes. Esto impide que se llegue al equilibrio térmico con el exterior; la temperatura final no será la misma que la final, la energía interna cambia durante el proceso, mientras que el calor es nulo.		En el problema que estamos considerando ahora, en cambio, no puede haber calor atravesando las paredes. Esto impide que se llegue al equilibrio térmico con el exterior; la temperatura final no será la misma que la final, la energía interna cambia durante el proceso, mientras que el calor es nulo. Es un proceso adiabático pero no isotermo.

	La ecuación básica para determinar el estado final es el primer principio de la termodinámica		La ecuación básica para determinar el estado final es el primer principio de la termodinámica
Línea 37:		Línea 37:
	<center><math>\Delta U = nc_v(T_B-T_A)\,</math></center>		<center><math>\Delta U = nc_v(T_B-T_A)\,</math></center>

	siendo <math>n</math> el número de moles del gas y <math>c_v</math> la capacidad calorífica molar a volumen constante. ~~En el caso de un gas diatómico, como el hidrógeno, esta capacidad vale~~		siendo <math>n</math> el número de moles del gas y <math>c_v</math> la capacidad calorífica molar a volumen constante. La capacidad calorífica a volumen constante se escribe

	~~<center><math>c_v \simeq \frac{5}{2}R</math></center>~~

	~~Más en general, la~~ capacidad calorífica a volumen constante se escribe

	<center><math>c_v = \frac{R}{\gamma-1}\qquad\qquad \gamma = \frac{c_p}{c_v} </math></center>		<center><math>c_v = \frac{R}{\gamma-1}\qquad\qquad \gamma = \frac{c_p}{c_v} </math></center>
Línea 51:		Línea 47:
	Al ser el proceso adiabático igualamos el trabajo a la variación de la energía interna		Al ser el proceso adiabático igualamos el trabajo a la variación de la energía interna

	<center><math>-p_B(V_B-V_A)=\frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}</math></center>		<center><math>W=\Delta U \qquad\Rightarrow\qquad -p_B(V_B-V_A)=\frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}</math></center>

	~~esta ecuación nos permite hallar el volumen final~~		con los valores numéricos (p en kPa, V en L)

	<center><math>~~V_A\left~~(~~p_B+\frac{p_A}{\gamma~~-~~1}\right~~)=~~p_BV_B\left(~~\frac{1}{~~\gamma-1~~}~~+1\right)~~\qquad\Rightarrow\qquad ~~V_B~~=~~\left(1-\frac{p_B~~-~~p_A}{\gamma p_B}\right)V_A~~</math></center>		<center><math>-125(V_B - 0.160) = \frac{125 V_B - 16}{0.4}\qquad \Rightarrow\qquad -50V_B + 8 = 125V_B - 16</math></center>

	~~El valor numérico del~~ volumen final ~~es, sustituyendo los datos del enunciado~~		esta ecuación nos permite hallar el volumen final

	<center><math>V_B=~~\left(1-~~\frac{25}{~~125\times 1.4~~}~~\right)160\,~~\mathrm{cm}^3=137\,\mathrm{cm}^3</math></center>		<center><math>V_B = \frac{24}{175}\mathrm{L}= 0.137\,\mathrm{L}</math></center>

	siendo la altura final del pistón		siendo la altura final del pistón
Línea 65:		Línea 61:
	<center><math>h_B=\frac{V_B}{S}=8.6\,\mathrm{cm}</math></center>		<center><math>h_B=\frac{V_B}{S}=8.6\,\mathrm{cm}</math></center>

	Vemos que se comprime menos que ~~en el caso isotermo~~ (donde bajaba hasta 8 cm). La razón es que al calentarse el gas aumenta más rápidamente la presión y por tanto se alcanza antes el equilibrio mecánico.		Más en general

			<center><math>V_A\left(p_B+\frac{p_A}{\gamma-1}\right)=p_BV_B\left(\frac{1}{\gamma-1}+1\right)\qquad\Rightarrow\qquad V_B=V_A\left(1-\frac{p_B-p_A}{\gamma p_B}\right)</math></center>

			Vemos que se comprime menos que con paredes diatermas (donde bajaba hasta 8 cm). La razón es que al calentarse el gas aumenta más rápidamente la presión y por tanto se alcanza antes el equilibrio mecánico.

	El trabajo realizado en este proceso es		El trabajo realizado en este proceso es
Línea 91:		Línea 91:

	<center><math>V_B = V_A\left(1-\frac{p_B-p_A}{\gamma p_B}\right)V_A\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\Delta V}{V_A} = \frac{V_B -V_A}{V_A} = -\frac{\Delta p}{\gamma p_B}</math></center>		<center><math>V_B = V_A\left(1-\frac{p_B-p_A}{\gamma p_B}\right)V_A\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\Delta V}{V_A} = \frac{V_B -V_A}{V_A} = -\frac{\Delta p}{\gamma p_B}</math></center>

			donde

			<center><math>\Delta V = V_B - V_A\qquad\qquad \Delta p = p_B-p_A</math></center>

	Si en vez de una pesa consideramos granos de arena, la expresión es análoga, cambiando los incrementos por diferenciales		Si en vez de una pesa consideramos granos de arena, la expresión es análoga, cambiando los incrementos por diferenciales

Antonio: Página creada con «==Enunciado== Suponga el sistema del problema “Trabajo en una compresión por un peso”, pero admitiendo que las paredes del tubo son adiabáticas. ¿Cómo quedan en ese caso el trabajo, el calor y la variación de la energía interna para los procesos considerados? ==Caso adiabático== Al cambiar de paredes diatermas a adiabáticas, parece que solo cambia una palabra y que tendrá poca influencia en el resultado. Sin embargo, esa palabra afecta radical…»

2024-02-21T10:34:02Z

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==Enunciado==
Suponga el sistema del problema “[[Trabajo en una compresión por un peso]]”, pero admitiendo que las paredes del tubo son adiabáticas. ¿Cómo quedan en ese caso el trabajo, el calor y la variación de la energía interna para los procesos considerados?
==Caso adiabático==
Al cambiar de paredes diatermas a adiabáticas, parece que solo cambia una palabra y que tendrá poca influencia en el resultado. Sin embargo, esa palabra afecta radicalmente a los resultados. Si el calor puede fluir a través de las paredes, puede alcanzarse el equilibrio térmico con el exterior, la temperatura final en este sistema es la misma que la inicial, la variación de la energía interna es nula, pero no lo es el calor.

En el problema que estamos considerando ahora, en cambio, no puede haber calor atravesando las paredes. Esto impide que se llegue al equilibrio térmico con el exterior; la temperatura final no será la misma que la final, la energía interna cambia durante el proceso, mientras que el calor es nulo.

La ecuación básica para determinar el estado final es el primer principio de la termodinámica

<center><math>W + \overbrace{Q}^{=0} = \Delta U</math></center>

Se trata de calcular por separado el trabajo realizado y la variación en la energía interna para llegar una ecuación que nos permita calcular la temperatura y el volumen final.

Físicamente, lo que ocurre en este caso es que la compresión del gas mete una cantidad energía en el sistema que no puede escapar por ningún sitio, resultando en el calentamiento del hidrógeno.

===Compresión por una pesa===
Al tratarse de una cantidad fija de un gas ideal, se verifica la ecuación de estado

<center><math>\frac{p_AV_A}{T_A}=\frac{p_BV_B}{T_B}</math></center>

donde, como en el caso isotermo

<center><math>p_A = p_0=100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad p_B = p_0+\frac{mg}{S}=125\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad V_A = Sh_A=160\,\mathrm{cm}^3</math></center>

pero ahora

<center><math>T_B \neq T_A\,</math></center>

por lo que no puede eliminarse de la ecuación.

Por ser la presión externa constante durante la compresión, el trabajo realizado sobre el gas vale

<center><math>W = -\int_{A}^{B} p_\mathrm{ext}\,\mathrm{d}V = -p_B(V_B-V_A)</math></center>

La variación de la energía interna se debe al cambio en la temperatura

<center><math>\Delta U = nc_v(T_B-T_A)\,</math></center>

siendo <math>n</math> el número de moles del gas y <math>c_v</math> la capacidad calorífica molar a volumen constante. En el caso de un gas diatómico, como el hidrógeno, esta capacidad vale

<center><math>c_v \simeq \frac{5}{2}R</math></center>

Más en general, la capacidad calorífica a volumen constante se escribe

<center><math>c_v = \frac{R}{\gamma-1}\qquad\qquad \gamma = \frac{c_p}{c_v} </math></center>

siendo <math>\gamma \simeq 1.4</math> para el aire (al igual que para los gases diatómicos). Esta relación da el incremento en la energía

<center><math>\Delta U = \frac{nR(T_B-T_A)}{\gamma-1} = \frac{nRT_B-nRT_A}{\gamma-1} = \frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}</math></center>

Al ser el proceso adiabático igualamos el trabajo a la variación de la energía interna

<center><math>-p_B(V_B-V_A)=\frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}</math></center>

esta ecuación nos permite hallar el volumen final

<center><math>V_A\left(p_B+\frac{p_A}{\gamma-1}\right)=p_BV_B\left(\frac{1}{\gamma-1}+1\right)\qquad\Rightarrow\qquad V_B=\left(1-\frac{p_B-p_A}{\gamma p_B}\right)V_A</math></center>

El valor numérico del volumen final es, sustituyendo los datos del enunciado

<center><math>V_B=\left(1-\frac{25}{125\times 1.4}\right)160\,\mathrm{cm}^3=137\,\mathrm{cm}^3</math></center>

siendo la altura final del pistón

<center><math>h_B=\frac{V_B}{S}=8.6\,\mathrm{cm}</math></center>

Vemos que se comprime menos que en el caso isotermo (donde bajaba hasta 8 cm). La razón es que al calentarse el gas aumenta más rápidamente la presión y por tanto se alcanza antes el equilibrio mecánico.

El trabajo realizado en este proceso es

<center><math>W = -p_B(V_B-V_A) = \frac{V_A(p_B-p_A)}{\gamma} =\frac{mgh_0}{\gamma}=2.86\,\mathrm{J}</math></center>

Este trabajo es igual a la variación de la energía interna. La temperatura final de gas vale

<center><math>T_B = \frac{p_BV_B}{p_AV_A} T_A = 321\,\mathrm{K} = 48\,^\circ\mathrm{C}</math></center>

El calor transferido en el proceso es nulo, por ser éste adiabático

<center><math>Q = 0\,</math></center>

===Compresión por un montón de arena===
En el caso de la compresión gradual, el proceso puede considerarse cuasiestático. En este caso se cumple la ley de Poisson

<center><math>p_BV_B^\gamma = p_AV_A^\gamma</math></center>

lo que nos da el nuevo volumen final

<center><math>V_B = V_A \left(\frac{p_A}{p_B}\right)^{1/\gamma}=136\,\mathrm{cm}^3</math></center>

Una forma de llegar a este resultado es observar que en el caso de una pesa de masa finita se cumple

<center><math>V_B = V_A\left(1-\frac{p_B-p_A}{\gamma p_B}\right)V_A\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\Delta V}{V_A} = \frac{V_B -V_A}{V_A} = -\frac{\Delta p}{\gamma p_B}</math></center>

Si en vez de una pesa consideramos granos de arena, la expresión es análoga, cambiando los incrementos por diferenciales

<center><math>\frac{\mathrm{d}V}{V}=-\frac{\mathrm{d}p}{\gamma p}</math></center>

e integrando aquí se llega a la relación potencial. El volumen resultante es algo más pequeño que en el caso no estacionario.

La temperatura en el estado final la calculamos aplicando de nuevo la ley de los gases ideales

<center><math>T_B=\frac{p_BV_B}{p_AV_A}T_A=\frac{125\times 136}{100\times 160}300\,\mathrm{K}=320\,\mathrm{K}=47\,^\circ\mathrm{C}</math></center>

Un proceso adiabático cuasiestático es un caso particular de proceso politrópico, para el cual se cumple

<center><math>W=\frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}</math></center>

que en este caso da

<center><math>W=2.63\,\mathrm{J}</math></center>

La variación de la energía será igual al trabajo, por ser nulo el calor

<center><math>\Delta U = W = 2.63\,\mathrm{J}</math></center>