Pedro: Página creada con «== Enunciado == Calcule las componentes cartesianas de un vector $\vec{a}$ con módulo de 13.0 unidades que forma un ángulo $\gamma=22.6^{\circ}$ con el eje $OZ$ y cuya proyección en el plano $OXY$ forma un ángulo $\alpha=37.0^{\circ}$ con el eje $OX$ . Calcule también los ángulos con los ejes $OX$ y $OY$ . == Solución == right La figura muestr…»

2023-09-26T09:32:08Z

Página creada con «== Enunciado == Calcule las componentes cartesianas de un vector <math>\vec{a}</math> con módulo de 13.0 unidades que forma un ángulo <math>\gamma=22.6^{\circ}</math> con el eje <math>OZ</math> y cuya proyección en el plano <math>OXY</math> forma un ángulo <math>\alpha=37.0^{\circ}</math> con el eje <math>OX</math>. Calcule también los ángulos con los ejes <math>OX</math> y <math>OY</math>. == Solución == right La figura muestr…»

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== Enunciado ==
Calcule las componentes cartesianas de un vector <math>\vec{a}</math> con módulo de 13.0 unidades que forma un
ángulo <math>\gamma=22.6^{\circ}</math> con el eje <math>OZ</math> y cuya proyección en el plano <math>OXY</math> forma un ángulo
<math>\alpha=37.0^{\circ}</math> con el eje <math>OX</math>. Calcule también los ángulos con los ejes <math>OX</math> y <math>OY</math>.

== Solución ==

[[Imagen:F1_GIA_b02_p02.png|right]]

La figura muestra el vector y su orientación respecto a los ejes. La componente sobre el eje <math>Z</math> se
obtiene proyectando ortogonalmente el vector sobre el eje
<center><math>
a_z = |\vec{a}|\cos\gamma=a\,\cos\gamma
</math></center>
La proyección sobre el plano <math>XY</math> es
<center><math>
a_{XY}=a\,\,\mathrm{sen}\,\gamma
</math></center>
La componente <math>a_x</math> del vector se obtiene proyectando a su vez la proyección del vector sobre el <math>X</math>
usando el ángulo <math>\alpha</math>
<center><math>
a_x = a_{XY}\cos\alpha=a\,\,\mathrm{sen}\,\gamma\,\cos\alpha
</math></center>
Y la componente <math>a_y</math> usando el seno del ángulo <math>\alpha</math>
<center><math>
a_y = a_{XY}\,\mathrm{sen}\,\alpha = a\,\,\mathrm{sen}\,\gamma\,\,\mathrm{sen}\,\alpha
</math></center>
Finalmente, la expresión del vector <math>\vec{a}</math> en la base cartesiana es
<center><math>
\vec{a} = a\,\,\mathrm{sen}\,\gamma\,\cos\alpha\,\vec{\imath} + a\,\,\mathrm{sen}\,\gamma\,\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath} + a\,\cos\gamma\,\vec{k}=
3.99\,\vec{\imath} + 3.01\,\vec{\jmath} + 12.0\,\vec{k}
</math></center>

=== Cosenos directores ===
Calcular los ángulos que el vector forma con los ejes es calcular sus cosenos directores. Para
ellos usamos el producto escalar del vector con un vector unitario paralelo a cada uno de los
ejes. Tenemos
<center><math>
\left.
\begin{array}{l}
\cos\alpha_x = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{\imath}}{a}=0.307\Longrightarrow
\alpha_x = 72.1^{\circ}=1.26\,\mathrm{rad}\\ \\
\cos\alpha_y = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{\jmath}}{a}=0.232\Longrightarrow
\alpha_y = 76.6^{\circ}=1.34\,\mathrm{rad}\\ \\
\cos\alpha_z = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{k}}{a}=0.923\Longrightarrow
\alpha_z = 22.6^{\circ}=0.395\,\mathrm{rad}\\ \\
\end{array}
\right.
</math></center>

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