Coches frenando en una autopista - Historial de revisiones

Pedro: /* Solución */

2025-09-19T10:48:45Z

Solución

← Revisión anterior		Revisión del 12:48 19 sep 2025
Línea 66:		Línea 66:
	En <math>t=t_f</math> el coche 1 se encuentra en la coordenada <math>v_0t_f</math> y tiene velocidad <math>v_0</math>. Este valor de tiempo es el instante inicial para el movimiento en el segundo intervalo de tiempo. Por eso en las fórmulas de movimiento uniformemente acelerado ponemos <math>t-t_f</math> en vez de <math>t_f</math>.		En <math>t=t_f</math> el coche 1 se encuentra en la coordenada <math>v_0t_f</math> y tiene velocidad <math>v_0</math>. Este valor de tiempo es el instante inicial para el movimiento en el segundo intervalo de tiempo. Por eso en las fórmulas de movimiento uniformemente acelerado ponemos <math>t-t_f</math> en vez de <math>t_f</math>.

	Como se ve en el esquema la distancia entre los dos coches es		Como se ve en el esquema la distancia entre los dos coches es <math>x_2(t) - x_1(t)</math>. Esta función tiene tres expresiones, según en que instante de tiempo estemos
	<center>		<center>
	<math>		<math>
	d(t) = x_2 - x_1 =		d(t) = x_2(t) - x_1(t) =
	\left\{		\left\{
	\begin{array}{ll}		\begin{array}{ll}
	d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t^2 & 0<t\leq t_f\\		d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t^2 & 0<t\leq t_f\\
	\\		\\
	d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f(2t-t_f) & t\geq ~~t_f~~		d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f(2t-t_f) & t_f \leq t\leq t_2\\
			\\
			d_0 + \dfrac{1}{2}a_0(t-t_f)^2 - v_0t + \dfrac{v_0^2}{2a_0} & t \geq t_2
	\end{array}		\end{array}
	\right.		\right.
	</math>		</math>
	</center>		</center>
	~~Para cada intervalo hemos usado~~ la ~~expresión correspondiente de <math>x_1</math>~~. La ~~de <math>x_2</math> es~~ la ~~misma para todo tiempo. Se puede comprobar que si ponemos <math>t=t_f</math> en las expresiones anteriores~~ los dos ~~valores coinciden, como debe ser~~.		La primera expresión corresponde a la situación en la que el coche el 2 está frenando pero el 1 aún no ha comenzado a frenar. La segunda describe la distancia cuando los dos coches están frenando. La tercera da la distancia cuando el coche 2 está parado y el 1 todavía está frenando.

	El instante ~~de tiempo~~ en que se ~~para~~ el coche ~~2 es~~		Para que los coches no colisionen tiene que ocurrir que en el instante en que se pare el coche 1, <math>t=t_1</math>, esta distancia sea mayor que cero. Igualando a cero la expresión de <math>v_1(t)</math> válida cuando <math>t>t_f</math>, obtenemos
	<center>		<center>
	<math>		<math>
	~~v_2(t_s)~~ = 0 \~~longrightarrow t_s =~~ v_0/a_0.		t_1 = t_f + \dfrac{v_0}{a_0}.
	</math>		</math>
	</center>		</center>
	~~El coche 1 empieza a frenar después de que el otro frene.~~		La distancia entre los coches en ese instante es
	~~Para que~~ los ~~dos~~ coches ~~no colisionen~~ es ~~necesario que en <math>t=t_s</math>la distancia entre ellos sea mayor que cero. Escogiendo la expresión de <math>d(t)</math> para <math>t>t_s</math> tenemos~~
	<center>		<center>
	<math>		<math>
	d(~~t_s~~) = d_0 - v_0t_f ~~+ \dfrac{1}{2}a_0t_f^2>0~~		d(t_1) = d_0 - v_0t_f.
	</math>		</math>
	</center>		</center>
	~~Pasando los dos últimos sumando a la derecha obtenemos la condición~~
			Así pues, para que no haya colisión debe ocurrir
	<center>		<center>
	<math>		<math>
	d_0 > \~~dfrac{1}{2}~~t_f~~\,(2v_0-a_0t_f)~~		d(t_1) \geq 0 \Longrightarrow d_0 \geq v_0 t_f.
	</math>		</math>
	</center>		</center>
			Este resultado tiene sentido si los dos coches frenan con la misma aceleración. Una vez que empiezan a frenar los dos coches recorren la misma distancia antes de pararse. La condición dice que la distancia que separa los coches debe ser mayor que la que recorre el coche 1 antes de que empiece a frenar.

	Usando los valores numéricos del apartado b obtenemos		Usando los valores numéricos del apartado b obtenemos
	<center>		<center>
	<math>		<math>
	d_0 = ~~9.92~~ \,\mathrm{m}.		d_0 = 10 \,\mathrm{m}.
	</math>		</math>
	</center>		</center>
	Esta distancia corresponde a la longitud de dos coches, aproximadamente.		Esta distancia corresponde a la longitud de dos coches, aproximadamente.

	~~== Comentario ==~~
	Si el valor de <math>d_0</math> es lo bastante pequeño puede ocurrir que el coche 1 choque con el 2 antes de que empiece a frenar, es decir, en el intervalo <math>t<t_f</math>. Para que esto no ocurra debe cumplirse
	~~<center>~~
	~~<math>~~
	~~d(t) = d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 > 0~~
	~~\longrightarrow~~
	~~d_0 > \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 = 6.75\,\mathrm{cm}.~~
	~~</math>~~
	~~</center>~~
	~~Hemos usado la expresión de <math>d(t)</math> para el intervalo de tiempo <math>t<t_f</math> y los valores numéricos del apartado b.~~


	[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]]		[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]]

Pedro: /* Solución */

2025-09-19T10:25:05Z

Solución

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Línea 16:		Línea 16:
	\left\{		\left\{
	\begin{array}{l}		\begin{array}{l}
	v_2 = v_0 - a_0 t\\		v_2 =
			\left\{\begin{array}{ll}
			v_0 - a_0 t& 0 \leq t \leq t_{2}\\
			0 & t\geq t_2
			\end{array}
			\right.
	\\		\\
	x_2 = d_0 + v_0t - \dfrac{1}{2}a_0 t^2		\\
			x_2 =
			\left\{
			\begin{array}{ll}
			d_0 + v_0t - \dfrac{1}{2}a_0 t^2 & 0 \leq t \leq t_2\\
			d_0 + \dfrac{v_0^2}{2a_0} & t\geq t_2
			\end{array}
			\right.
	\end{array}		\end{array}
	\right.		\right.
	</math>		</math>
	</center>		</center>
			El valor <math>t_2 = v_0/a_0</math> se determina igualando a cero la expresión de <math>v_2(t)</math> válida para <math>t<t_2</math>. El valor de <math>x_2</math> para <math>t>t_2</math> se calcula poniento <math>t=t_2</math> en la expresión de <math>x_2(t)</math> válida para <math>t<t_2</math>.

	Para el coche 1 hay que considerar dos intervalos de tiempo, <math>0<t<t_f</math> y <math>t>t_f</math>. En el primero realiza un movimiento rectilíneo uniforme y en el segundo un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Tenemos		Para el coche 1 hay que considerar dos intervalos de tiempo, <math>0<t<t_f</math> y <math>t>t_f</math>. En el primero realiza un movimiento rectilíneo uniforme y en el segundo un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Tenemos
	<center>		<center>

Pedro: /* Solución */

2025-09-19T08:31:33Z

Solución

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Línea 8:		Línea 8:

	[[Imagen:F1GIC_cochesAutopistaEsquema.png\|right]]		[[Imagen:F1GIC_cochesAutopistaEsquema.png\|right]]
	El esquema mostrado a la derecha resume la situación descrita en el problema. En el instante inicial los dos coches tienen la misma velocidad y están separados una distancia <math>d_0</math>. En ese instante el coche que va delante (representado por <math>P_2</math>) empieza a frenar con aceleración constante <math>a_0</math>. El coche que va detras (<math>P_1</math>) sigue moviéndose con velocidad constante hasta el instante <math>t=t_f</math>. A partir de ese instante empieza a frenar con la misma aceleración que el 2.		El esquema mostrado a la derecha resume la situación descrita en el problema. En el instante inicial los dos coches tienen la misma velocidad y están separados una distancia <math>d_0</math>. En ese instante el coche que va delante (representado por <math>P_2</math>) empieza a frenar con aceleración constante <math>a_0</math>. El coche que va detras (<math>P_1</math>) sigue moviéndose con velocidad constante hasta el instante <math>t=t_f</math>. A partir de ese instante empieza a frenar con la misma aceleración que el 2.

	Escogemos como eje <math>X</math> la recta sobre la que se mueven los coches. Colocamos el origen en la posición del coche 1 en el instante incial. El coche 2 se mueve siempre con aceleración <math>-a_0</math>, su velocidad inicial es <math>v_0</math> y su posición inicial es <math>d_0</math>. Como realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado se tiene		Escogemos como eje <math>X</math> la recta sobre la que se mueven los coches. Colocamos el origen en la posición del coche 1 en el instante incial. El coche 2 se mueve siempre con aceleración <math>-a_0</math>, su velocidad inicial es <math>v_0</math> y su posición inicial es <math>d_0</math>. Como realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado se tiene
Línea 18:		Línea 18:
	v_2 = v_0 - a_0 t\\		v_2 = v_0 - a_0 t\\
	\\		\\
	x_2 = d_0 - v_0t - \dfrac{1}{2}a_0 t^2		x_2 = d_0 + v_0t - \dfrac{1}{2}a_0 t^2
	\end{array}		\end{array}
	\right.		\right.
Línea 32:		Línea 32:
	\left\{		\left\{
	\begin{array}{ll}		\begin{array}{ll}
	v_0 & 0<t\leq t_f\\		v_0 & 0<t\leq t_f\\
	v_0 - a_0(t-t_f) & t\geq t_f		v_0 - a_0(t-t_f) & t\geq t_f
	\end{array}		\end{array}
	\right.		\right.
Línea 41:		Línea 41:
	\left\{		\left\{
	\begin{array}{ll}		\begin{array}{ll}
	v_0t & 0<t\leq t_f\\		v_0t & 0<t\leq t_f\\
	\\		\\
	v_0t_f + v_0(t-t_f) - \dfrac{1}{2}a_0(t-t_f)^2 & t\geq t_f		v_0t_f + v_0(t-t_f) - \dfrac{1}{2}a_0(t-t_f)^2 & t\geq t_f
	\end{array}		\end{array}
	\right.		\right.
Línea 50:		Línea 50:
	</math>		</math>
	</center>		</center>
	En <math>t=t_f</math> el coche 1 se encuentra en la coordenada <math>v_0t_f</math> y tiene velocidad <math>v_0</math>. Este valor de tiempo es el instante inicial para el movimiento en el segundo intervalo de tiempo. Por eso en las fórmulas de movimiento uniformemente acelerado ponemos <math>t-t_f</math> en vez de <math>t_f</math>.		En <math>t=t_f</math> el coche 1 se encuentra en la coordenada <math>v_0t_f</math> y tiene velocidad <math>v_0</math>. Este valor de tiempo es el instante inicial para el movimiento en el segundo intervalo de tiempo. Por eso en las fórmulas de movimiento uniformemente acelerado ponemos <math>t-t_f</math> en vez de <math>t_f</math>.

	Como se ve en el esquema la distancia entre los dos coches es		Como se ve en el esquema la distancia entre los dos coches es
	<center>		<center>
	<math>		<math>
	d(t) = x_2 - x_1 =		d(t) = x_2 - x_1 =
	\left\{		\left\{
	\begin{array}{ll}		\begin{array}{ll}
Línea 98:		Línea 98:
	<center>		<center>
	<math>		<math>
	d(t) = d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 > 0		d(t) = d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 > 0
	\longrightarrow		\longrightarrow
	d_0 > \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 = 6.75\,\mathrm{cm}.		d_0 > \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 = 6.75\,\mathrm{cm}.

Pedro: /* Solución */

2024-10-21T13:59:56Z

Solución

← Revisión anterior		Revisión del 15:59 21 oct 2024
Línea 60:		Línea 60:
	d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t^2 & 0<t\leq t_f\\		d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t^2 & 0<t\leq t_f\\
	\\		\\
	d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f(2t-t_f) & t\~~leq~~ t_f		d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f(2t-t_f) & t\geq t_f
	\end{array}		\end{array}
	\right.		\right.

Pedro: /* Solución */

2024-10-21T13:58:37Z

Solución

← Revisión anterior		Revisión del 15:58 21 oct 2024
Línea 60:		Línea 60:
	d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t^2 & 0<t\leq t_f\\		d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t^2 & 0<t\leq t_f\\
	\\		\\
	d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f(2t-t_f) & t\~~geq~~ t_f		d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f(2t-t_f) & t\leq t_f
	\end{array}		\end{array}
	\right.		\right.

Pedro: Página creada con «= Enunciado = Dos coches ruedan por un tramo recto de autopista con la misma velocidad $v_0$ y separados por una distancia $d_0$ . En un instante dado, el coche que va delante frena con aceleración uniforme de módulo $a_0$ hasta quedar parado. El coche que va detrás tarda un tiempo $t_f$ en empezar a frenar con la misma aceleración que el primero. #Determina como cambia la distancia entre los coches con el tiempo. #Si…»

2023-09-26T08:25:07Z

Página creada con «= Enunciado = Dos coches ruedan por un tramo recto de autopista con la misma velocidad <math>v_0</math> y separados por una distancia <math>d_0</math>. En un instante dado, el coche que va delante frena con aceleración uniforme de módulo <math>a_0</math> hasta quedar parado. El coche que va detrás tarda un tiempo <math>t_f</math> en empezar a frenar con la misma aceleración que el primero. #Determina como cambia la distancia entre los coches con el tiempo. #Si…»

Página nueva

= Enunciado =

Dos coches ruedan por un tramo recto de autopista con la misma velocidad <math>v_0</math> y separados por una distancia <math>d_0</math>. En un instante dado, el coche que va delante frena con aceleración uniforme de módulo <math>a_0</math> hasta quedar parado. El coche que va detrás tarda un tiempo <math>t_f</math> en empezar a frenar con la misma aceleración que el primero.
#Determina como cambia la distancia entre los coches con el tiempo.
#Si <math>t_f=0.30\,\mathrm{s}</math>, <math>v_0=120\,\mathrm{km/h}</math> y <math>a_0=1.50\,\mathrm{m/s^2}</math>, calcula el valor mínimo de <math>d_0</math> para que los coches no colisionen.

= Solución =

[[Imagen:F1GIC_cochesAutopistaEsquema.png|right]]
El esquema mostrado a la derecha resume la situación descrita en el problema. En el instante inicial los dos coches tienen la misma velocidad y están separados una distancia <math>d_0</math>. En ese instante el coche que va delante (representado por <math>P_2</math>) empieza a frenar con aceleración constante <math>a_0</math>. El coche que va detras (<math>P_1</math>) sigue moviéndose con velocidad constante hasta el instante <math>t=t_f</math>. A partir de ese instante empieza a frenar con la misma aceleración que el 2.

Escogemos como eje <math>X</math> la recta sobre la que se mueven los coches. Colocamos el origen en la posición del coche 1 en el instante incial. El coche 2 se mueve siempre con aceleración <math>-a_0</math>, su velocidad inicial es <math>v_0</math> y su posición inicial es <math>d_0</math>. Como realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado se tiene
<center>
<math>
P_2 \to
\left\{
\begin{array}{l}
v_2 = v_0 - a_0 t\\
\\
x_2 = d_0 - v_0t - \dfrac{1}{2}a_0 t^2
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Para el coche 1 hay que considerar dos intervalos de tiempo, <math>0<t<t_f</math> y <math>t>t_f</math>. En el primero realiza un movimiento rectilíneo uniforme y en el segundo un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Tenemos
<center>
<math>
P_1 \to
\left\{
\begin{array}{l}
v_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
v_0 & 0<t\leq t_f\\
v_0 - a_0(t-t_f) & t\geq t_f
\end{array}
\right.
\\
\\
x_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
v_0t & 0<t\leq t_f\\
\\
v_0t_f + v_0(t-t_f) - \dfrac{1}{2}a_0(t-t_f)^2 & t\geq t_f
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
</math>
</center>
En <math>t=t_f</math> el coche 1 se encuentra en la coordenada <math>v_0t_f</math> y tiene velocidad <math>v_0</math>. Este valor de tiempo es el instante inicial para el movimiento en el segundo intervalo de tiempo. Por eso en las fórmulas de movimiento uniformemente acelerado ponemos <math>t-t_f</math> en vez de <math>t_f</math>.

Como se ve en el esquema la distancia entre los dos coches es
<center>
<math>
d(t) = x_2 - x_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t^2 & 0<t\leq t_f\\
\\
d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f(2t-t_f) & t\geq t_f
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Para cada intervalo hemos usado la expresión correspondiente de <math>x_1</math>. La de <math>x_2</math> es la misma para todo tiempo. Se puede comprobar que si ponemos <math>t=t_f</math> en las expresiones anteriores los dos valores coinciden, como debe ser.

El instante de tiempo en que se para el coche 2 es
<center>
<math>
v_2(t_s) = 0 \longrightarrow t_s = v_0/a_0.
</math>
</center>
El coche 1 empieza a frenar después de que el otro frene.
Para que los dos coches no colisionen es necesario que en <math>t=t_s</math>la distancia entre ellos sea mayor que cero. Escogiendo la expresión de <math>d(t)</math> para <math>t>t_s</math> tenemos
<center>
<math>
d(t_s) = d_0 - v_0t_f + \dfrac{1}{2}a_0t_f^2>0
</math>
</center>
Pasando los dos últimos sumando a la derecha obtenemos la condición
<center>
<math>
d_0 > \dfrac{1}{2}t_f\,(2v_0-a_0t_f)
</math>
</center>
Usando los valores numéricos del apartado b obtenemos
<center>
<math>
d_0 = 9.92 \,\mathrm{m}.
</math>
</center>
Esta distancia corresponde a la longitud de dos coches, aproximadamente.

== Comentario ==
Si el valor de <math>d_0</math> es lo bastante pequeño puede ocurrir que el coche 1 choque con el 2 antes de que empiece a frenar, es decir, en el intervalo <math>t<t_f</math>. Para que esto no ocurra debe cumplirse
<center>
<math>
d(t) = d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 > 0
\longrightarrow
d_0 > \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 = 6.75\,\mathrm{cm}.
</math>
</center>
Hemos usado la expresión de <math>d(t)</math> para el intervalo de tiempo <math>t<t_f</math> y los valores numéricos del apartado b.

[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]]